趙志軍

（新疆維吾爾自治區(qū)建筑設計研究院，新疆 烏魯木齊 830002）

0 引言

車輛荷載是橋梁設計中考慮的主要活荷載，車輛在橋梁結構上行駛時伴隨車輛和橋梁之間的相互作用。當車輛通過橋梁時，車輛會對橋梁產(chǎn)生荷載作用，橋梁會因為受到車輛荷載的激勵而發(fā)生振動，同時橋梁的振動也會對車輛來產(chǎn)生激勵，因此車輛和橋梁的振動是一個相互影響、相互耦合的過程。隨著橋梁結構向著跨度越來越大、質量越來越輕、剛度越來越小的方向發(fā)展，交通量不斷持續(xù)增大，橋梁結構在車輛動力荷載作用下的安全性引起了廣泛的重視，因此車橋動力相互作用問題一直是各國橋梁設計工作者研究的重點課題[1]。由于車輛和橋梁之間的相互作用力是一個時變力，這就增加了求解車橋耦合振動的難度。隨著計算機的高速發(fā)展和有限元理論的不斷完善，數(shù)值計算方法對車橋耦合振動問題進行求解成為了一種有效的途徑。

本文建立了彈簧質量塊的車輛模型，結合數(shù)值計算方法Newmark法原理采用分離迭代法對車橋耦合振動問題進行求解，并編制了車橋耦合分析程序，采用龍格—庫塔法通過計算實例對該程序進行了驗證，得到了有價值的成果。

1 車橋模型及振動方程

1.1 車輛模型及其振動方程

為了準確的研究車橋耦合振動問題，就要求建立合適的車橋分析模型。各國學者對橋梁的模型都是基本一致的——彈性連續(xù)體，但是對車輛模型的定義根據(jù)不同的簡化假設就具有從簡單到復雜的各種形式[2-3]。其中彈簧質量塊模型是一種應用較為廣泛的車輛模型。本文采用彈簧質量塊模型（由彈簧和阻尼器所連接簧上質量和簧下質量模型）（見圖1），將車輛視為剛體的動力系統(tǒng)，車輛的質量集中在簧上質量上，懸掛裝置由彈簧和阻尼器來模擬。車輛模型如圖1所示，z是車體的沉浮；y為輪對的豎向平動。

圖1 車輛模型

由圖1所示的車輛簡化計算模型，可以對其動力方程進行推導，首先假設車輛坐標系以圖1中所示為正方向，車體和輪對均視為剛體，不考慮各部件的變形；彈簧和阻尼均為線性；車輛各部件在各自平衡位置附近做小位移的振動?；谝陨霞僭O，利用達朗貝爾原理對圖1所示的車輛模型的振動方程進行了推導。

簧上質量豎向運動平衡方程為：

1.2 橋梁模型及運動方程

橋梁為多自由度體系，這里采用有限元方法進行處理，則其振動方程為：

式中，Mb為橋梁的質量矩陣；Cb為橋梁的阻尼矩陣；Kb為橋梁的剛度矩陣；，Yb分別為橋梁豎向動態(tài)加速度響應，速度響應和位移響應；Fb（t）為車輛對橋梁的動態(tài)荷載項。

1.3 車橋相互作用力

這里假設汽車在橋梁上運動時車輪始終和橋面保持接觸狀態(tài)，取車輪作為研究對象，可以得到車輛與橋梁之間的相互作用力Fb（t）的表達式：

2 車橋系統(tǒng)振動的數(shù)值方法及求策略

車橋系統(tǒng)耦合振動問題因為其復雜性采用數(shù)值方法對該問題進行求解分析不失為一種行之有效的方法。適用于車橋耦合振動計算的數(shù)值方法很多，比較Newmark法、龍格—庫塔法和Wilson-θ法，本文選用Newmark法對該問題進行求解。同時結合Newmark法計算原理編制了用于對車橋耦合振動的計算程序。

本文將車橋看做兩個子系統(tǒng)，對其采用分離迭代的方法進行求解。下面對Newmark法的計算原理進行介紹，同時對具體的動力分析步驟進行了說明。

2.1 Newmark法計算原理

Newmark法是逐步積分法的一種，其具有計算原理簡單、工作量少、計算結果精確等優(yōu)點。其計算核心是從已知的i時刻的位移ui、速度和加速度計算i+1時刻的位移ui+1、速度和加速度。 其基本公式如下[4]：

參數(shù)β和γ定義了時間步內(nèi)加速度變化，并決定方法的穩(wěn)定性與精度特征，當γ≥0.5，β≥（+γ）2/4時Newmark法無條件穩(wěn)定。下面給出了采用Newmark法求解動力問題的具體步驟[5]。

首先，進行初始計算：

a）形成質量矩陣M，剛度矩陣K和阻尼矩陣C；

b）獲得初始向量u0，；

c）選擇參數(shù)β、γ和時間步長Δt，并計算相關參數(shù)；

d）計算有效剛度矩陣。

其次，對每個時間步i進行計算：

a）計算i+1時刻的等效荷載；

b）求解i+1時刻的位移；

c）求解i+1時刻的速度和加速度。

2.2 車橋振動分析步驟

根據(jù)上面介紹的Newmark法計算原理，可以從已知i時刻的橋梁與車輛的振動響應，求解i+1時刻的動力響應，首先假設在起始時刻橋梁與車輛不發(fā)生振動，然后采用分離迭代的方法對車輛和橋梁的動力平衡方程進行求解，詳細的求解分析思路如下：

a）提取i時刻橋梁的動力響應，然后通過插值計算得到車輛車輪位置的加速度、速度和位移；

b）利用步驟a）得到的車輛車輪位置的加速度、速度和位移更新車輛方程荷載項；

c）采用Newmark法根據(jù)i時刻車輛的動力響應計算i+1時刻車輛的動力響應；

d）根據(jù)前面結果更新i+1時刻車輛對橋梁的作用力；

e）采用NEWMARK法由i時刻的橋梁響應計算i+1時刻的橋梁動力響應；

f）判斷同一時刻相鄰兩次計算得到的橋梁響應是否收斂，若不收斂重復步驟a）～e）直至橋梁響應結果收斂后再進行下一個時間步計算。

3 算例分析

橋梁參數(shù)：跨徑L=16m，抗彎剛度EI=2.05×1010N·m2，線質量m=9360kg/m，泊松比v=0.2，汽車參數(shù)：M1=46900kg，M0=16900kg，k0=4.86×106N/m，c0=3.14×105N·s/m，v=60km/h。

為了證明本文計算方法的正確性，同時采用龍格—庫塔法對算例進行計算，將計算結果與編制的計算程序的結果進行比較，圖2～圖4分別給出了算例的簡支梁跨中位置，分別采用龍格—庫塔法和作者所編制的計算程序的位移響應、速度響應、加速度響應比較圖。

圖2 橋梁跨中位移響應

圖3 橋梁跨中速度響應

圖4 橋梁跨中的加速度響應

由圖2～圖4可知：a）本文編制的程序和龍格—庫塔法計算車橋耦合振動都得到了較精確的結果，兩者之間的符合度較高，其得到的跨中撓度位移值與龍格—庫塔法的結果最大偏離僅為0.15%；b）本文編制的程序計算車橋耦合振動時，由于其在每個時間步內(nèi)迭代收斂速度較快，并沒有因為平衡迭代損失太多時間，同時結果精度較高。

4 結語

應用達朗貝爾原理推導了彈簧質量塊車輛模型和橋梁的運動平衡方程，選用了NEWMARK法對車橋系統(tǒng)方程進行分離迭代求解，并提出了車橋耦合振動分析的步驟，結合計算原理編制了車橋耦合分析程序。利用該程序和龍格—庫塔法分別對一算例計算驗證該程序的準確性，通過算例證明該程序的計算結果和龍格—庫塔法計算結果符合度較高，該程序計算結果準確可靠，可應用于車橋耦合振動分析。

[1]夏禾.車輛與結構動力相互作用[M].北京：科學出版社，2002.

[2]Thomas D.Gillespie.車輛動力學基礎[M].趙六奇，金達鋒，譯.北京：清華大學出版社，2006.

[3]曹雪琴，劉必勝，吳鵬賢.橋梁結構動力分析[M].北京：中國鐵道出版社，1987.

[4]Anil K Chopra.結構動力學理論及其在地震工程中的應用[M].2版.北京：高等教育出版社，2005.

[5]Bathe K.J,Wilson E.l.Solution methods for eigenvalue problems in structural mechanics[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，1973，6（2）：213-226.