楊春芝

（鐵嶺市師范高等?？茖W(xué)校，遼寧 鐵嶺 112001）

無窮小在數(shù)學(xué)理論研究上和實(shí)際工程應(yīng)用中都具有重要作用，特別是在極限運(yùn)算中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。正確合理的運(yùn)用等價(jià)無窮小代換，會(huì)給極限求解帶來極大的方便，甚至能夠完成諾必達(dá)法則不能完成的極限求解。

1 無窮小定義及常用等價(jià)無窮小總結(jié)

1.1 無窮小定義

設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義（或大于某一正數(shù)時(shí)有定義）。 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε （不論它多么?。?，總存在正數(shù)δ（或正數(shù)X），使得對(duì)于適合不等式0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞X）的一切x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）|＜ε，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無窮小。 記作（或f（x）=0）。

1.2 常用等價(jià)無窮小總結(jié)

通常所用的初等函數(shù)有這樣五類： 三角函數(shù)、 反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，復(fù)雜方程式的求解中也為這五類初等函數(shù)的組合運(yùn)算。 以下列舉出這五類初等函數(shù)的無窮小代換：

在當(dāng)x→0 時(shí)：

冪函數(shù)無窮小代換：（1+x）a-1～ax （a 可以取整數(shù)也可以取分?jǐn)?shù)）；

指數(shù)函數(shù)無窮小代換：ex～x+1，ax～lna×x+1；

對(duì)數(shù)無窮小代換：ln（1+x）～x，loga（1+x）～x/;lna；

差的無窮小代換：1-cosx～x2/2，x-sinx～x3/6，tanx-x～x3/3，xln （1+x）～x2/2，tanx-sinx ～x3/3，x-arctanx ～x3/3，arcsinx-x ～x3/6，arcsinx-arctanx～x3/2；前面兩個(gè)代換后為二次函數(shù)，后面代換為三次函數(shù)。 而且從代換的等價(jià)無窮小方程式來看，代換的方程式明顯比前面未代換的方程式簡單得多。

2 無窮小代換求極限運(yùn)算與羅比達(dá)法則對(duì)比

使用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解極限運(yùn)算， 是我們計(jì)算極限時(shí)的首選方式，而且在絕大多數(shù)情況下，確實(shí)也能夠獲得快而且準(zhǔn)確的結(jié)果。 但在一些復(fù)雜的求解中，洛必達(dá)法則并不具有優(yōu)勢(shì)，如帶有三角函數(shù)和反三角函數(shù)的加減運(yùn)算，因?yàn)槿呛瘮?shù)中sinx、cosx 的兩次導(dǎo)數(shù)就回到了本身。 現(xiàn)舉例說明無窮小代換求解極限運(yùn)算與羅比達(dá)法則對(duì)比：

當(dāng)然，這需要熟記一些等價(jià)無窮小。 需要注意的是，等價(jià)無窮小的運(yùn)用往往不止一次，只要發(fā)現(xiàn)運(yùn)用洛必達(dá)法則運(yùn)算困難，則可以嘗試等價(jià)無窮小代換。

3 等價(jià)無窮小代換應(yīng)注意問題

根據(jù)等價(jià)無窮小的定義， 當(dāng)方程式的乘積因子為無窮小時(shí)，則可利用等價(jià)無窮小進(jìn)行代換。 但如果方程式中有因子為無窮小，但為加減法運(yùn)算，則需要考察代換的條件是否成立。

3.1 無窮小因子處于加減法運(yùn)算中

但在求解中，正確采用等價(jià)無窮小代換，則會(huì)得到：

在求解中， 因?yàn)闊o窮小因子tanx 是作為乘積因子出現(xiàn)在方程式中。

3.2 在無窮小代換中需注意趨近的值

在進(jìn)行無窮小代換中需確定的是：第一，必須是無窮??；第二，必須是等價(jià)無窮小之間才能進(jìn)行替換。 見下例：

在本題中，如果將用代換，導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果為1。正確計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)為:

4 等價(jià)無窮小代換總結(jié)

（1）乘除運(yùn)算中可以使用等價(jià)無窮小因子替換，加減運(yùn)算中由于用等價(jià)無窮小替換是有條件的。 這時(shí)，滿足條件則可進(jìn)行代換，不滿足可用泰勒公式、洛必達(dá)法則等方法來求極限。

（2）如果采用洛必達(dá)法則求導(dǎo)運(yùn)算，在進(jìn)行一次導(dǎo)數(shù)后，先觀察一下求導(dǎo)后的方程式能否進(jìn)行等價(jià)無窮小替換，如果能替換，則進(jìn)行替換。