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        結(jié)合稀疏逼近的正則化方法求解非齊次雙調(diào)和方程的Cauchy問(wèn)題

        2013-11-15 06:50:52劉曉宇
        中國(guó)校外教育 2013年27期
        關(guān)鍵詞:正則結(jié)點(diǎn)邊界條件

        ◆劉曉宇

        (重慶工商大學(xué)融智學(xué)院)

        一、引言

        二維雙調(diào)和方程在很多實(shí)際問(wèn)題中需要用到。但是實(shí)際的工程應(yīng)用中,已知的邊界條件可能不完整或者不準(zhǔn)確,這樣的問(wèn)題就是反問(wèn)題,一般來(lái)說(shuō)反問(wèn)題是不適定的。本文研究的Cauchy問(wèn)題就是一種反問(wèn)題,因而在求解過(guò)程中,用基本解方法得到的最小二乘問(wèn)題的解是不唯一的,需要通過(guò)使用正則化方法提高原問(wèn)題數(shù)值求解的準(zhǔn)確度。

        用基本解方法求解齊次雙調(diào)和方程會(huì)導(dǎo)致離散的Cauchy問(wèn)題的線性方程不是滿秩的或是超定的,其解的適定性存在問(wèn)題,故本文將使用稀疏逼近的正則化方法來(lái)求解離散方程組,以避免直接求解非齊次方程時(shí)會(huì)出現(xiàn)的不確定性。

        傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法是將線性反問(wèn)題

        重新表示為

        并選擇二次罰項(xiàng),以使得近似解具有光滑性。本文選擇的稀疏逼近正則化方法,即Φ(x)=x1,同時(shí)借助稀疏逼近的優(yōu)勢(shì),在減少結(jié)點(diǎn)數(shù)目的同時(shí),仍得到較好的結(jié)果。

        本文還考慮到給定的邊界數(shù)據(jù)有擾動(dòng),即有噪聲的情況下的數(shù)值方法的穩(wěn)定性。

        二、問(wèn)題的數(shù)學(xué)表述

        二維開(kāi)區(qū)域Ω∈R2上的非齊次雙調(diào)和寫為:

        或表示成兩個(gè)Possion方程:

        若該問(wèn)題有解,則在求解過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)病態(tài)的線性方程組,方程組不滿秩或者是超定的且條件數(shù)很大。本文使用結(jié)合稀疏逼近的正則化方法的邊界結(jié)點(diǎn)法求解滿足邊界條件(5)的雙調(diào)和方程(3)或(4)。

        三、結(jié)合稀疏逼近正則化方法的邊界結(jié)點(diǎn)法

        方程(3)的解可以寫為:

        up(Χ)和uh(Χ)分別是方程的特解和通解。up(Χ)滿足

        但是,它不一定滿足邊界條件。而通解uh(Χ)滿足:

        以及邊界條件(5)

        (一)求非齊次雙調(diào)和方程的特解

        邊界結(jié)點(diǎn)法中,非齊次方程(5)的特解近似表示為[3]:

        (二)求非齊次雙調(diào)和方程的通解

        本文用Laplace方程的基本解和雙調(diào)和方程的基本解的線性組合來(lái)近似表示非齊次雙調(diào)和方程的通解。Laplace方程的基本解是G1(X,Y),雙

        則齊次方程(8)的解uh(Χ)由基本解的線性組合近似表示。

        其中,L是源點(diǎn)數(shù),{ cj}和 { dj}是待定系數(shù),{ Yj}是源點(diǎn),X是邊界點(diǎn)。uh(Χ)滿足給定邊界條件(9),(10)[3]。為求解待定系數(shù),在已知邊界條件的部分邊界 Γ1上選取 n個(gè)結(jié)點(diǎn) Xi,當(dāng) X=Xi,(i=1,2,...,n)時(shí),我們得到uh(Χ)所滿足的邊界條件構(gòu)成的方程組Aλ=b,這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣一般不是方陣,因此將求解該線性方程組轉(zhuǎn)化為如下極小值問(wèn)題:

        其中,||·|| 是2- 范數(shù),λ =(c1,c2,...,cL,d1,d2,...,dL)Τ是待定系數(shù)向量。系數(shù)矩陣A和已知的邊界條件向量b分別為:

        由于本文研究的問(wèn)題是不適定的,為了得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果,本文使用稀疏逼近方法結(jié)合最小二乘方法來(lái)求解極值問(wèn)題(14)。

        由于測(cè)量只能得到近似的邊界條件,故在給定的邊界數(shù)據(jù)有噪聲的情況下求解極值問(wèn)題(14)變?yōu)榍蠼馊缦碌淖钚《藛?wèn)題

        (三)稀疏逼近正則化

        最小二乘問(wèn)題(14)中的系數(shù)矩陣A是4n×2L矩陣。為得到最小二乘問(wèn)題的解,假設(shè)4n≥2L。本文問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦滦问?

        這里,T是一個(gè)正實(shí)數(shù)。利用[1]中所提到lasso算法,其全稱是leastabsoluteshrinkageandselectionoperator。其想法可以用如下的最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)表述:

        在限制了mλinλ1的情況下,求使得殘差平方和

        b-Aλ22達(dá)到最小的回歸系數(shù)的估值。

        lasso算法的步驟如下[6]:

        μ——當(dāng)前最小角度方向,即角平分線方向y^——當(dāng)前擬合的y值

        當(dāng)邊界數(shù)據(jù)有噪聲作用時(shí),邊界條件向量b變?yōu)閎,且設(shè)b=b(1+e%),此時(shí)同樣用上述算法可以求出待定系數(shù),并得到最后的近似解。

        四、數(shù)值算例

        本節(jié)算例驗(yàn)證第2、3節(jié)所分析的邊界結(jié)點(diǎn)法,以及它應(yīng)用于求解非齊次雙調(diào)和方程Cauchy問(wèn)題的有效性和結(jié)果關(guān)于數(shù)據(jù)噪聲的穩(wěn)定性。本文定義u(an)i和ui分別為未知邊界上第i(i=1,2,...,n)個(gè)結(jié)點(diǎn)處的精確解和數(shù)值解。

        圖1:在噪度e分別為e=0% ,e=1% ,e=3% 和e=5% 時(shí)Γ2上結(jié)點(diǎn)處的u(X),結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n=30。該圖表明計(jì)算結(jié)果與精確解是吻合的,且隨噪聲的減小呈收斂趨勢(shì)。

        五、總結(jié)

        本文使用稀疏逼近正則化方法結(jié)合邊界結(jié)點(diǎn)法求解非齊次雙調(diào)和方程的Cauchy問(wèn)題,從數(shù)值試驗(yàn)的結(jié)果可以看出,這是可行的。并且從以上算例中可以看出,在對(duì)源點(diǎn)數(shù)、結(jié)點(diǎn)數(shù)和內(nèi)點(diǎn)數(shù)的關(guān)系,以及源點(diǎn)到邊界的距離作[3]中的要求的情況下,計(jì)算結(jié)果與[3]類似,但是精度更高。結(jié)果是較準(zhǔn)確的,且在該范圍內(nèi),誤差非常小,即使所取點(diǎn)數(shù)較多,計(jì)算時(shí)間仍然較少。當(dāng)邊界條件有較小噪聲時(shí),計(jì)算結(jié)果仍然是穩(wěn)定的,且隨噪聲的減小而收斂。

        [1]Stephen J.Wright,Robert D,Sparse Reconstruction by Separable Approximation,IEEE Transactions on Signal Processing,2009.2479.

        [2]祝家麟.邊界元分析.科學(xué)出版社,2009.

        [3]劉曉宇,王小軍,杜亞楠.用邊界結(jié)點(diǎn)法(BKM)求解非齊次雙調(diào)和方程的 Cauchy問(wèn)題,2009,(11):154-166.

        [4]W.Chen and M.Tanaka,New Insights in Boundary-only and Domain-type RBF Methods,Int J Nonlinear Sci Numer Simul,2000,1(3):145-52.

        [5]Xiaolin Li and Jialin Zhu,The method of fundamental solutions for nonlinear elliptic problems,Engineering Analysis with Boundary Elements,2008,(10):1016.

        [6]Robert Tibshirani.Regression shrinkage and selection via the lasso,Journal Royal Statostical Society B,1996(58):267-288.

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