（1.合肥解放軍電子工程學(xué)院404室 合肥 230037）（2.安徽省電子制約技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 合肥 230037）

1 引言

通信信號(hào)偵察處理領(lǐng)域，對(duì)通信信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)識(shí)別的處理方法，人們?cè)絹?lái)越多的采用時(shí)頻分析的方法。目前常用的時(shí)頻分析方法主要有：短時(shí)Fourier變換（STFT）、Gabor變換、小波變換、Wigner-Ville時(shí)頻分布、Cohen類(lèi)時(shí)頻表示等。其中，最具代表性的是STFT 和小波變換［1］。

對(duì)時(shí)頻分析方法而言，時(shí)頻分辨率是衡量其算法優(yōu)劣的重要指標(biāo)。STFT 雖然能夠借助濾波器組快速實(shí)現(xiàn)，但其時(shí)頻分辨率固定；小波變換雖然能夠?qū)崿F(xiàn)多尺度分析，但由于變換的冗余性使其不存在惟一的逆變換［1～2］。由于離散小波變換相鄰時(shí)頻窗的兩倍變化特性，對(duì)通信信號(hào)處理而言實(shí)際是不適合的，因此，大多采用連續(xù)小波變換處理。而連續(xù)小波變換又沒(méi)有快速算法實(shí)現(xiàn)。

因此，1996年，Stockwell 在結(jié)合連續(xù)小波變換和STFT 優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，引入寬度和頻率成反向變化的高斯窗，提出了一種新的時(shí)頻變換方法-S變換［2］。該方法是一種介于短時(shí)傅里葉變換和小波變換之間的時(shí)頻分析方法，由于該方法具有多尺度聚焦性，時(shí)頻分辨率與頻率相關(guān)，且與其傅里葉譜直接聯(lián)系等優(yōu)點(diǎn)，在信號(hào)處理領(lǐng)域受到了極大重視，并在多個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行了廣泛的應(yīng)用。本文在研究S變換基本原理的基礎(chǔ)上，針對(duì)目前常用的離散S變換算法進(jìn)行了分析，指出了其在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中存在的問(wèn)題，提出了改進(jìn)的離散S變換算法，以減少離散S變換的運(yùn)算量，并基于離散S變換快速算法建立了同時(shí)多目標(biāo)通信信號(hào)分選識(shí)別模型。

2 傳統(tǒng)離散S變換算法

信號(hào)h（t）的S變換定義為［2～5］

式中a為常數(shù)。由上式可見(jiàn)，若令，則在S變換中，信號(hào)變換的窗函數(shù)為

其高度和寬度隨頻率而變換，這樣就克服了STFT 中窗口高度和寬度固定的缺陷。

信號(hào)h（t）可以由S變換S（τ，f）進(jìn)行重構(gòu)，其逆變換為

由信號(hào)h（t）的S變換和逆變換表達(dá)式，可以得到其頻譜表達(dá)式H（f）為

由式（1）、（3）和（4）可以得到，信號(hào)h（t）的S變換結(jié)果可以用信號(hào)的Fourier變換表示，即：

式中，H（f）信號(hào)h（t）的頻譜，β為頻率，控制頻域中的高斯窗在頻率軸上移動(dòng)。

由上式可以看出，對(duì)離散信號(hào)而言，信號(hào)h（t）的S變換可以采用高效的快速傅里葉變換算法和卷積定理實(shí)現(xiàn)。

設(shè)對(duì)接收到的信號(hào)h（t）以采樣時(shí)間間隔T進(jìn)行采樣，采樣點(diǎn)數(shù)為N，得到信號(hào)h（t）的離散序列：

在文獻(xiàn)［6～9］中，令f→n／NT，τ→kT，則S變換的離散表示形式為

其中，k代表時(shí)間采樣點(diǎn)，n代表頻率采樣點(diǎn)。由式（6），得到離散S變換的計(jì)算步驟［6～9］。

在文獻(xiàn)［6～9］的S變換離散表示式中，采用FFT 實(shí)現(xiàn)了S變換的快速算法。但在式（6）中，由于令f→n／NT，即頻率采樣點(diǎn)是按照Fourier變換的頻率采樣點(diǎn)選取的，而忽略了窗函數(shù)w（t）在頻率域的影響，使得表達(dá)式存在以下三個(gè)問(wèn)題：

1）頻率采樣點(diǎn)n的取值不符合物理意義。n的取值是按照Fourier變換的頻率采樣點(diǎn)選取的，即以Fourier變換的頻率分辨率作為頻率采樣點(diǎn)間隔。而在S變換中，由于窗函數(shù)w（t）的影響，頻率采樣點(diǎn)的選取應(yīng)以w（t）頻窗的寬度作為頻率間隔。

2）n取值范圍及步進(jìn)不合理。式（6）中的n的取值從1～（N-1），步進(jìn)為1／NT，實(shí)際為FFT 變換的頻率分辨率。對(duì)S變換而言，窗函數(shù)w（t）的頻窗本身就反映了頻域中的頻率分辨率。為了保證各頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻窗無(wú)縫并且無(wú)冗余的覆蓋分析頻段，頻率步進(jìn)應(yīng)為各頻率對(duì)應(yīng)的頻窗寬度。反映頻率f變化的n的取值，應(yīng)根據(jù)所分析的頻段范圍和頻窗寬度確定。在實(shí)際應(yīng)用中，頻窗寬度應(yīng)該比取N點(diǎn)FFT 變換對(duì)應(yīng)的頻率分辨率數(shù)值要大，否則窗函數(shù)w（t）在時(shí)窗包含的時(shí)域點(diǎn)數(shù)要大于N。由此可以得到，離散S變換中頻率采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)該小于（N-1）。

3）m取值范圍不合理。式（6）中的m取值從0～（N-1）。然而由于在頻域中w（t）窗函數(shù)的存在，對(duì)頻窗以外的卷積是不必要的，因此，m的取值范圍應(yīng)該縮小，取值范圍應(yīng)該是頻窗的寬度。

從以上討論可知，式（6）中的m和n的取值，將無(wú)端增大計(jì)算的運(yùn)算量。將冗余的運(yùn)算量去除的關(guān)鍵就是必須考慮窗函數(shù)w（t）頻窗的影響。

3 改進(jìn)的離散S變換算法

對(duì)窗函數(shù)w（x）而言，其中心w0與半徑Δw分別為［11］

可得信號(hào)w（t）的頻窗為

首先來(lái)看離散頻率點(diǎn)n的取值。

由于f點(diǎn)的頻窗寬度即為f點(diǎn)的頻率分辨率，根據(jù)處理信號(hào)的系統(tǒng)頻率分辨率需求，由式（8），在處理信號(hào)頻率最大的情況下，求等于頻率分辨率的值，得到式（8）中參數(shù)a的值。這樣，在確定a值的情況下，不同的頻率點(diǎn)均能滿(mǎn)足系統(tǒng)分辨率要求。為了滿(mǎn)足不同頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻窗對(duì)處理頻段的無(wú)縫覆蓋，則離散后各頻率應(yīng)滿(mǎn)足：

設(shè)信號(hào)的采樣速率為1／T，對(duì)于數(shù)字采樣后的信號(hào)頻譜分布，在S變換中，選取0～1／（2T）不合適。因?yàn)槿绻l率為0，將帶來(lái)窗口函數(shù)對(duì)應(yīng)頻窗為0，由Hesienberg測(cè)不準(zhǔn)原理［11］，時(shí)窗無(wú)窮大，計(jì)算將無(wú)法實(shí)現(xiàn)。由Nyquist采樣定理的折疊特性，在1／T～3／（2T）內(nèi)的信號(hào)頻譜與0～1／（2T）頻段內(nèi)的信號(hào)頻譜完全相同。因此，可以取處理的頻段范圍為1／T～3／（2T）。由式（9）得到整個(gè)處理頻段內(nèi)的離散頻率個(gè)數(shù)（即n的取值范圍）Nscales為

式中，INT（·）代表對(duì)數(shù)值進(jìn)行向下取整。則n的取值為0，1，…，Nscales-1，其頻率步進(jìn)為對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)的頻窗寬度。每個(gè)n值（離散頻率點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的頻率為

下面來(lái)看卷積項(xiàng)數(shù)m的取值。

卷積項(xiàng)數(shù)m的取值范圍，和n值對(duì)應(yīng)的頻率所確定的頻窗寬度有關(guān)，由式（8）和（11）可以得到：

（）n以N點(diǎn)FFT 變換的頻率分辨率轉(zhuǎn)換為離散點(diǎn)數(shù)widthn為

則對(duì)應(yīng)于不同的n值，m取值范圍為

頻率fn相對(duì)于FFT 變換結(jié)果對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)（cen＿fft）n為

由此，綜合式（10）、（14）和（15）可以得到修正后的離散S變換公式為

其中k＝0，1，…，N-1。

在式（16）中，為了應(yīng)用IFFT 算法，減少運(yùn)算量，并且由Nyquist采樣定理的折疊特性，將m的取值范圍更改為

其中，

因此，可以得到改進(jìn)的離散S變換公式為

其中k＝0，1，…，N-1，n＝0，1，…，Nscales-1。由式（19），可以得到改進(jìn)的離散S變換算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1）初始化；

（1）根據(jù)信號(hào)處理分辨率的要求，由式（8），確定式（1）中尺度因子的常數(shù)a的值；

（2）由式（10），計(jì)算離散S變換中頻率點(diǎn)的個(gè)數(shù)Nscales，確定n的取值范圍；

（3）由式（13）、（14），確定不同n值對(duì)應(yīng)的m的取值范圍；

（4）由式（15），計(jì)算不同n值代表的頻率fn相對(duì)于FFT 變換結(jié)果對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)（cen＿fft）n；

2）計(jì)算h（k）的FFT 結(jié)果

3）計(jì)算窗函數(shù)w（t）的FFT結(jié)果，得到

4）按頻率采樣點(diǎn)（cen＿fft）n計(jì)算

下面對(duì)改進(jìn)離散S變換算法性能進(jìn)行分析。

由式（6），可以得到在1／（2T）處理頻段寬度范圍內(nèi)，完成傳統(tǒng)離散S變換需要的運(yùn)算量為

由式（19），同樣可以得到在1／（2T）處理頻段寬度范圍內(nèi)，采用改進(jìn)的離散S變換算法完成運(yùn)算的運(yùn)算量為

由上面的討論可知，肯定存在Nscales≤N和Mn≤N，所以，改進(jìn)的離散S變換的運(yùn)算量比傳統(tǒng)離散S變換的運(yùn)算量要小。

下面考慮一個(gè)處理系統(tǒng)。設(shè)信號(hào)采樣速率1／T＝20MHz，采樣點(diǎn)數(shù)N＝4096。系統(tǒng)處理的頻率分辨率需求為Δf≤75kHz。采用傳統(tǒng)離散S變換和改進(jìn)的離散S變換算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析處理，可以得到兩種方法的運(yùn)算量對(duì)比如表1所示。

表1 算法運(yùn)算量比較

固定系統(tǒng)頻率分辨率要求，當(dāng)不同采樣點(diǎn)數(shù)時(shí)，采用傳統(tǒng)離散S變換算法和改進(jìn)的離散S變換算法，分別計(jì)算運(yùn)算量，得到圖1。為方便顯示，運(yùn)算量采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)顯示。

圖1 運(yùn)算量與采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)數(shù)坐標(biāo)關(guān)系

由表1和圖1可以得出結(jié)論，改進(jìn)的離散S變換算法運(yùn)算量明顯比傳統(tǒng)的離散S變換算法的運(yùn)算量要小，對(duì)于1024點(diǎn)以上的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，基本上要少一至幾個(gè)數(shù)量級(jí)；而且隨著所處理的采樣點(diǎn)數(shù)的增多，改進(jìn)離散S變換算法比傳統(tǒng)的離散S變換算法在算法的運(yùn)算量方面越具有優(yōu)勢(shì)。

4 常規(guī)通信信號(hào)分選識(shí)別數(shù)學(xué)模型的建立

通信信號(hào)在時(shí)域和頻域上的變化特征是建立多目標(biāo)信號(hào)分選識(shí)別數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。一般來(lái)說(shuō)，信號(hào)S變換的多維相空間中包含下述可選特征：

N為尺度域上能量峰值的個(gè)數(shù)；

ai為尺度域上第i個(gè)能量峰值對(duì)應(yīng)的尺度值，i＝1，2，…，N；

Mi為尺度ai對(duì)應(yīng)的幅值發(fā)生突變的次數(shù)；

tij為Mi≠0時(shí)，尺度ai對(duì)應(yīng)的峰值發(fā)生第j次突變的時(shí)間，j＝1，2，…，Mi；

Pij為Mi≠0時(shí)，尺度ai對(duì)應(yīng)的第j個(gè)幅值的大小，j＝1，2，…，Mi＋1。

上述特征值構(gòu)成了樣本空間中的多維特征向量，它從不同側(cè)面描述了目標(biāo)信號(hào)之間時(shí)頻綜合特性，是建立信號(hào)分選識(shí)別數(shù)學(xué)模型的特征依據(jù)。

對(duì)信號(hào)的特性而言，具備以下特點(diǎn)：

1）不同調(diào)制域特性的目標(biāo)信號(hào)在多維特征空間中表現(xiàn)出顯著差異的自相關(guān)與互相關(guān)特性；

2）相同調(diào)制域特性的目標(biāo)信號(hào)在多維特征空間中表現(xiàn)出基本共性的自相關(guān)與互相關(guān)特性；

3）當(dāng)同時(shí)接收多個(gè)目標(biāo)信號(hào)時(shí)，各相對(duì)獨(dú)立的目標(biāo)信號(hào)其S變換在時(shí)間-尺度（頻率）域表現(xiàn)出弱的互相關(guān)特性，與各類(lèi)信號(hào)的先驗(yàn)特性相對(duì)應(yīng)。

根據(jù)上述特點(diǎn)，對(duì)信號(hào)的分選識(shí)別可按以下四個(gè)步驟進(jìn)行：

1）提取信號(hào)S變換的各多維特征向量

對(duì)S變換的結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，獲取下列各特征向量：

2）分析上述各多維特征向量的自相關(guān)與互相關(guān)特性

自相關(guān)特性分析主要針對(duì)尺度域上各ai值對(duì)應(yīng)幅度隨時(shí)間的變化特征，側(cè)重于分析Δtik＝ti（k＋1）-tik及其對(duì)應(yīng)ΔPik＝Pi（k＋1）-Pik的特性，包括：

互相關(guān)特性分析主要針對(duì)尺度域上兩個(gè)尺度值ai、aj之間對(duì)應(yīng)幅度隨時(shí)間的變化特征，側(cè)重于分析ΔMij＝Mi-Mj及Δt（i，j）k＝tik-tjk的特性，包括：

在ΔMij＝0（i≠j）時(shí)，

如果ΔMij≠0，則對(duì)兩個(gè)尺度ai和ai分別進(jìn)行自相關(guān)特性分析。

3）根據(jù)互相關(guān)特性，確定通帶內(nèi)同時(shí)存在多少個(gè)目標(biāo)信號(hào)。

在模式訓(xùn)練的過(guò)程中，對(duì)各種常規(guī)通信信號(hào)進(jìn)行S變換，然后同時(shí)根據(jù)各種常規(guī)通信信號(hào)S變換下的變換結(jié)果，對(duì)各種信號(hào)S變換結(jié)果之間的尺度（頻率）域上的互相關(guān)變換特性ΔMij和時(shí)間域上的變換特性Δtij進(jìn)行分析，得出不同常規(guī)通信信號(hào)之間互相關(guān)特性識(shí)別的閾值。在進(jìn)行分選識(shí)別時(shí)，主要根據(jù)訓(xùn)練中得到的判別閾值和未知信號(hào)的尺度（頻率）域上的變換特性ΔMij和時(shí)間域上的變換特性Δtij來(lái)判斷。

4）根據(jù)自相關(guān)特性建立相應(yīng)的識(shí)別模型，確定各目標(biāo)信號(hào)的調(diào)制樣式，并提取出對(duì)應(yīng)的特征參數(shù)。

在模式訓(xùn)練的過(guò)程中，分別根據(jù)某一種常規(guī)通信信號(hào)S變換下的變換結(jié)果，對(duì)所訓(xùn)練信號(hào)S變換結(jié)果自身的尺度（頻率）域上的自相關(guān)變換特性ΔPik和時(shí)間域上的變換特性Δtik進(jìn)行分析，得出這一常規(guī)通信信號(hào)自相關(guān)特性識(shí)別的閾值。然后對(duì)另一種通信信號(hào)進(jìn)行相同處理，得到不同常規(guī)通信信號(hào)分選識(shí)別自相關(guān)特性判別閾值。在進(jìn)行分選識(shí)別時(shí)，主要根據(jù)訓(xùn)練中得到的判別閾值和未知信號(hào)的尺度（頻率）域上的變換特性ΔPik和時(shí)間域上的變換特性Δtik來(lái)判斷。

總之，通過(guò)對(duì)目標(biāo)信號(hào)S變換的自相關(guān)與互相關(guān)特性分析，并采用模式識(shí)別中分層分類(lèi)器的判決模式，就可以實(shí)現(xiàn)同時(shí)對(duì)多目標(biāo)信號(hào)在時(shí)間域、尺度域（頻率域）和調(diào)制域的綜合分選識(shí)別。

5 對(duì)多目標(biāo)通信信號(hào)的分選識(shí)別

由此，可以得到基于改進(jìn)S離散變換算法的多目標(biāo)通信信號(hào)分選識(shí)別框圖如圖2所示。本文給出了通過(guò)處理實(shí)際采集的空中信號(hào)，利用基于改進(jìn)離散S變換算法的多目標(biāo)通信信號(hào)分選識(shí)別模型進(jìn)行信號(hào)分選識(shí)別的一個(gè)例子。實(shí)驗(yàn)中，接收機(jī)輸出中頻信號(hào)頻率為1.4MHz，中頻帶寬為6kHz，根據(jù)Nyquist 采樣定理，信號(hào)采樣速率可取為16kHz，對(duì)短波波段內(nèi)的通信信號(hào)進(jìn)行處理。圖3分別給出了帶寬內(nèi)處理一個(gè)信號(hào)、兩個(gè)信號(hào)、三個(gè)信號(hào)時(shí)的改進(jìn)的離散S變換結(jié)果和識(shí)別結(jié)果。

圖2 基于改進(jìn)離散S變換算法的多目標(biāo)通信信號(hào)分選識(shí)別框圖

為了更好地說(shuō)明算法的有效性，下面對(duì)不同信噪比情況下的S變化結(jié)果和信號(hào)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)中，模擬產(chǎn)生了單音調(diào)制的AM 信號(hào)，信號(hào)載頻取100kHz，調(diào)制頻率為1kHz，調(diào)制系數(shù)取0.3，模擬噪聲為高斯白噪聲，信號(hào)采樣頻率取為10.24kHz。模擬產(chǎn)生不同信噪比下的AM 信號(hào)，其改進(jìn)離散S變換結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以看出，對(duì)于調(diào)制系數(shù)為0.3 的單音調(diào)制AM 信號(hào)，當(dāng)SNR ＝-3dB時(shí)，此時(shí)信號(hào)的調(diào)制信息已經(jīng)被噪聲完全淹沒(méi)，而載頻還是比較容易從噪聲中分離出來(lái)，模型不能正確識(shí)別信號(hào)。大量模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于信噪比SNR ＞-3dB的信號(hào)，基于改進(jìn)離散S變換的通信信號(hào)多目標(biāo)分選識(shí)別模型基本上能將信號(hào)調(diào)制樣式識(shí)別出來(lái)，SNR 越大，即噪聲越小，識(shí)別效果越好。

圖3 信號(hào)改進(jìn)離散S變換結(jié)果及識(shí)別參數(shù)

6 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)離散S變換算法進(jìn)行了研究，在對(duì)傳統(tǒng)離散S變換算法研究的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的離散S變換算法，并建立了常規(guī)通信信號(hào)分選識(shí)別模型。通過(guò)對(duì)比傳統(tǒng)離散S變換和改進(jìn)離散S變換算法的運(yùn)算量，證明了改進(jìn)離散S變換算法的運(yùn)算量更少，基本上要少一至幾個(gè)數(shù)量級(jí)，證明了算法的有效性。通過(guò)處理實(shí)際接收的空間信號(hào)，證明了基于改進(jìn)離散S變換算法的常規(guī)通信信號(hào)分選識(shí)別模型的有效性，實(shí)現(xiàn)了同時(shí)多目標(biāo)通信信號(hào)的識(shí)別。

圖4 高斯噪聲下單音調(diào)制AM 信號(hào)改進(jìn)離散S變換結(jié)果

改進(jìn)離散S變換算法運(yùn)算量的減少和基于其上的分選識(shí)別模型的建立，對(duì)于通信信號(hào)的快速偵察以及相應(yīng)硬件設(shè)備的實(shí)現(xiàn)，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

［1］張賢達(dá).現(xiàn)代信號(hào)處理［M］.北京：清華大學(xué)出版社.2002.349-351.

［2］Stockwell R G，Mansinha L，Lowe R P.Localization of the complex spectrum：The S transform ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing（S1053-587X），1996，17：998-1001.

［3］Theophanis S，Queen J.Color display of the localized spectrum［J］.Geophysics，2000，65（4）：1330-1340.

［4］Pinnegar C R，Eaton D W.Application of the S transform to prestack noise attenuation filtering［J］.Journal of Geophysical Research，2003，108（B9）：1-10.

［5］Pinnegar C R，Mansinha L.The S-transform with windows of arbitrary and varying shape［J］.Geophysics，2003，68（1）：381-385.

［6］陳學(xué)華，賀振華.改進(jìn)的S變換及在地震信號(hào)處理中的應(yīng)用［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2005，20（4）：449-453.

［7］劉傳武，張智軍，畢篤彥.S 變換在雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別中的應(yīng)用［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2008，20（12）：3290-3292.

［8］武開(kāi)有，馬緒.基于S變換的跳頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)［J］.軍事通信技術(shù)，2009，29（3）：7-11.

［9］陳學(xué)華，賀振華，陳震.基于能量歸一化窗的S變換及應(yīng)用［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2009，24（4）：458-463.

［10］李少凱，劉承承，李剛磊.數(shù)字通信信號(hào)小波變換尺度選取問(wèn)題研究［J］.計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程，2010（7）.

［11］張賢達(dá)，保錚.非平穩(wěn)信號(hào)分析與處理［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1998：18-21.