王 青 冉茂鵬 趙 洋

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

本文所研究的高超聲速飛行器是一種升力式飛行器，具有速度快、航程遠(yuǎn)等特點(diǎn).飛行器在再入過(guò)程中將面臨諸多困難(環(huán)境不確定性、多種飛行約束和動(dòng)力學(xué)方程的強(qiáng)非線性等)，因此，對(duì)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)提出了很高的要求[1].

傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)軌道法雖然比較簡(jiǎn)單，但能夠達(dá)到的航程和制導(dǎo)精度都非常有限.預(yù)測(cè)校正算法著眼于在每一制導(dǎo)周期中消除預(yù)測(cè)落點(diǎn)和實(shí)際落點(diǎn)之間的偏差，該方法具有更高的精度和抗干擾能力[2－3].文獻(xiàn)[4]針對(duì)低升阻比飛行器提出了一種自適應(yīng)的數(shù)值預(yù)測(cè)校正算法，其核心思想為一種對(duì)側(cè)傾角的參數(shù)化.隨著預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)方法的加入，所研究的飛行器會(huì)在初始側(cè)傾角幅值與過(guò)載峰值之間出現(xiàn)某種確定的趨勢(shì)，根據(jù)這種現(xiàn)象，文中設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單有效的過(guò)載減緩策略，最后得到的制導(dǎo)律在有效性及魯棒性方面均能滿足要求.文獻(xiàn)[5]針對(duì)中到高升阻比飛行器提出了一種預(yù)測(cè)校正再入制導(dǎo)算法.該算法巧妙的將路徑約束轉(zhuǎn)化為側(cè)傾角大小的上下限，從而在保證滿足各項(xiàng)過(guò)程約束的情況下，不增加制導(dǎo)算法的復(fù)雜性，并保證了魯棒性.文獻(xiàn)[6]針對(duì)高超聲速可重復(fù)運(yùn)載器的再入問(wèn)題，利用數(shù)值預(yù)測(cè)校正與準(zhǔn)平衡滑翔條件相結(jié)合的方法，在線設(shè)計(jì)同時(shí)滿足各種過(guò)程約束及末端精度要求的制導(dǎo)律.

本文針對(duì)具有較大升阻比的高超聲速飛行器再入過(guò)程，研究一種基于能量的預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)方法.在以能量為自變量的三自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)方程基礎(chǔ)上，考慮再入過(guò)程中熱流、過(guò)載、動(dòng)壓等幾種過(guò)程約束，分別設(shè)計(jì)縱向制導(dǎo)律和側(cè)向制導(dǎo)律.

1 再入運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

1.1 以能量為自變量的三自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

以時(shí)間為自變量的方式雖然比較直觀，但是，由于在預(yù)測(cè)過(guò)程中事先不能確定終端時(shí)間，為彈道的積分帶來(lái)了諸多困難，而如果采用能量作為微分方程組的自變量，則不會(huì)出現(xiàn)這種問(wèn)題.給出如下類似能量的表達(dá)式[4]:

式中，r為地心距;V為飛行器速度.式(1)之所以稱之為類似能量的表達(dá)式，是因?yàn)樵摫磉_(dá)式與表征機(jī)械能的表達(dá)式相差一個(gè)質(zhì)量項(xiàng)－m.該能量項(xiàng)是作為代替時(shí)間的一個(gè)自變量，因此不會(huì)對(duì)其他狀態(tài)量的變化趨勢(shì)造成影響.由此，可以得到不考慮地球自轉(zhuǎn)情況下的以能量為自變量的三自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:

式中的各狀態(tài)變量都是無(wú)量綱化的.式中，θ為飛行器所在位置的經(jīng)度;φ為飛行器所在位置緯度;γ為航跡傾角;ψ為方向角;σ為側(cè)傾角;速度量V可以根據(jù)r和e由(1)式求得和分別為氣動(dòng)升力加速度及阻力加速度，其表達(dá)式為

式中，ρ為大氣密度;Sref為飛行器氣動(dòng)參考面積;m為飛行器質(zhì)量;g0為海平面地球引力加速度;Cl和Cd分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù).

再入飛行過(guò)程中，通過(guò)控制σ和攻角α達(dá)到控制整個(gè)飛行軌跡的目的.一般情況下，α是離線選定的一條隨速度變化的曲線，因此σ就成為了唯一的控制變量.

1.2 再入過(guò)程約束

考慮到再入過(guò)程中飛行器結(jié)構(gòu)和熱防護(hù)系統(tǒng)的承受能力，飛行器需要滿足熱流、過(guò)載、動(dòng)壓幾種過(guò)程約束[7]:

式中，C為與飛行器相關(guān)的常數(shù);R為鼻錐駐點(diǎn)區(qū)曲率半徑;本文中采用指數(shù)大氣模型 ρ =ρ0e－0.15H，ρ0為海平面處標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，H為距海平面高度;為速度常量(R0為地球半徑);k為高超聲速飛行器常數(shù)，一般取為3或3.15;l取為0.5;max為熱流率允許的最大值，由熱保護(hù)系統(tǒng)材料所決定;σEQ為平衡滑翔邊界對(duì)應(yīng)的側(cè)傾角.式(9)為飛行器表面駐點(diǎn)處的熱流密度，式(10)和式(11)分別為過(guò)載約束和動(dòng)壓約束.式(12)為擬平衡滑翔條件，滿足式(12)能避免飛行器軌道產(chǎn)生大的跳躍.

2 預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)算法

2.1 縱向制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

縱向制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)用來(lái)確定側(cè)傾角的大小，其基本原理是:不斷對(duì)剩余航程進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行比較，通過(guò)兩者之間的偏差確定下一個(gè)制導(dǎo)周期的側(cè)傾角更新值.

基于能量的剩余航程公式可表達(dá)為

式中，s為剩余航程.當(dāng)給定當(dāng)前狀態(tài)x(e)、末端能量ef及側(cè)傾角剖面時(shí)，通過(guò)不斷積分縱向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(式(2)、式(5)和式(13))，即可得到末端能量處剩余航程的預(yù)測(cè)值s(ef).剩余航程的實(shí)際值sf為飛行器當(dāng)前位置的星下點(diǎn)位置(θ1，φ1)到目標(biāo)點(diǎn)星下點(diǎn)位置(θ2，φ2)之間大圓弧的長(zhǎng)度，可由下式計(jì)算:

則剩余航程偏差可以表示為Δs=s(ef)－sf，得到偏差值后就可以根據(jù)校正方法尋找適合的側(cè)傾角校正值Δ|σ|使該偏差趨于0，剩余航程偏差與側(cè)傾角校正值之間存在某種函數(shù)關(guān)系Δs=f(|σ|)，這種函數(shù)關(guān)系是非線性的，因此，不能通過(guò)某種解析的表達(dá)式求得σ的改變量.由于模糊理論設(shè)計(jì)不依賴于對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，本文考慮根據(jù)模糊理論設(shè)計(jì)模糊校正器對(duì)剩余航程偏差進(jìn)行校正.

通過(guò)分析不同σ下的剩余航程預(yù)測(cè)值，得到如下校正策略:

1)航程誤差越靠近末端及允許精度范圍時(shí)應(yīng)當(dāng)刻畫的越精細(xì)，這樣有利于在靠近誤差容限的區(qū)域內(nèi)比較精確的得到校正值;而在遠(yuǎn)離允許精度的范圍時(shí)則可以進(jìn)行一個(gè)比較寬范圍的模糊化，只要能夠保證校正值迅速靠近精度范圍即可;

2)輸出的側(cè)傾角校正量在越接近末端及允許精度范圍時(shí)校正步長(zhǎng)越小，反之則越大.

根據(jù)以上策略，設(shè)計(jì)模糊校正器.將航程誤差Δs模糊分化為7個(gè)等級(jí):PH(正大)、PM(正中)、PS(正小)、ZO(零)、NS(負(fù)小)、NM(負(fù)中)和NH(負(fù)大)，側(cè)傾角調(diào)節(jié)量Δσ也采用同樣的模糊化分類.航程Δs的取值范圍為[－1000，1000]，預(yù)測(cè)值超過(guò)1000 km的都視為1000 km，NS，ZO和PS的隸屬度函數(shù)選為三角形，其余的均為高斯型;Δσ的取值范圍為[－5，5]，其隸屬度函數(shù)均取為三角形.輸入變量和輸出變量的隸屬函數(shù)曲線如圖1所示.

模糊推理規(guī)則為

規(guī)則1 如果Δs是PH，則Δσ是NH;

規(guī)則2 如果Δs是PM，則Δσ是NM;

規(guī)則3 如果Δs是PS，則Δσ是NS;

規(guī)則4 如果Δs是ZO，則Δσ是ZO;

圖1 輸入輸出隸屬度函數(shù)

規(guī)則5 如果Δs是NS，則Δσ是PS;

規(guī)則6 如果Δs是NM，則Δσ是PM;

規(guī)則7 如果Δs是NH，則Δσ是PH.

2.2 側(cè)向制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

側(cè)向制導(dǎo)律的主要任務(wù)是決定σ的符號(hào)(方向)，初始的符號(hào)通常選為與初始橫程χ0相反的方向[8]，橫程被定義為

式中，stogo為剩余航程;ψ為當(dāng)前方向角;Ψ為從當(dāng)前位置到末端位置大圓弧的視線角.

隨著飛行器的不斷運(yùn)動(dòng)，當(dāng)橫程超過(guò)一定界限時(shí)，σ需要反向，制導(dǎo)系統(tǒng)將會(huì)給出σ反轉(zhuǎn)指令.側(cè)向制導(dǎo)邏輯的設(shè)計(jì)目標(biāo)是:在盡量減少反轉(zhuǎn)次數(shù)的前提下，尋求適當(dāng)?shù)摩曳崔D(zhuǎn)邏輯使得末端的橫程能夠保持在設(shè)定的誤差范圍內(nèi).成功的側(cè)向制導(dǎo)律能夠正確的將飛行器導(dǎo)引至終端目標(biāo)點(diǎn)，并且滿足終端的約束條件.

要確定σ的反轉(zhuǎn)次數(shù)，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)以能量為主要變量的分段橫程值域，其形式如圖2所示.

圖2 控制側(cè)向反轉(zhuǎn)的橫程走廊

其分段函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，χh，χl分別為設(shè)定的橫程偏差上界和下界;e0和ef為再入點(diǎn)及末端能量;e1和e2為一組根據(jù)任務(wù)情況需要而變化的能量值.e1選取在e0到ef之間大約1/3處，e2的值不能與ef相差過(guò)大，否則在飛行后期會(huì)由于所設(shè)定的反向閥值過(guò)低導(dǎo)致σ頻繁反向.χh設(shè)定的要比初始點(diǎn)計(jì)算得到的橫程要大，否則將不能正確反轉(zhuǎn);χl設(shè)定為末端對(duì)橫程的要求精度.

本文對(duì)其解決方法是:當(dāng)?shù)?次σ反號(hào)時(shí)，令某一標(biāo)志位Flag置1，以后的每一次反轉(zhuǎn)前事先檢測(cè)該標(biāo)志位，如果為1，表明此時(shí)飛行器尚未轉(zhuǎn)入橫程走廊內(nèi)，無(wú)需加入反轉(zhuǎn)邏輯，σ按照原來(lái)的符號(hào)繼續(xù)飛行即可，直到飛入橫程走廊內(nèi)則令Flag置0(如圖3d).

圖3 側(cè)向反轉(zhuǎn)邏輯的一種特殊情況

3 仿真分析

以某遠(yuǎn)程高超聲速飛行器為仿真研究對(duì)象，飛行器相關(guān)常量如表1所示，其相關(guān)氣動(dòng)系數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)[9].

表1 某高超聲速飛行器參數(shù)

下面對(duì)提出的預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)方法進(jìn)行性能仿真研究，相關(guān)參數(shù)及精度要求為[10]

1)制導(dǎo)誤差要求:經(jīng)度、緯度方向的制導(dǎo)誤差要求小于10 km，大于10 km的情況認(rèn)定為仿真失敗，高度誤差要求小于2 km，對(duì)速度不做出要求;

2)攻角變量由所求得最優(yōu)攻角剖面確定，根據(jù)所研究高超聲速飛行器的實(shí)際情況，設(shè)定σ的調(diào)節(jié)范圍為－80°≤σ≤80°;

3)熱流密度約束為100 kW/m2，動(dòng)壓約束為200 kPa，過(guò)載約束為4;

4)仿真中所有運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程均采用四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行求解，設(shè)定仿真步長(zhǎng)為3.34×10－5;

5)在縱向的預(yù)測(cè)校正仿真中，加入制導(dǎo)的仿真間隔為10倍仿真步長(zhǎng).

3.1 標(biāo)準(zhǔn)再入初始條件下的仿真

再入初始條件為高度100 km、速度7200 m/s、經(jīng)度70°、緯度15°、航跡角－2°、方向角55°，目標(biāo)點(diǎn)為經(jīng)度168°、緯度38°、高度20 km.

標(biāo)準(zhǔn)再入條件下的仿真曲線見(jiàn)圖4～圖6，相關(guān)統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2.由表2可知，經(jīng)、緯度誤差均小于0.1°，落點(diǎn)距離目標(biāo)點(diǎn)的距離為4.3276 km，滿足落點(diǎn)精度要求;落點(diǎn)高度誤差1.205km，也滿足對(duì)高度的精度要求，同時(shí)各項(xiàng)約束值的峰值均小于約束值，滿足過(guò)程約束條件.

圖4 高度變化曲線

表2 標(biāo)準(zhǔn)再入條件下的落點(diǎn)參數(shù)

圖5 地面軌跡曲線

圖6 σ變化曲線

3.2 存在偏差和擾動(dòng)情況下的仿真

由于飛行器在再入過(guò)程中不可避免的會(huì)受到大氣參數(shù)及自身參數(shù)變化所帶來(lái)的擾動(dòng)，有可能導(dǎo)致飛行軌跡偏離預(yù)定目標(biāo)而不能完成既定任務(wù).為驗(yàn)證所提出制導(dǎo)算法在各種參數(shù)偏差下的算法穩(wěn)定性，本節(jié)分別針對(duì)各種擾動(dòng)情況進(jìn)行數(shù)值仿真分析，所考慮的偏差包括:大氣密度偏差(±25%)、飛行器質(zhì)量偏差(±5%)、升力系數(shù)偏差(±10%)以及阻力系數(shù)偏差(±10%).

存在偏差和擾動(dòng)情況下的仿真結(jié)果見(jiàn)表3，從表3可以看出，當(dāng)加入偏差之后，制導(dǎo)精度仍然能夠滿足要求，但是相比標(biāo)準(zhǔn)再入條件，制導(dǎo)精度有一定程度降低.從各種不同偏差對(duì)制導(dǎo)精度的影響對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，升力系數(shù)偏差和阻力系數(shù)偏差對(duì)制導(dǎo)精度的影響較大;大氣密度偏差對(duì)制導(dǎo)精度影響相對(duì)較小，即使變化范圍很大，其制導(dǎo)精度依然能夠滿足要求.

表3 不同參數(shù)偏差下的仿真結(jié)果

4 結(jié)論

著眼于提高高超聲速飛行器再入制導(dǎo)方法的制導(dǎo)精度及抗干擾能力，本文提出了一種基于能量的預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)方法.以能量為自變量的方式可以克服以時(shí)間為自變量時(shí)進(jìn)行彈道積分的困難.在此基礎(chǔ)上，分別在縱向和側(cè)向設(shè)計(jì)了制導(dǎo)律.仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的有效性.

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