楊少華，華志強(qiáng)

（1.遼寧大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110036；2.阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037；3.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到一些被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得或根本就不存在的情況，因此，用數(shù)值方法求問(wèn)題的近似解就成為解決問(wèn)題的重要途徑.為了提高近似解的精度，要對(duì)數(shù)值求積公式進(jìn)行校正以期得到誤差較小的近似解.本文利用Simpson 數(shù)值求積公式余項(xiàng)“中間點(diǎn)”的漸近性對(duì)其進(jìn)行校正，從而得到代數(shù)精度較高的數(shù)值求積公式.

其插值余項(xiàng)

1 漸近性定理

定理1 設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間［a，x］上連續(xù)，在a的某鄰域內(nèi)直到n＋5次可導(dǎo)，且f（n＋5）（a）≠0，則對(duì)于由

確定的ξ（ξ∈（a，x）），有下式成立：

證明 令

反復(fù)應(yīng)用洛必達(dá)法則，得

由式（2）并反復(fù)應(yīng)用洛比達(dá)法則，得

比較式（3）與式（4），有

所以

因此

特別地，當(dāng)n＝1時(shí)，可以得到以下推論.

推論 設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間［a，x］上連續(xù)，在a的某鄰域內(nèi)直到6次可導(dǎo)，且f（6）（a）≠0，則對(duì)于由式（2）確定的ξ，有下式成立：

證明 當(dāng)n＝1時(shí)，利用定理1的結(jié)論，可得：

2 校正后的Simpson數(shù)值求積公式及其代數(shù)精度

定理2 設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間［a，x］上連續(xù)，在a的某鄰域內(nèi)直到5次可導(dǎo)，且f（5）（a）≠0，則定積分f（x）dx 有如下數(shù)值積分公式：

定理3 設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間［a，x］上連續(xù)，在a的某鄰域內(nèi)直到5次可導(dǎo)，且f（5）（a）≠0，則校正后的Simpson數(shù)值求積公式（5）具有5次代數(shù)精度.

證明 不失一般性，考查a＝0的情形.

當(dāng)f（t）＝ti（i＝0，1，2，3）時(shí)，式（4）左邊等于右邊，下面考查f（t）＝t4，t5時(shí)，式（5）左右兩邊是否相等.把f（t）＝t4，a＝0，x＝1代入

把f（t）＝t4代入式（5）左右兩邊，得

所以，當(dāng)將f（t）＝t4代入式（5）時(shí)，左邊與右邊相等.

把f（t）＝t5＋（1-t）5，a＝0，x＝1 代入式（6），有

把f（t）＝t5代入式（5），得

所以，當(dāng)將f（t）＝t5代入式（5）時(shí)，左邊與右邊也相等.但將f（t）＝t6代入式（5），左右兩邊不等，根據(jù)數(shù)值求積公式代數(shù)精度的定義知式（5）的代數(shù)精度為5.

綜上，校正后的Simpson數(shù)值求積公式S′的代數(shù)精度為5，而Simpson數(shù)值求積公式S的代數(shù)精度只有3［6-7］，因此，校正后代數(shù)精度提高了2階.

3 結(jié) 語(yǔ)

在用數(shù)值方法求積分值時(shí)，隨著積分區(qū)間添加節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，往往會(huì)造成數(shù)值求積公式不穩(wěn)定.因此，為了提高精度，通常把積分區(qū)間等分成若干子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上使用低階求積公式，這就是復(fù)合求積法.上面已經(jīng)得到代數(shù)精度較高、低階的改進(jìn)Simpson數(shù)值求積公式，下面利用建立復(fù)合Simpson數(shù)值求積公式的思想，給出改進(jìn)的復(fù)合Simpson數(shù)值求積公式.

將區(qū)間［a，b］分為n 等份，在每個(gè)子區(qū)間［xk，xk＋1］上采用改進(jìn)的Simpson 數(shù)值求積公式，則稱

為改進(jìn)的復(fù)合Simpson數(shù)值求積公式.其中，xk

在用數(shù)值方法求積分近似值的過(guò)程中，應(yīng)該使用改進(jìn)的復(fù)合Simpson數(shù)值求積公式，因?yàn)樗鼤?huì)帶來(lái)更為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果.

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