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        平方差公式與完全平方公式的一場爭論

        2013-11-26 05:37:22趙國瑞

        趙國瑞

        在整式乘法的王國有兩兄弟:平方差公式和完全平方公式.一天,兩人閑來無事聚到一起,突然冒出了一起行走江湖的念頭.兩人談得很興奮,但到最后卻為誰來做“老大”發(fā)生了爭執(zhí).兩人互不相讓,各執(zhí)一詞,都認為自己做“老大”是理所當(dāng)然的.他們爭得面紅耳赤,不可開交.最后沒辦法,只好去找乘法公式大伯來評判.大伯聽明白兩人的來意后皺了皺眉頭,大聲說道:“既然你們都認為自己該做‘老大,那么你們分別說說自己有什么過人之處吧.”

        平方差公式首先站起來說道:“我的形象好呀,你看,我的左邊是兩個二項式的積,在這兩個二項式中有一項完全相同,另一項互為相反數(shù),右邊是完全相同項的平方減去符號相反項的平方.”

        完全平方公式毫不示弱:“我的形象不比你遜色,我的左邊是一個二項式的完全平方,右邊是一個二次三項式,其中(首末)兩項是公式左邊二項式中的每一項的平方,中間一項是二項式中兩項乘積的2倍.”

        乘法公式大伯說:“別吵!別吵!光形象好還不夠,要有真本事才行!”

        平方差公式說:“這個我可不含糊,只要符合‘兩數(shù)和與兩數(shù)差相乘的形式,就可用我平方差公式解決.如計算(xy+1)(xy-1)直接運用平方差公式,得(xy+1)(xy-1)=(xy)2-12=x2y2-1.”

        完全平方公式說:“只要符合‘兩數(shù)和(或差)的平方的形式,就可用我完全平方公式搞定,如計算(4x-3y)2,直接運用完全平方公式,得(4x-3y)2=(4x)2-2·4x·3y+(3y)2=16x2-24xy+9y2.”

        ……

        平方差公式與完全平方公式爭論不休.

        乘法公式大伯:“別爭了,其實你們本是一家人,都可由公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq(*)得到.在公式(*)中,若令p=y,q=-y,就得到平方差公式(x+y)(x-y)=x2-y2;在公式(*)中,若令p=q=y,就得到兩數(shù)和的平方公式(x+y)2=2x+2xy+y2,若令p=q=-y,就得到兩數(shù)差的平方公式(x-y)2=x2-2xy+y2.

        有些問題單獨用你們兩個公式都可以解決,如x+y=5,且x-y=1,則xy=_____.

        解法1:由完全平方公式,得(x+y)2=x2+2xy+y2,(x-y)2=x2-2xy+y2.

        ∴(x+y)2-(x-y)2=4xy,即52-12=4xy.∴xy=6.

        解法2:在平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中,令a=x+y,b=x-y,得2x·2y=(x+y)2-(x-y)2,即4xy=52-12.∴xy=6.

        有些問題需要你們兩個公式合作才能解決,如計算[(x+2)(x-2)]2,先由平方差公式,得 (x2-22)2=(x2-4)2.再由完全平方公式,得(x2)2-2·x2·4+42=x4-82+16.

        再如計算:(2x+y+z)(2x-y-z),先由平方差公式,得[(2x+(y+z)][(2x)-(y+z)]=(2x)2-(y+z)2.再由完全平方公式,得4x2-(y2+2yz+z2)=4x2-y2-2yz-z2.

        乘法公式大伯接著說道:“你們兩個都有各自的特點,是乘法公式的重要組成部分,你們應(yīng)該取長補短,齊心協(xié)力為數(shù)學(xué)王國作貢獻,我勸你們不要再爭什么‘老大了!”

        平方差公式和完全平方公式深深地向乘法公式鞠了一躬,齊聲說道:“謝謝大伯的點撥!”兩兄弟握手言和,重歸于好,各自充滿信心地朝著自己的工作崗位走去……

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