羅峻

題目：如圖1，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF.連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H.下列結(jié)論： ①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG = CG2；③若AF=2DF，則BG=6GF.其中正確的結(jié)論是（ ）.

A.只有①② B.只有①③

C.只有②③ D.①②③

這是2013年中考武漢卷的第12題，也是選擇題的最后一道小題（我們通常稱之為選擇壓軸題），因題目涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，不少考生解答本題用時(shí)較多，且難以直接證出結(jié)果，成為試卷中拉開分?jǐn)?shù)距離的難題之一.果真那么難嗎？其實(shí)，針對(duì)不同的選擇題，我們應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)可分析選項(xiàng)，有時(shí)可用特殊值，有時(shí)可代入驗(yàn)證，有時(shí)可用排除法……當(dāng)然，只要認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知或結(jié)論聯(lián)想與之相近的圖形或結(jié)論，運(yùn)用八年級(jí)上學(xué)期的數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以直接證出本題結(jié)論.下面結(jié)合八年級(jí)上學(xué)期同學(xué)們所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解答.

方法一：特殊值法證結(jié)論②

運(yùn)用SAS定理，易證明△AED≌△DFB，即結(jié)論①正確，難在對(duì)結(jié)論②、③的判斷上.

對(duì)于結(jié)論②可用特殊值法進(jìn)行解答，即當(dāng)E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)也為AD的中點(diǎn)（如圖2），看結(jié)論②是否成立.

解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，則AD=AB.

又AB=BD，

所以△ABD、△BCD都是等邊三角形.

又點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，

由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)知：DE、BF分別平分∠ADB、∠ABD，

則∠GDB=∠GBD= ×60°=30°，所以DG=BG.

再由線段垂直平分線的判定定理知：點(diǎn)G在BD的垂直平分線上.

又CD=BC，也可以判斷點(diǎn)C在BD的垂直平分線上.

所以CG為線段BD的垂直平分線.

又∠CDG=∠CDB+∠GDB=60°+30°=90°，

在含30°角的Rt△CDG中，CD= CG.

又BD=CD，則BD= CG.

所以S四邊形BCDG= BD·CG= × CG·CG= CG2.

故②正確.

方法二：直接證明

分析：由結(jié)論② S四邊形BCDG= CG2 ，我們想到一個(gè)熟悉的結(jié)論：“邊長為a的等邊三角形的面積為 a2”，這樣應(yīng)該構(gòu)造以CG為邊的等邊三角形來解決問題.

證明：延長GB到M，使BM=DG，連接CM，如圖3.

∵四邊形ABCD為菱形，AB=BD，

∴△ABD和△BCD都是等邊三角形.

∴AD=BD，∠DAE=∠BDF=60°.

而AE=DF，

∴△AED≌△DFB （SAS） ，

∴∠ADE=∠DBF.

∴△DBG的外角∠BGE=∠ DBF+

∠BDG=∠ADE+∠BDG=∠ADB=60°.

在四邊形BCDG中，

∠GDC+∠GBC=（∠GDB+60°）+（∠GBD+60°）=120°+（∠GDB+∠GBD）=120°+∠BGE=120°+60°=180°，

即∠GDC+∠GBC=180°（?。?/p>

又由鄰補(bǔ)角知∠MBC+∠GBC=180°（ⅱ），

對(duì)比（ⅰ）（ⅱ）得∠GDC=∠MBC.

在△CDG和△CBM中

CD=CB，（已知）∠GDC=∠MBC，（已證）DG=BM.（輔助線作法）

∴△CDG≌△CBM（SAS） ，

∴CG=CM， ∠DCG=∠BCM.

又∠DCB=60°，即∠DCG+∠GCB=60°，

∴∠BCM+∠GCB=60°， 即∠GCM=60°.

由“有一角為60°的等腰三角形是等邊三角形”知△CMG是等邊三角形.

∴S四邊形BCDG=S△CDG+S△CGB=S△CBM+S△CGB=S△CGM= CG2.

對(duì)于結(jié)論③，用八年級(jí)知識(shí)，又該怎樣證明？

分析：從題設(shè)來看，條件、結(jié)論與點(diǎn)C無關(guān)，將圖形剝離出來，如圖4，要求出FG與BG的關(guān)系，只需求出△DFG與△BDG的面積關(guān)系即可.這又通過AD=AB，DF=AE，AF=2DF進(jìn)行面積之間的轉(zhuǎn)化.

證明：如圖4，連接AG，設(shè)組成△ABD的五個(gè)三角形△GDF、△GFA、△GAE、△GBE、△GBD的面積分別為S1、S2、S3、S4、S5.

∵△DAB為等邊三角形，且DF=AE，

∴BE=AF=2AE，即同一直線上的兩線段AE：EB=1：2，

∴S4=2S3，S△BDE=2S△ADE，

即S4+S5=2（S1+S2+S3）.（ⅲ）

又S2=2S1，代入式子（ⅲ），

得2S3+S5=2（S1+2S1+S3），

化簡，得S5=6S1.

又△DFG與△DBG的邊FG、BG在同一直線上，且高是同一線段，

即 BG·h=6×（ FG·h） ∴BG=6FG.

當(dāng)然，對(duì)于九年級(jí)同學(xué)來說，結(jié)論②可運(yùn)用旋轉(zhuǎn)或四點(diǎn)共圓的知識(shí)進(jìn)行證明；結(jié)論③可運(yùn)用線段成比例或三角形相似的知識(shí)進(jìn)行解答.同學(xué)們，試試看！