張錦中 張中山

中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088

引言

在很多數(shù)字信號處理應用中，對分數(shù)時延的需求越來越大。要實現(xiàn)固定的時延，數(shù)字信號處理技術(shù)比模擬技術(shù)更有優(yōu)勢，且實現(xiàn)起來很容易，只需把信號在緩存器里存指定的時間就可以了。如果期望的延遲時間是采樣間隔的整數(shù)倍，這種方法是最優(yōu)的；但是，當延遲值小于采樣間隔，特別是希望時延連續(xù)可調(diào)時，就需要更加復雜的方法。在符號時序恢復[1]，精確波束形成與預測語音編碼中，能過控制信號的采樣時刻，可以使系統(tǒng)性能得到一定的提升。為了得到兩個采樣之間的數(shù)據(jù)，在原理上，多速率方法通過插值、延時、重抽取可以實現(xiàn)，但對于自適應時延估計的動態(tài)場合，它就不適合了。對于多速率系統(tǒng)，通過標準的數(shù)字濾波器做精確的插值是更好的方法。

人們對分數(shù)時延濾波器的研究興趣主要集中在兩個方面，一個是只做分數(shù)時延（通過FIR與IIR濾波器實現(xiàn)[2]），另一個是把分數(shù)時延與其它功能一起設計（分數(shù)時延微分器）。文獻[3]對分數(shù)時延的研究進行了綜述；強大的最優(yōu)化算法可以獲得極佳的分數(shù)時延，然而在實時數(shù)據(jù)通信領域，往往考慮采用較簡單的時延算法（通常使階數(shù)較少的FIR），簡單的方法可以快速調(diào)整到不同的時延值。要得到濾波器系數(shù)，通常使用閉式表達式，盡管它們的次最優(yōu)性能部分地抵消了它們的實現(xiàn)優(yōu)勢。本文的目的就是探討加窗方法對簡單分數(shù)時延濾波器的性能改善情況，特別是加Chebyshev窗時的時延精度進行了深入的研究。

1、分數(shù)間隔時延的FIR近似

首先，我們研究理想期望傳輸函數(shù)的近似方法。

其中f是歸一化頻率，且

對于N個系數(shù)的FIR濾波器，a等于(N-1)/2，與線性相位濾波器設計相同。另一個時延因子d平移了濾波器沖激響應的對稱中心，且與傳統(tǒng)意義上的線性相位設計不同。事實上，即使d選為[-a,a]之間的整數(shù)，由于系數(shù)長度限定為N，對稱的系數(shù)丟棄一端的一些數(shù)據(jù)之后，系數(shù)也就不再對稱了。我們只對這樣的情況感興趣，當d是[-0.5,0.5]之間的小數(shù)，此時，濾波器系數(shù)會出現(xiàn)稍微的不對稱。

我們的任務就是設計一個z域傳輸函數(shù)H(z)使總的誤差

達到可接受的程度。對于任意的，在零頻，誤差要求可以很容易達到，但在Nyquist頻率處是不可能達到的。因此，我們只需關(guān)注95%帶寬的近似程度。全頻帶的高保真近似也是無意義的。時延濾波器沒有低通濾波器那樣的截止頻率。在研究過程中，我們只關(guān)注兩個方面的分數(shù)時延精度：f=[0,0.5](即半帶設計，占全頻帶的50%)與f=[0,0.9](即寬帶設計，占全頻帶的90%)。

如果帶限信號用離散時間信號表示，則固定時延可以用幅度與群時延分別為1與D的離散時間線性相位全通濾波器來近似。通過FOURIER變換，它的沖激響應可表示為

把式1代入式4得

此沖激響應形狀與sinc函數(shù)相似，sinc函數(shù)定義為

2、加窗SINC分數(shù)延時器

截斷SINC函數(shù)濾波器的性能太差，在實際中根本不能應用。降低Gibbs效應的常用方法就是進行時域加窗。加窗的濾波器沖激響應為：

其中，n是時間，取值范圍是0到N-1，h(n)是與H(ej2πf)對應的沖激響應序列。

精度評價標準是：

其中，Dc某個頻點的進延近似值，N是濾波器階數(shù)，d是期望的時延值。

使用升余弦窗與Chebyshev窗前后的SINC濾波器的時延精度性能如圖1所示：

從圖中可看出von Hann窗(c=0.5)群時延特性要好于矩形窗，但CHebyshev窗的精度更好。圖1 的仿真條件是d=0.1，濾波器長度是17。

圖1 時延精度隨頻率的變化情況

圖2 寬帶時時延精度與濾波器階數(shù)的關(guān)系

寬帶時延精度與濾波器階數(shù)的關(guān)系如圖2所示，從圖中可以看出，Hann與Chebeyshev在階數(shù)為10左右時有一個拐點，當階進一步增大時，加Hann窗的精度隨數(shù)增大而減??；但加Chebeyshev窗時，精度并不是隨階數(shù)增大而減小，而是有一個最佳值，最佳值是65，相對Hann窗有40dB的好處；Chebeyshev窗的副瓣為-80dB。

半帶時延精度與濾波器階數(shù)的關(guān)系如圖3所示，此時精度的低階數(shù)拐點消失，加Chebeyshev窗的精度隨階數(shù)迅速提高，當階數(shù)為13時，就達到了最佳點，相對Hann窗有40dB的好處，同樣精度下Hann需要133階。

圖3 半帶時時延精度與濾波器階數(shù)的關(guān)系

時延精度與Chebeyshev窗主副比的關(guān)系如圖4與圖5所示，主副比越大，時延精度越高，主副比每增加20dB，時延精度也會提高20dB左右，但要達到最佳點，濾波器階數(shù)也要相應增加。半帶時，階數(shù)小于20就可以達到很高的時延精度。

圖4 寬帶時延精度與Chebeyshev窗主副比的關(guān)系

圖5 半帶時延精度與Chebeyshev窗主副比的關(guān)系

3、結(jié)語

分數(shù)階時延可以使用FIR濾波器來近似，加窗FIR濾波器是比較簡單有效的設計方法。本文研究了加窗分數(shù)時延濾波器的時延精度，對加Chebyshev窗的時延精度進行了深入研究，加Chebyshev窗的時延精度與窗的主副比有關(guān)，主副比越大，時延精度越高，需要的濾波器階數(shù)越高，并不是濾波器階數(shù)越高，精度越高，而是主副比一定時，濾波器階數(shù)有一個最佳值。

[1]Erup,L.,F.M.Gardner and R.A.Harris,"Interpolation in digital modems -Part II:implementation and performance",IEEE Trans.Comms.,vol.41,no.6,pp.998-1008,June 1993.

[2]Cain,G.D.,N.P.Murphy and A.Tarczynski,"Evaluation of several variable FIRfractional-sample delay filters",Proc.ICASSP94,Adelaide,Australia,vol.3,pp.621-624,19-22 April 1994.

[3]Timo I.LAAKSO,Splitting the unit delay !FIR all pass filters design,IEEE Signal processing magazine,January,1996.