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        關(guān)于丟番圖方程x3+64=201y2的整數(shù)解

        2013-11-29 08:50:18普粉麗
        關(guān)鍵詞:矛盾

        廖 軍,普粉麗

        (1.文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 文山663000;2.普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,云南 普洱665000)

        0 引 言

        方程

        是一類重要的丟番圖方程,其整數(shù)解有一些學(xué)者研究過。目前的主要結(jié)論有:1994年,李復(fù)中[1]給出D只含一個6k+1型素數(shù)因子時丟番圖方程x3±64=3Dy2在一些條件下無非平凡解的充分條件;同年,張海燕、李復(fù)中[2]給出D不能被3或6k+1型的素數(shù)整除,且D≠k+2時不定方程x3±64=dy2無非平凡解的充分性條件;2008年,趙天[3]給出了不定方程x3±26=3Dy2(D=7,13,19,31)的所有整數(shù)解;2012年,張攀[4]給出了10個不定方程x3±64=py2(p=7,13,19,37,43)的所有整數(shù)解;牛芳芳、羅明[5]給出了不定方程x3-64=31y2的所有解;趙天[6]給出了不定方程x3+64=21y2的所有解。本文主要討論丟番圖方程x3+64=201y2解的情況。

        1 相關(guān)引理

        引理1[7]不定方程x3+1=201y2僅有整數(shù)解(-1,0),(440,±651)。

        引理2[4]不定方程為素數(shù)),gcd(x,y)=1無正整數(shù)解。

        2 定 理

        定理 丟番圖方程

        僅有整數(shù)解 (-4,0),(1760,±5208)。

        3 定理證明

        證明 當(dāng)x≡0(mod4)時,令x=4x1,則方程(2)可化為64+1)=201y2,可得y≡0(mod8),又令y=8y1,從而方程(2)可化為+1=,由引理1可以得知,方程(2)在該情形下只有整數(shù)解(-4,0),(1760,±5280)。

        當(dāng)2‖x時,則y≡0(mod4),令x=2x1,y=4y1,此時方程(2)可化為+8=402y12,由引理2可知丟番圖方程+8=無整數(shù)解。因此該情況下方程(2)無整數(shù)解。

        當(dāng)x?0(mod2)時,則y?0(mod2),因為x3+64= (x+4)(x2-4x+16),所以gcd(x+4,x2-4x+16)=1或3,從而方程(2)可以得出下列8種可能的情形:

        情形?。簒+4=201a2,x2-4x+16=b2,gcd(a,b)=1,y=ab;

        情形ⅱ:x+4=a2,x2-4x+16=201b2,gcd(a,b)=1,y=ab;

        情形ⅲ:x+4=67a2,x2-4x+16=3b2,gcd(a,b)=1,y=ab;

        情形ⅳ:x+4=3a2,x2-4x+16=67b2,gcd(a,b)=1,y=ab;

        情形ⅴ:x+4=603a2,x2-4x+16=3b2,gcd(a,b)=3,y=3ab;

        情形ⅵ:x+4=3a2,x2-4x+16=603b2,gcd(a,b)=3,y=3ab;

        情形ⅶ:x+4=201a2,x2-4x+16=9b2,gcd(a,b)=3,y=3ab;

        情形ⅷ:x+4=9a2,x2-4x+16=201b2,gcd(a,b)=3,y=3ab。

        下面分別討論方程 (2)在這8種情形下的解的情況。

        情形ⅰ,由第二式可得x=0或4,代入到第一式,可知x=0或4均不適合此式。因此,在該情形下方程 (2)無整數(shù)解。

        情形ⅱ,因為x?0(mod2),所以a≡1(mod2),b≡1(mod2),則有a2≡1(mod8),b2≡1(mod8)。由一式得x=a2-4≡ -3≡5(mod8),代入第二式得x2-4x+16≡21≡5(mod8),又因為b2≡1(mod8),所以201b2≡1(mod8),故5≡x2-4x+16=201b2≡1(mod8),矛盾。因此,在該情形下方程(2)無整數(shù)解。

        情形ⅲ,因為x?0(mod2),所以a≡1(mod2),b≡1(mod2),則有a2≡1(mod8),67a2≡3(mod8)。由一式得x=67a2-4≡-1≡7(mod8),代入第二式得x2-4x+16≡37≡5(mod8)。又由于b≡1(mod2),則有b2≡1(mod8),3b2≡3(mod8),故有5≡x2-4x+16=3b2≡3(mod8),矛盾。因此,在該情形下方程(2)無整數(shù)解。

        情形ⅳ,因為x?0(mod2),所以a≡1(mod2),b≡1(mod2),則有a2≡1(mod8),b2≡1(mod8)。由第一式得x=3a2-4≡-1≡7(mod8),代入第二式得x2-4x+16≡37≡5(mod8),又因為b2≡1(mod8),所以67b2≡3(mod8),故有5≡x2-4x+16≡67b2≡3(mod8),矛盾。因此,在該情形下方程(2)無整數(shù)解。

        情形ⅴ,因為x?0(mod2),所以a≡1(mod2),b≡1(mod2),則有a2≡1(mod8),603a2≡3(mod8)。由第一式得x=603a2-4≡-1≡7(mod8),代入第二式得x2-4x+16≡37≡5(mod8),由于b≡1(mod2),則有b2≡1(mod8),3b2≡3(mod8),故有5≡x2-4x+16=3b2≡3(mod8),矛盾。因此,在該情形下方程(2)無整數(shù)解。

        情形ⅵ,因為x?0(mod2),所以a≡1(mod2),b≡1(mod2),則有a2≡1(mod8),b2≡1(mod8)。由第一式得x=3a2-4≡ -1≡7(mod8),代入第二式得x2-4x+16≡37≡5(mod8。又因為b2≡1(mod8),所以603b2≡3(mod8),故5≡x2-4x+16=603b2≡3(mod8),矛盾。因此,在該情形下方程(2)無整數(shù)解。

        情形ⅶ,因為X?0(mod2),所以a≡1(mod2),b≡1(mod2),則有a2≡1(mod8),b2≡1(mod8)。由一式得x=201a2-4≡-3≡5(mod8),代入第二式得x2-4x+16≡21≡5(mod8)。又因為b2≡1(mod8),所以9b2≡1(mod8),故5≡x2-4x+16=9b2≡1(mod8),矛盾。因此,在該情形下方程(2)無整數(shù)解。

        情形ⅷ,因為x?0(mod2),所以a≡1(mod2),b≡1(mod2),則有a2≡1(mod8),b2≡1(mod8)。由一式得x=9a2-4≡ -3≡5(mod8),代入第二式得x2-4x+16≡21≡5(mod8)。又因為b2≡1(mod8),所以201b2≡1(mod8),故5≡x2-4x+16=201b2≡1(mod8),矛盾。因此,在該情形下方程(2)無整數(shù)解。

        通過以上8種情形的討論可知方程 (2)無x?0(mod2)的整數(shù)解。

        綜上可得,丟番圖方程x3+64=201y2僅有整數(shù)解 (-4,0),(1760,±5208)。

        [1]李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±64=3Dy2[J].東北師范大學(xué)報:自然科學(xué)版,1994,(02):16-17.

        [2]張海燕,李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±64=Dy2[J].哈爾濱科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報,1994,18(03):107-109.

        [3]趙天.關(guān)于不定方程x3±23n=3Dy2解的討論[D].重慶:重慶師范大學(xué),2008.

        [4]張攀.關(guān)于不定方程x3±64=py2的研究[D].西安:西北大學(xué),2012.

        [5]牛芳芳,羅明.關(guān)于不定方程x3-64=31y2[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,31(02):32-34.

        [6]趙天.關(guān)于不定方程x3+64=21y2[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,25(01):9-12.

        [7]李雙志,羅明.關(guān)于不定方程x3+1=201y2[J].西南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010,35(01):11-14.

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