劉平，劉曉曼，朱永貴

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

基于K-SVD字典學習的核磁共振圖像重建方法

劉平，劉曉曼，朱永貴

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

基于超完備字典的圖像稀疏表示因其具有稀疏性、特征保持性、可分性等特點而被廣泛應(yīng)用于圖像處理。本文利用K-SVD字典學習算法并應(yīng)用于MR圖像重建。將字典學習等價于一個二次規(guī)劃問題，學習得到的字典能有效描述圖像特征。基于學習所得的字典，獲得圖像的稀疏表示，并重建原始圖像。實驗結(jié)果表明，與Zero-filling方法相比，本文的重建結(jié)果能更好地保留圖像細節(jié)信息，獲得更高的SNR值。

壓縮感知；核磁共振成像；重構(gòu)算法；K-SVD字典學習方法

1 引言

壓縮感知理論[1]是一種充分利用信號稀疏性或者可壓縮性的全新信號采樣理論。該理論表明，通過采集少量的信號值就可實現(xiàn)稀疏或可壓縮信號的精確重建。該理論在信號的獲取方式上突破了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理的限制，革命性地實現(xiàn)了對數(shù)據(jù)獲取的同時進行適當?shù)膲嚎s，成功克服了采樣數(shù)據(jù)量巨大、采樣時間以及數(shù)據(jù)存儲和傳輸?shù)任锢碣Y源浪費嚴重的問題。該理論包含三個關(guān)鍵點：稀疏表示、觀測采樣和信號重建。信號重建是其中關(guān)鍵的一部分，它對于觀測采樣后信號的精確重建以及采樣過程中的準確性驗證均有著重要的意義。

目前壓縮感知理論已廣泛應(yīng)用到圖像處理的各個領(lǐng)域，其中在醫(yī)學影像的核磁共振成像(MRI)取得了顯著的成果。MRI(magnetic resonance imaging)的臨床應(yīng)用開創(chuàng)了影像診斷的新紀元。核磁共振成像是當今最重要的影像學手段之一，它具有組織分辨率高、可任意方向斷層、空間分辨率高、對人體無放射性損害等優(yōu)點。作為一種重要的臨床成像方式，MRI的主要不足是它的數(shù)據(jù)采集時間較長從而導致成像速度較慢。所以此項技術(shù)需要解決的問題是：縮短采集時間[2]。通過重建算法研究降低成像所需的數(shù)據(jù)量，即在僅獲得部分成像數(shù)據(jù)的情況下，通過優(yōu)化重建算法仍然獲得滿足臨床診斷質(zhì)量需求的圖像[3]。

我們將K-SVD字典學習算法[4]應(yīng)用到重建算法中，將傳統(tǒng)的稀疏表示方法改變?yōu)槔米值鋵D像進行稀疏表示，然后通過數(shù)值試驗證明，在相同采樣率下，本文的重建結(jié)果比Zero-filling的重建結(jié)果能更好地保留圖像細節(jié)信息，獲得更高的SNR值。

2 基于K-SVD字典學習的MR圖像重建

(1)

其中，T0為稀疏表示系數(shù)中非零分量的數(shù)目上限，即系數(shù)向量中的最大差異度。

從誤差逼近角度看，K-SVD訓練算法的目標方程還可表示為

(2)

本質(zhì)上，式(1)和式(2)是相同的，只是考慮問題的角度不同。論文中采用目標函數(shù)為式(1)。

式(1)求解是一個迭代過程。首先，假設(shè)字典D是固定的，用MP、OMP或BP等算法可以得到字典D上，Y的稀疏表示的系數(shù)矩陣X;然后根據(jù)稀疏矩陣X，找到更好的字典D。

(3)

上式中，乘積DX被分解為K個秩為1的矩陣的和。按照假設(shè)其中K-1項是固定的，所剩的一個，也就是要處理的第k個。矩陣Ek代表的是去掉原子dk的成分在所有N個樣本中造成的誤差。

(4)

K-SVD算法非常靈活，可以和常見的稀疏分解的最優(yōu)原子搜索法(如匹配追蹤(MP)、正交匹配追蹤(OMP)、基追蹤(BP)、FOCUSS等)結(jié)合使用。本文選用的最優(yōu)原子搜索算法是正交匹配追蹤(OMP)算法。

基于壓縮感知以及字典學習的MR圖像重建需要具備兩個特性：

(1)稀疏性：重建模型需要保證采樣數(shù)據(jù)在字典下被稀疏表示；

(2)特征保持性：重建模型應(yīng)當盡量避免偽影在重建結(jié)果中出現(xiàn)，例如直接對采樣數(shù)據(jù)進行零填充后傅立葉逆變換所出現(xiàn)的現(xiàn)象；一般來說，偽影的出現(xiàn)主要是由于較低的低采樣率，以及采樣過程中所含帶的噪聲所引起的。

基于以上因素的考慮，我們給出以下重建模型：

(5)

模型中的第一項是用來保證采樣數(shù)據(jù)在稀疏字典D下有著最佳逼近于原始數(shù)據(jù)；模型中的第二項保證了重建數(shù)據(jù)在欠采樣下的精確度。系數(shù)v的大小取決于噪聲的標準差σ，即v=(λ/σ)，此處，λ是一個正常數(shù)。這使得模型對噪聲有著更好的魯棒性。這種利用先驗信息來確定系數(shù)的方法已經(jīng)在圖像去噪中取得很好的應(yīng)用[5]。本文提出的基于超完備字典學習的重建算法，將字典訓練問題轉(zhuǎn)化為一個帶邊界約束的二次規(guī)劃問題，并研究適合于大規(guī)模運算的解法，使其適用于具有高維特性的圖像處理問題。訓練得到的字典具有非負性的特征，與采樣數(shù)據(jù)相適應(yīng)。實驗結(jié)果表明，基于K-SVD算法訓練得到的字典具有很好的去噪能力，能夠更好地重建出原始MR圖像的特征，重建后具有較高的峰值信噪比。

基于上述模型的MR重建算法包含兩個過程：

(1)字典更新：這里，x初始假設(shè)是已知固定的，字典和采樣數(shù)據(jù)的稀疏表示交互學習進行更新。

(2)重建過程：此過程中與上一步相反，字典和采樣數(shù)據(jù)的稀疏表示已經(jīng)得到更新結(jié)果，所以此時是已知固定的，而x就是我們要得到的重建結(jié)果。

接下來將詳細描述這兩個步驟。

首先是字典更新，在此步驟中，問題(5)在x固定的前提下進行求解。此時對應(yīng)的子問題為：

(6)

(6)中已經(jīng)把稀疏表示的系數(shù)進行了誤差約束，同樣的方法在基于字典學習的去噪算法中也是一樣的。我們用采樣數(shù)據(jù)來訓練字典，對應(yīng)的字典中的每一列為規(guī)范化的向量。字典學習的過程應(yīng)用K-SVD算法來進行學習，一旦得到新的字典，對應(yīng)的稀疏表示系數(shù)αij就可確定。

接下來，在重建過程中字典和稀疏表示系數(shù)均是固定已知的，對應(yīng)的重建模型(5)將變化為：

(7)

此時(7)是一個普通的最小二乘問題，接下來對其進行求解。首先對(7)一階求導后得到的結(jié)果如下：

(8)

式中，上標H和T分別代表復數(shù)下的共軛轉(zhuǎn)置以及實數(shù)下的轉(zhuǎn)置運算。直接對(8)進行求解的計算量是相當大的，因為要對一個P＊P的矩陣進行求逆才可得到重建結(jié)果，而此處的P=256×256，這使得求解此問題的時間復雜度達到O(P3)。但是對問題中的各項進行仔細的分析，我們可以利用其結(jié)構(gòu)的特殊性對其計算量進行簡化。

接下來，可以利用傅立葉變換的性質(zhì)對(8)做進一步計算量的簡化。首先定義F∈CP×P為一個傅立葉變換編碼矩陣，從而有FHF=βIP。將全空間的數(shù)據(jù)x的傅立葉變換Fx代入到(8)中我們可以得到：

(9)

(9)中的每一小塊的求解結(jié)果的傅立葉變換域的值我們可以這樣來表示：

基于以上分析，可以得到(9)的求解結(jié)果如下：

3 數(shù)值實驗

為了分析本章提出算法的性能，將本章的算法和Zero-filling方法進行比較，其中Zero-filling方法采用逆傅里葉變換的思想求解MR圖像重建問題。

實驗用圖如圖1所示的三幅標準MR測試圖像，采用上述算法和本文方法對三幅標準MR圖像進行重建，用射線性型采樣模式進行采樣(圖2)，采樣率取35%。實驗結(jié)果如下所示：

我們知道，評價圖像處理效果最常用的技術(shù)指標是峰值信噪比(SNR值，式10)，峰值信噪比越大，表明重建的圖像和原圖像的差異越小，從而圖像的重建效果就越好。針對上述三幅測試圖像，對Zero-filling方法和本章方法進行比較。

(10)

表1 未添加噪聲SNR結(jié)果：

表2 添加σ=10的高斯噪聲后的SNR結(jié)果

(a)原始圖像 (b)Zero-filling方法 (c)本文方法

(d)原始圖像細節(jié) (e)Zero-filling重建細節(jié) (f)本文方法重建細節(jié)

(g)訓練得到的字典

(a)原始圖像 (b)Zero-filling方法 (c)本文方法

(a)原始圖像 (b)Zero-filling方法 (c)本文方法

4 結(jié)論

本文基于已有的字典稀疏表示方法以及K-SVD字典學習方法，討論了新的MR重建模型。并與Zero-filling方法進行了重建結(jié)果對比，實驗結(jié)果表明：在相同采樣率下，本章討論的方法能有效地使重建出的效果好于Zero-filling方法。

[1]D Donoho.Compressed sensing[J].IEEE Trans Inf Theory，vol 52，no 4：1289-1306，Apr.2006.

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[4]M Aharon，M Elad，A Bruckstein.K-SVD：An algorithm for designing overcomplete dictionaries for sparse representation[J].IEEE Trans Signal Process，vol 54，no 11：4311-4322，Nov 2006.

[5]M Elad，M Aharon.Image denoising via sparse and redundant representations over learned dictionaries[J].IEEE Trans Image Process，vol 15，no 12：3736-3745，Dec 2006.

MRImageReconstructionBasedonK-SVDDictionaryLearning

LIU Ping，LIU Xiao-man，ZHU Yong-gui

(Department of Applied Mathematics，School of Sciences，Communication University of China，Beijing 100024 China)

Images’ sparse representation using over-complete dictionaries have a wide application in image processing due to the properties of sparsity，integrity and separability.This paper proposes a dictionary learning algorithm which is applied to MR image reconstruction.The dictionary learning problem can be expressed as a box-constrained quadratic problem.The learned dictionary describes the image content effectively.Based on dictionary learning，we propose a model of MR image reconstruction，and compare with the Zero-filling method.The results of numerical experiments show that，under a same sampling rate，the reconstruction by proposed method can keep better reconstructed effect and higher SNRs.

compressed sensing; Magnetic Resonance Imaging; reconstruction algorithm; K-SVD dictionary learning method

2013-06-27

劉平(1988-)，男(漢族)，陜西榆林人，中國傳媒大學碩士研究生.E-mail：liupingcuc@163.com

TP391

A

1673-4793(2013)04-0034-06

(責任編輯：宋金寶)