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        典型混沌系統(tǒng)的吸引子和功率譜研究

        2013-11-06 02:19:58孫紅章湯正新劉鋼魏榮慧蘇向英劉磊
        商丘師范學(xué)院學(xué)報 2013年6期
        關(guān)鍵詞:譜分析分量動力學(xué)

        孫紅章,湯正新,劉鋼,魏榮慧,蘇向英,劉磊

        (河南科技大學(xué)物理與工程學(xué)院,河南洛陽 471023)

        0 引言

        自然界中存在無數(shù)的無序、非平衡和隨機(jī)的復(fù)雜系統(tǒng).非線性動力學(xué)中提出的混沌理論透過撲朔迷離的無序混亂現(xiàn)象和不規(guī)則形態(tài),揭示隱匿在復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)部的規(guī)律[1].自然界面對的更多的是非線性問題.混沌已經(jīng)成為目前非線性科學(xué)研究中的熱點(diǎn)問題[2-4],Lorenz系統(tǒng)[5]、Henon 系統(tǒng)[6]和 Chen 系統(tǒng)[7]是典型的混沌系統(tǒng).

        1 功率譜的計算方法

        功率譜分析是研究時間序列所遵從的統(tǒng)計規(guī)律的方法.研究一個系統(tǒng)的混沌行為,常用功率譜分析的方法,它揭示出了確定論系統(tǒng)內(nèi)部的隨機(jī)性.在很多實(shí)際問題中,人們常常能觀測到如下的等時間間隔的離散時間序列:x1,x2,x3,…,xN.它反映了實(shí)際非線性動力系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài),而吸引子正是這種狀態(tài)的歸宿,因此吸引子的信息也包含在這一時間序列中.功率譜分析實(shí)際上是通過將時間空間轉(zhuǎn)化為頻率空間來闡明時間信號的頻率結(jié)構(gòu)的.對這個序列加上周期條件xN+j=xj,然后可計算時間序列xj的自相關(guān)函數(shù)(即離散卷積)

        再對cj作傅里葉變換,其傅立葉系數(shù)

        其中pk代表第k個頻率分量對xj的貢獻(xiàn),這就是功率譜本來的含義.當(dāng)發(fā)明快速傅里葉變換算法后,更有效的計算功率譜的方法便是不經(jīng)過計算自相關(guān)函數(shù),而是直接計算xj的傅里葉系數(shù),

        然后計算

        一個時間序列可看做各種周期運(yùn)動的疊加,各周期的的振動能量的分配pk即為功率譜[5].離散時間序列的功率譜是實(shí)驗(yàn)可以直接測量的,因此功率譜分析是一個方便的工具.

        2 典型混沌系統(tǒng)的吸引子和功率譜

        2.1 Lorenz系統(tǒng)

        Lorenz方程如下:

        取σ =10,r=28,b=8/3.我們利用MATLAB軟件中的Ode45(四五階龍格 -庫塔法)命令來對非線性Lorenz方程求解,并計算其功率譜,得到的洛侖茲系統(tǒng)的混沌吸引子如圖1所示,其x分量的功率譜如圖2所示.

        圖1 洛侖茲系統(tǒng)的混沌吸引子

        圖2 洛侖茲系統(tǒng)x分量的功率譜

        2.2 Henon 系統(tǒng)

        Henon系統(tǒng)的動力學(xué)方程為:

        取a=0.4,b=0.3.我們利用MATLAB軟件對非線性Henon系統(tǒng)的動力學(xué)方程求解,并計算其功率譜,得到的Henon系統(tǒng)的奇怪吸引子如圖3所示,其x分量的功率譜如圖4所示.

        圖3 Henon系統(tǒng)的混沌吸引子

        圖4 Henon系統(tǒng)x分量的功率譜

        2.3 Chen系統(tǒng)

        Chen系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

        取a=35,b=3,c=28.我們利用MATLAB軟件對非線性Chen系統(tǒng)的動力學(xué)方程求解,并計算其功率譜,得到的Chen系統(tǒng)的奇怪吸引子如圖5所示,其x分量的功率譜如圖6所示.

        圖5 Chen系統(tǒng)的混沌吸引子

        圖6 Chen系統(tǒng)x分量的功率譜

        3 討 論

        混沌運(yùn)動的相軌跡局部不穩(wěn)定,但全局穩(wěn)定,相軌跡一般有兩個穩(wěn)定平衡位置,圍繞一個穩(wěn)定平衡位置振動若干次以后,轉(zhuǎn)而圍繞另外一個穩(wěn)定平衡位置振動若干次,然后又跳回原平衡位置振動若干次,這樣來回振動,雖然每次軌跡都不重合,但最終被吸引到相圖中的某一點(diǎn)附近運(yùn)動.混沌運(yùn)動中奇怪吸引子的存在表明,混沌軌道運(yùn)動的具體位置雖然局部不穩(wěn)定,但全局穩(wěn)定,但軌道的大體位置是在吸引子上.

        周期吸引子和擬周期吸引子因其周期性,故功率譜線是分立的(對應(yīng)尖峰).白噪聲和混沌都是非周期運(yùn)動,它們的功率譜都是連續(xù)的譜.白噪聲因其無規(guī)則性,其功率譜密度在整個頻域內(nèi)均勻分布,所有頻率具有相同能量,所以白噪聲具有平坦功率譜.但是混沌運(yùn)動具有確定系統(tǒng)的隨機(jī)性,如在倍周期分岔過程中,每一次分岔產(chǎn)生一個新的頻率,功率譜中就出現(xiàn)一個對應(yīng)新頻率的峰,當(dāng)分岔數(shù)達(dá)到無窮多時,就達(dá)到混沌態(tài).盡管混沌系統(tǒng)的連續(xù)功率譜仍然有尖峰,但它們會增寬一些.所以混沌的功率譜不是平譜,而具有“噪聲背景”和“寬峰”.

        4 結(jié)語

        本文利用MATLAB得到了Lorenz系統(tǒng)、Henon系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的混沌吸引子和功率譜.奇怪吸引子的存在表明混沌軌道運(yùn)動的具體位置雖然具有對初值的敏感依賴性,但軌道的大體位置是在吸引子上.混沌系統(tǒng)的相軌跡雖然局部不穩(wěn)定,但全局穩(wěn)定,相軌跡最終被吸引到相圖中的某一點(diǎn)附近運(yùn)動.混沌的特征是功率譜中出現(xiàn)“噪聲背景”和“寬峰”,這個特點(diǎn)反映出了混沌運(yùn)動具有確定系統(tǒng)的隨機(jī)性.

        [1] 黃永念.非線性動力學(xué)引論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2010.1-3.

        [2] 孫紅章,趙圓圓,劉鋼,等.基于MATLAB復(fù)擺振動中非線性行為的仿真研究[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報,2012,28(6):50-55.

        [3] 孫紅章,毛愛霞,蘇向英,等.Henon系統(tǒng)動力學(xué)行為的MATLAB仿真研究[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報,2011,27(3):54-57.

        [4] 孫紅章,湯正新,劉哲,等.復(fù)擺強(qiáng)迫振動中的混沌研究[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報,2010,26(3):58-60.

        [5] Vadasz P.Analytical prediction of the transition to chaos in Lorenz equations[J].Applied Mathematics Letters,2010,23(5):503-507.

        [6] Matsuoka C,Hiraide K.Entropy estimation of the Henon attractor[J].Chaos,Solitons& Fractals,2012,45(6):805-809.

        [7] Leonov G A.General existence conditions of homoclinic trajectories in dissipative systems.Lorenz,Shimizu–Morioka,Lu and Chen systems[J].Physics Letters A,2012,376(45):3045-3050.

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