楊鳳蓮

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中經(jīng)常會遇到這樣一類題型，求一點到另外兩點距離之差的最大值，和求一點到另外兩點距離之和的最小值。筆者認(rèn)為，要做好這道題需對這道題的意思進(jìn)行深刻地體會之后再解答便易如反掌了。

例：在直線l：3x-y-1=0上求一點P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差最大。

（2）P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小。

通過數(shù)軸上求距離的知識可知，P點在A、B點同側(cè)，且P、A、B三點一定要在同一條直線上時，點P到兩點的距離之差有最大值。

同樣的道理，當(dāng)點P位于A、B兩點之間，且P、A、B三點也要在同一條直線上時，點P到A、B兩點距離之和有最小值。

搞清楚了這兩個問題，在看題目中的條件（1）求點P，使得P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差最大。通過畫圖不難發(fā)現(xiàn)A、B兩點位于直線L的兩側(cè)，但是點P必須要位于兩點的同側(cè)才有距離之差的最大值，而我們知道直線的位置是固定不變的，所以，這時候要考慮做兩點中任意一點關(guān)于直線L的對稱點，比如作A點關(guān)于直線L的對稱點A1，連接BA1并延長與直線L相交于一點，這個點就是我們所求的P點，因為它既滿足了與A、B兩點在同一側(cè)，又滿足了與A、B在同一條直線上兩個條件，所以，求出P點的坐標(biāo)即可。

再看題目中的條件（2），求點P，使得點P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和的最小值，同樣由上述分析可知，所求P點要位于A、B兩點之間，且P、A、B三點須在同一條直線上，但通過畫圖可知直線L上的所有點都不在A、B之間，怎么辦呢？還是老辦法，做兩點中任一點關(guān)于直線L的對稱點，通過計算可求出該點的坐標(biāo)。下面我們完整地解出該題。

解答：（1）如圖1，在平邊直角坐標(biāo)系中求出B點關(guān)于直線L

的對稱點B1（3，3）還可求出直線AB1的方程為：2x+y-9=0，與直線3x-y-1=0聯(lián)立可求得交點P的坐標(biāo)為（2，5），所以P（2，5）就是所求的點。

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（2）如圖2在平面直角坐標(biāo)系中求出A點關(guān)于直線L的對稱點A1（-2，3），還可求出直線的方程為：x-5y+17=0，與直線L聯(lián)立，可求得交點坐標(biāo)P（11/7，26/7）。

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（作者單位 青海省大通縣第七中學(xué)）