吳 波，付秀英，高欽翔

（1.遵義師范學院物理與機電工程學院，貴州遵義563002；2.遵義師范學院組織部，貴州遵義563002）

擺動是一種常見的機械運動，它廣泛地出現在我們的生產、生活之中。在大學物理的教學中，對擺動的討論一般局限于簡諧擺，例如單擺，復擺和扭擺等。這樣的簡諧擺模型通常是一種理想模型，可以通過求解這個模型的二階線性動力學微分方程來獲得解的特征。然而，自然界的大多數擺動都是復雜的，簡單的簡諧模型不足以很好解釋它們獨特的運動特征。阻尼、外場等諸多非線性因素的存在，必將給擺動系統(tǒng)帶來區(qū)別于線性系統(tǒng)的動力學行為。因此，非線性振動系統(tǒng)對于人們認識復雜的擺動現象也是非常重要的，應該值得大家的關注。

本文以一個典型的彈簧―滑塊非線性系統(tǒng)為例，建立其動力學微分方程，繼而利用四階Runge-Kutta法進行數值求解。最后，通過對其解的時域圖和相圖分析，并與微振動下簡析解進行對比，以揭示彈簧―滑塊非線性振動系統(tǒng)獨特的運動學特征。

1 彈簧―滑塊系統(tǒng)的動力學微分方程

圖1 彈簧－滑塊模型示意圖

如圖1所示，質量為m的滑塊在無摩擦的桿上水平滑動。它被一個彈性系數為k的彈簧連接在一個固定在桿下面中心處的支點上。彈簧自然狀態(tài)下的長度就是支點到桿的垂直距離，并與桿交于O點[1]。可以想象，O點將是整個滑塊往復運動的中心，因而可以以O為原點，桿的水平向右方向為x軸正方向，建立直角坐標系。通過對滑塊受力分析，可著回復力的角色，l因而可以利用牛頓第二定律，建立運動微分方程：

可以看出，（1）式等號左邊的第三項是非線性項，從而使得整個系統(tǒng)不能按照一般的線性微分方程來處理。

2 數值求解與討論

2.1 解的一般特征

其中，方程組（2）中x(1)和x(2)對應原方程滿足初始條件：x(1)t=0=x0；x(2)t=0=v0。

對（2）式及其初始條件所描述的微分方程，我們基于M atlab數值計算程序，利用四階Runge-Kutta法進行了數值求解，如圖 2（a）和（b）所示，分為m=1，k=10，l0=10,x0=4，和v0=0時的時域圖和相圖。由圖2（a）可以看到，由于非線性項的制約，整個滑塊的運動并不是簡諧的。特別在臨近平衡位置的部分，時域圖與一般的正余弦運動規(guī)律相差較大。從圖（b）的相圖可以看出，相圖是一個首尾相連的閉合曲線，表明這是一個非耗散的往復振動形式。但是在接近平衡點的地方，曲線接近直線，與一般的簡諧振動形式發(fā)生較大變化。為進一步深入理解這種非線性系統(tǒng)的運動學特征，需要分別對一些特殊情況進行分析，尤其是遠離平衡點的巨振動和平衡點附近的微振動行為。

圖 2 方程（2）解的特例，（a）時域圖和（b）相圖

2.2 (巨振動)x>>l0

當x>>l0時的遠域行為，方程（1）可以進行化簡：

為線性非齊次微分方程。一般情況下，可以通過先求其次方程的通解，然后尋找相應非齊次方程的一個特解來構成整個方程的解。但是，盡管如此，這樣的求解仍然比較繁雜，我們因此采取Maple符號計算平臺，利用Laplace變化進行求解，類似的方法在我們的前期工作中有詳細的闡述[2]。最終，我們得到方程（3）滿足；x(0)=x0；dx 0 dt=v(0)=v0初始條件的解析解：

為體現非線性項對方程（1）的影響，我們將方程（1）的數值解與方程（4）的解析解進行比較。其中令方程（1）和（4）中的參數：m=1，k=10，l0=2 和初始速度v0=0。而初始位置為體現解的差異，分別取初始位置x0=40和x0=4000進行分別求解，分別繪制它們的時域圖和相圖，從圖3(a)和(b)可以明顯看出，當x0=4000時，相對于l0=2比較大，此時的振動滑塊大部分處于遠離平衡位置的地方，從時域圖和相圖的比較發(fā)現，方程（1）此時的解退化為方程（4）所描述的振動情形。因而，可以大致認為x>>l0時，方程（1）是近似簡諧的，振動行為對于振動與彈簧原長相比擬時不再成立。在圖3(c)和(d)中可以看出，當x0=40時，與x0=4000時滑塊已經大幅接近了振動平衡位置，這時方程（1）中非線性項的行為明顯體現出來，使得其解與方程（4）描述的簡諧解存在明顯的差異。從圖中可明顯看出，這種差異主要出現在接近O點的附近。

圖 3 x>>l0時方程（1）數值解（實線）和近似解析解（4）（*線）分別在x0=4000和l0=2時解的(a)時域圖、（b）相圖和x0=40和l0=2時解的(c)時域圖及（d）相圖。

2.3 (微振動)x<

方程（5）盡管簡單，但難于解析求解。這里，我們仍然利用Runge-Kutta法進行數值求解，來與方程（1）的解做一個對比。

圖4 x<

如圖4所示，為方程（1）和（5）中的參數都設置為：m=1，k=10，l0=20和初始速度v0=0時解的時域圖和相圖。為體現這種微振動下解的特征，特例中分別取了初始位置 x0=2和 x0=10，利用四階 Runge-Kutta法進行分別數值求解，繪制了它們的時域圖和相圖。從圖4(a)和(b)可以明顯看出，當x0=2時，相對于l0=20比較小時，方程（1）所描述的非線性振動與方程（5）描述的振動符合很好，表明微振動時，可以將方程（1）簡化為方程（5），后者可以利用級數法獲得其解。但是，當這樣的振動振幅與彈簧原長相比擬時，如圖4(c)和(d)所示，方程（1）的非線性行為使得其與方程（5）描述的振動相距甚遠，而差異的主要位置仍是在接近平衡位置的地方。

3 總結

針對一個典型的彈簧―滑塊非線性系統(tǒng)，利用四階Runge-Kutta數值計算方法和Laplace變化等方式對其動力學行為進行了分析，尤其是其巨振動和微振動兩個特殊情形分別近似處理和深入討論。結果表明，這個系統(tǒng)中非線性項的行為主要集中影響滑塊在臨近平衡位置的振動，而當滑塊遠離平衡位置時，其

[1]C F Gerald，P O Wheatley.Applied Numerical Analysis[M].New Jersey:ADDISON WESLEY Publishing Company Incorporated，2004.

[2]吳波，楊秀德.RLC暫態(tài)電路的理論分析和數值模擬[J].物理與工程，2010，20(1):32-34.

[3]飛思科技產品研發(fā)中心.MATLAB7基礎與提高[M].成都:電子工業(yè)出版社，2005.

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