卞士挺 樓立志

(同濟大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092)

0 引言

地籍測量中，常會遇到一些圓形建(構(gòu))筑物如水塔、水池、儲油罐等，要準確確定其邊界及面積，就必須通過實測圓曲線上若干點來擬合圓方程，即用LS估計求得圓心坐標和圓半徑［1-3］。但是在具體的工程測量中，由于環(huán)境或人為因素的影響，使得觀測值難免存在粗差，若不及時處理粗差，將使LS估計結(jié)果受到嚴重的扭曲。為此，自20世紀60年代起，對粗差的研究一直是測量數(shù)據(jù)處理的重要課題之一。

Baarda于1967年～1968年提出了測量可靠性理論和數(shù)據(jù)探測方法，奠定了粗差理論研究的發(fā)展基礎(chǔ)。Baarda所提出的數(shù)據(jù)探測法，其前提是假設(shè)一個平差系統(tǒng)只存在一個粗差，采用統(tǒng)計假設(shè)檢驗探測粗差，在剔除第一個粗差后，循環(huán)迭代繼續(xù)剔除下一個粗差。

本文將數(shù)據(jù)探測法應(yīng)用到軸線復(fù)測中，應(yīng)用結(jié)果表明，數(shù)據(jù)探測法對軸線復(fù)測的粗差檢測效果非常好。

1 基本原理和過程

在建筑物施工后，原建筑軸線已經(jīng)被建筑物覆蓋(見圖1)，P1，P2為建筑角點，但已經(jīng)修成承重柱子，所以要想測量P1和P2點坐標已經(jīng)不可能，可通過測量柱子外圍1個～7個點坐標，通過擬合方法獲得P1，P2點坐標。其本質(zhì)在于圓曲線擬合。

1.1 圓曲線擬合模型

擬合模型是測量平差中常遇到的一種特殊的函數(shù)模型，是一種函數(shù)逼近型或統(tǒng)計回歸型模型［4］。

在圓曲線或圓柱上采集若干個點(如圖1所示)作為獨立觀測量，通過求該圓的曲線方程可得出圓心坐標及圓半徑，由于采集點有誤差，各個點并不在同一條圓曲線上，要在這些采集點上擬合出一條最佳圓曲線。

在半徑未知的情況下，設(shè)采集點個數(shù)為m，以圓心的坐標平差值、半徑平差值和圓心至各采集點的方位角平差值為參數(shù)，圓曲線的參數(shù)方程為:

將式(1)線性化，得誤差方程為:

式(2)中:

若半徑已知，則誤差方程如下:

1.2 數(shù)據(jù)探測法

觀測值含有粗差，從其本身來看是無法識別的，要探測和剔除粗差可以根據(jù)平差的結(jié)果來檢驗。

測量數(shù)據(jù)處理中，比較簡單的粗差探測方法是殘差檢驗法。

由間接平差原理可知，觀測值的改正數(shù)V是偶然誤差，服從正態(tài)分布，即，標準化后則有構(gòu)造統(tǒng)計量，在顯著水平 α 下，拒絕域為若取 95%的置信度，則，所以誤差大于 2σ 的事件是小概率事件，當(dāng)殘差大于2σ時可認為該觀測值含有粗差。但由于粗差會對平差結(jié)果有很大影響，通常情況下會導(dǎo)致驗后單位權(quán)中誤差比正常值大得多，各觀測值的殘差都受到影響，雖然含有粗差的觀測值殘差一般會大于沒有粗差的殘差，但往往會出現(xiàn)不超過2σ的情況，因此殘差檢驗法并不能很好地剔除粗差。經(jīng)實踐驗證，荷蘭Baarda教授提出的數(shù)據(jù)探測方法能夠有效地探測粗差，已被廣泛應(yīng)用到測量平差中。

數(shù)據(jù)探測法的前提是假設(shè)一個平差系統(tǒng)只存在一個粗差［5，6］，檢驗探測粗差，從而剔除該粗差。根據(jù)間接平差原理，誤差方程為:

式(6)中:

改正數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為:

式(7)可寫成:

由此可見，R值取決于系數(shù)陣B和權(quán)陣P，它與觀測值無關(guān)。在給定觀測權(quán)的情況下，R反映了網(wǎng)形結(jié)構(gòu)。

R與式(6)是研究粗差探測和可靠性理論的一個重要的關(guān)系式。

令:

則式(6)可寫成顯式為:

由于|R|=0，所以由上式的n個改正數(shù)vi不能解出n個Δi。對式(6)兩邊取數(shù)學(xué)期望得:

當(dāng)Δ僅是偶然誤差不含粗差時，E(Δ)=0，故E(V)=0，V是Δ的線性函數(shù)，兩者的概率分布相同，因此當(dāng)Δ是偶然誤差時，V為正態(tài)隨機向量，其期望為零，方差為D(V)=。

數(shù)據(jù)探測法的原假設(shè)是H0∶E(vi)=0，即觀測值Li不存在粗差，考慮，于是可作標準正態(tài)分布統(tǒng)計量:

利用數(shù)據(jù)探測法，一次只能發(fā)現(xiàn)一個粗差，當(dāng)要再次發(fā)現(xiàn)另一個粗差時，就要先剔除所發(fā)現(xiàn)的粗差，重新平差并計算統(tǒng)計量。逐次不斷進行，直至不再發(fā)現(xiàn)粗差。

數(shù)據(jù)探測法并未顧及各改正數(shù)之間的相關(guān)性，檢驗可靠性受到一定的限制。

2 算例分析

模擬一組均勻分布的軸線復(fù)測觀測數(shù)據(jù)(如圖2所示)，采集點為20個，點號順時針依次為i=1，2，3…，采集精度約為±5 mm的數(shù)據(jù)。

采用以下三種方法進行解算:

方法1:

在沒有粗差的情況下解算。

方法2:

對第1和第12這兩點施加±20 mm的粗差，不經(jīng)粗差檢驗，采用最小二乘平差進行解算。

方法3:

對第1和第12這兩點施加±20 mm的粗差，采用Baarda數(shù)據(jù)探測法剔除粗差，重新進行最小二乘解算。

三種方法的解算結(jié)果如表1所示。

表1 粗差檢驗擬合精度

圖3反映，在沒施加粗差的平差結(jié)果中，各采集點的改正數(shù)沒有出現(xiàn)異常大的數(shù)值。

圖4反映，當(dāng)在第1個和第12個點添加粗差后，方法2的解算結(jié)果中這兩點的改正數(shù)比其他點大了好幾倍。

圖5反映，當(dāng)在第1個和第12個點添加粗差后，使用數(shù)據(jù)探測法能發(fā)現(xiàn)這兩個點存在粗差并進行剔除，解算結(jié)果與沒加粗差的解算結(jié)果基本一致。

表1反映，存在粗差的平差結(jié)果失真。一般來說，采集點的精度為±5 mm，那么平差后的單位權(quán)中誤差應(yīng)該在±5 mm附近。粗差的存在使得單位權(quán)中誤差與圓心點位中誤差過大，經(jīng)粗差檢驗后，結(jié)果恢復(fù)正常，由此驗證了數(shù)據(jù)探測法的可行性。

3 結(jié)語

本文將數(shù)據(jù)探測法應(yīng)用到軸線復(fù)測中，結(jié)果表明，數(shù)據(jù)探測法能夠比較有效地探測出粗差，對檢驗觀測值質(zhì)量和提高精度有一定的作用，對實際的工程測量數(shù)據(jù)質(zhì)量檢測也具有一定的參考意義。

［1］潘國榮，谷 川，施貴剛.空間圓形物體檢測方法與數(shù)據(jù)處理［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2007(3):28-30.

［2］陳基偉.工程測量中一類參數(shù)曲線的擬合［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2007，27(1):100-103.

［3］許正文，姚連璧.基于穩(wěn)健估計的直接最小二乘橢圓擬合［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2008(2):77-80.

［4］陳乃輝.隨機自變量多項式回歸函數(shù)的估計問題［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2009(3):297-308.

［5］彭軍還.L1范估計的巴爾達型檢驗及其可靠性［J］.測繪學(xué)報，2015(3):208-212.

［6］方 坤，賀 磊，高俊強.巴爾達粗差探測法在地鐵限界測量中的應(yīng)用［J］.測繪工程，2012(2):47-49.