毋曉琛

(山西省交通科學(xué)研究院，山西太原 030006)

1 背景問題

在中國，高速公路的建設(shè)速度隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展而不斷地加快，另一方面，高速公路的建設(shè)也改善了項(xiàng)目地區(qū)的交通滯后，以及所造成的社會經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)的現(xiàn)象，提升了這些地區(qū)的發(fā)展?jié)摿?。在高速公路的建設(shè)過程中，交通量的預(yù)測是一個(gè)相當(dāng)重要的環(huán)節(jié)。交通量預(yù)測是對交通狀態(tài)進(jìn)行評價(jià)、項(xiàng)目建設(shè)的必要性和可行性進(jìn)行綜合分析的前提和基礎(chǔ)，也是確定項(xiàng)目建設(shè)規(guī)模技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)的依據(jù)之一，其結(jié)果的可靠性是直接影響項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)評價(jià)結(jié)論的可信與否、技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)確定合理性、項(xiàng)目決策正確與否的重要因素。

交通量預(yù)測的方法主要分為兩大類:以出行起訖點(diǎn)為基礎(chǔ)的4階段預(yù)測法和個(gè)別預(yù)測法，常用的個(gè)別預(yù)測方法有增長率法、回歸分析法、類別分析法、彈性系數(shù)法等。相比而言，前者從交通需求出發(fā)，考慮多方面因素，更能全面的反應(yīng)交通情況，但是在實(shí)踐中，很難獲得綜合運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)資料和運(yùn)輸方式的分擔(dān)率等數(shù)據(jù)，所以一般采用后者。但后者相對簡單，預(yù)測的精確性也不高，而且由于相關(guān)資料的不全面，各個(gè)方法的相關(guān)系數(shù)的確定變得困難，由此得出的交通量數(shù)據(jù)和實(shí)際出入較大，預(yù)測結(jié)果可信度較低。交通量預(yù)測中資料的缺失和影響因素的準(zhǔn)確性不夠，在這種部分影響因素不確定的情況下，本文引入灰色系統(tǒng)這一理論來進(jìn)行高速公路交通量的預(yù)測。

2 灰色理論文獻(xiàn)綜述

美國控制論專家N.wiener和英國科學(xué)家A.Isbo曾用白盒和黑盒來稱呼內(nèi)部信息未知的對象，人們常用顏色深淺來表示系統(tǒng)信息完備的程度。內(nèi)部特性已知的信息系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng);未知的或非確知的稱為黑色系統(tǒng)，而部分信息已知部分信息未知的小樣本、貧信息的不確定性系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)［1］。它通過對部分已知信息的生成、開發(fā)去了解認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)運(yùn)行行為和演化規(guī)律的正確把握與描述?；疑到y(tǒng)對試驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)和分布沒有特殊的要求與限制，是一種十分簡便的新理論，具有十分廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域［2］。我國學(xué)者鄧聚龍教授結(jié)合數(shù)學(xué)方法將灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用到社會經(jīng)濟(jì)等眾多領(lǐng)域，解決了生產(chǎn)生活和科學(xué)研究中的大量實(shí)際問題［3］。

在交通方面，張新天將灰色理論與模型應(yīng)用在交通量預(yù)測中，得出結(jié)論:與目前常規(guī)交通量預(yù)測理論和模型相比，可有效的處理貧信息和離亂數(shù)據(jù)，在一定預(yù)測時(shí)段內(nèi)具有良好的預(yù)測精度和實(shí)用性［4］。陳淑燕將灰色系統(tǒng)的思想與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，提出并聯(lián)型、串聯(lián)型和嵌入型三種預(yù)測模型的結(jié)構(gòu)，并對比這三種模型結(jié)構(gòu)預(yù)測結(jié)果的精度，用實(shí)例證明灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可提高預(yù)測精度，可用于交通量預(yù)測方面［5］。隨著應(yīng)用的深入，人們逐漸發(fā)現(xiàn)了灰色理論模型的不足之處，也在不斷的提出改進(jìn)方法，目前GM(1，1)模型的改進(jìn)方法主要集中在以下幾個(gè)方面:對初值條件進(jìn)行修正;改進(jìn)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù);對GM(1，1)模型的殘差建立修正模型;對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使其更適合建立模型;采用新的背景值構(gòu)造法;尋找最優(yōu)的背景值參數(shù);避開背景值，直接尋找最優(yōu)模型參數(shù)。

以上的改進(jìn)方法都在一定的程度上提高了模型的預(yù)測精度，擴(kuò)大了模型的使用范圍，但同時(shí)各自也存在著不足和缺陷，有待進(jìn)一步的研究和改進(jìn)。

3 模型建立

3.1 灰色預(yù)測GM(1，1)模型建模機(jī)理

在一般建模當(dāng)中，灰色系統(tǒng)理論被用來處理數(shù)據(jù)。與一般的插值擬合相比較，將灰色模型用于處理數(shù)據(jù)不但對數(shù)據(jù)沒有一般限制性，而且精度還比較高，計(jì)算也更方便，對于小樣本的預(yù)測問題來說是一種非常有效的工具?；疑A(yù)測模型是通過少部分的、不完全的信息來建立數(shù)學(xué)模型并作出預(yù)測的方法。

把原始數(shù)據(jù)群按照某種要求做處理稱為生成，對原始數(shù)據(jù)的生成是為了從雜亂無章的現(xiàn)象中探索內(nèi)在的規(guī)律。常用的灰色系統(tǒng)生成的方式有累加生成、累減生成、均值生成和級比生成等。灰色系統(tǒng)模型通常采用的預(yù)測模型是灰色預(yù)測GM(1，1)模型，該模型是基于一階常微分方程(1)建立的，其建模過程就是將沒有規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加，從而得到一組規(guī)律性較強(qiáng)的生成數(shù)列后進(jìn)行建模，再由生成模型得到數(shù)據(jù)進(jìn)行累減繼而得到原始數(shù)據(jù)的預(yù)測值，由此來進(jìn)行預(yù)測。GM(1，1)的建模步驟如下所示:

1)由原始數(shù)據(jù)的序列X(0)經(jīng)過一次計(jì)算累加得到序列X(1);

設(shè)非負(fù)原始序列:

于是x(0)(k)的GM(1，1)白化形式的微分方程為:

其中，a，u均為待定系數(shù)，將式(1)離散化可以得到:

因?yàn)?

將式(3)和式(4)代入式(2)，可得:

2)建立矩陣B，Y;

將式(5)展開得:

Φ=［a，u］T為待辨識參數(shù)向量，則式(6)可以寫成:

3)求逆矩陣(BTB)－1;

參數(shù)向量Φ可以用最小二乘法求得，即:

式(9)和式(10)稱為GM(1，1)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)模型，它是GM(1，1)模型灰色預(yù)測的具體計(jì)算公式。

6)精度檢驗(yàn)與預(yù)測。

模型選定一定要通過檢驗(yàn)才能判定是否合格，只有通過檢驗(yàn)的模型才能用來預(yù)測，灰色模型的精度檢驗(yàn)包括3種:相對誤差大小檢驗(yàn)法、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)法和后驗(yàn)差檢驗(yàn)法。一般采用比較簡便的相對誤差檢驗(yàn)法和后驗(yàn)差檢驗(yàn)法來對模型的精度進(jìn)行檢驗(yàn)。

相對誤差檢驗(yàn)法:

計(jì)算殘差:

計(jì)算相對誤差:

后驗(yàn)差比為:

小誤差概率為:

式(13)和式(14)中的指標(biāo)C，p是后驗(yàn)差檢驗(yàn)中的兩個(gè)重要指標(biāo)。C越小越好，表示原始數(shù)據(jù)方差大，即離散程度大，說明即使原始數(shù)據(jù)很離散，但是模型所得的計(jì)算值與實(shí)際值之差并不離散;而p越大越好，說明殘差與殘差平均值的差別小于定值0.674 5的點(diǎn)較多，也就是擬合值分布比較均勻，一般要求p0＞80%，最好p0＞90%。

3.2 基于積分背景值構(gòu)造法的改進(jìn)GM(1，1)模型

對式(1)在區(qū)間［k，k+1］上積分，令:

為 x(1)(t)在區(qū)間［k，k+1］的背景值，則:

GM(1，1)模型擬合和預(yù)測的精度取決于常數(shù)a和u，而常數(shù)a和u往往取決于模型的背景值，因此，合理的構(gòu)造模型的背景值可以提供模型的預(yù)測精度。

傳統(tǒng)的GM(1，1)模型在確定待定常數(shù)a和u時(shí)，利用梯形的面積來近似曲邊梯形的面積。這樣的構(gòu)造方法精度比較低，易導(dǎo)致常數(shù)a和u的值偏離正常數(shù)，對模型的精度產(chǎn)生影響。

因此在對背景值進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，根據(jù)式(15)可以得出:

由此可以得出:

因此背景值:

4 實(shí)例分析

建立高速公路交通量預(yù)測模型，本文選取山西省某高速公路某收費(fèi)站歷年的交通量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來建立灰色預(yù)測模型，對模型的精度進(jìn)行檢驗(yàn)，并且對未來的客運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測。根據(jù)相關(guān)資料［6］，某收費(fèi)站歷年交通量數(shù)據(jù)見表1。

表1 某收費(fèi)站2009年～2012年出入口車流量統(tǒng)計(jì) pcu/d

根據(jù)已知相關(guān)條件，得到 X(0)=(3 688，4 019，7 447，7 567，8 169)，利用Matlab軟件通過計(jì)算可以得到改進(jìn)后的灰色預(yù)測模型GM(1，1)的參數(shù):a= －0.053 82，u=6 237.186 9，計(jì)算結(jié)果見表2。原始灰色預(yù)測模型GM(1，1)的后驗(yàn)差檢驗(yàn)值見表3。

表2 改進(jìn)后的灰色預(yù)測模型GM(1，1)的后驗(yàn)差檢驗(yàn)值

表3 原始灰色預(yù)測模型GM(1，1)的后驗(yàn)差檢驗(yàn)值

精度檢驗(yàn)結(jié)果為 C=0.15 ＜0.35，P=1 ＞0.95，預(yù)測精度等級為好。

精度檢驗(yàn)結(jié)果為 C=0.21 ＜0.35，P=0.99 ＞0.95，預(yù)測精度等級為好。

由圖1可以看出經(jīng)過修正后模型預(yù)測的數(shù)據(jù)更加平滑，光滑性變小，預(yù)測精度也有提高。因此，可以利用改進(jìn)后的GM(1，1)模型來預(yù)測收費(fèi)站未來特征年的交通量。

5 結(jié)語

文章中通過利用原始GM(1，1)與改進(jìn)背景值的優(yōu)化灰色預(yù)測模型GM(1，1)進(jìn)行了高速公路交通量的預(yù)測，利用模型所需要信息較少的特點(diǎn)，建立了適合高速公路交通量的灰色預(yù)測模型，能較好的反映高速公路交通量預(yù)測的特點(diǎn)，提高了預(yù)測的精度。結(jié)果表明，通過優(yōu)化的預(yù)測模型具有更高的預(yù)測精度，預(yù)測結(jié)果能滿足高速公路客運(yùn)量的預(yù)測需求，能為確定未來高速公路發(fā)展趨勢提供科學(xué)依據(jù)。

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