施恂棟, 劉文斌

(1.江蘇省口岸中學(xué), 江蘇 泰州 225321; 2.中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 江蘇 徐州 221008)

一類非線性四階微分方程三點邊值問題的可解性

施恂棟1, 劉文斌2

(1.江蘇省口岸中學(xué), 江蘇 泰州 225321; 2.中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 江蘇 徐州 221008)

考察了非線性四階三點邊值問題的解和正解的存在性. 其中允許非線性項有一個負的下界. 主要結(jié)論表明該問題可以具有正解, 只要非線性項在某些有界集上所滿足的條件是適當(dāng)?shù)?

四階三點邊值問題; 半正非線性; 解和正解; 存在性

0 引言

本文的目的是考察下列非線性四階三點邊值問題的解和正解的存在性.

(1)

本文總是假設(shè)Mgt;0,f:[0,1]×[-kM,+∞]→[-M,+∞]是連續(xù)的.

1 預(yù)備知識

引理1 1)G:[0,1]×[0,1]→[0,+∞)連續(xù);

定義g(t,l)=f(t,l)+M, (t,l)∈[0,1]×[-kM,+∞),則g:[0,1]×[-kM,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)的, 考察三點邊值問題

(2)

(i) 算子T:C+[0,1]→C[0,1]有定義并且連續(xù);

(ii) 對于任何x∈C+[0,1], (Tx)(0)=(Tx)′(0)=(Tx)″(η)=(Tx)?(1)=0.

簡單核驗后, 我們得到

引理2 1)x*是問題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)x*+x0是(2)的解；

設(shè)q(t)=min{ηt,2ηt-t2}, 0≤t≤1. 由文 [6], 我們有

(3)

則K是C[0,1]中的一個非負函數(shù)錐,設(shè)

直接計算后,我們得到 :

因此, 0lt;Alt;B.

本文將使用下列控制函數(shù), 對lgt;0, 我們記

Φ(l)=max{g(t,c-x0(t)):(t,c)∈[0,1]×[0,l]}=

max{f(t,c-x0(t)):(t,c)∈[0,1]×[0,l]}+M

Ψ(l)=min{g(t,c-x0(t)):(t,c)∈[μ,ν]×[σl,l]}=

min{f(t,c-x0(t)):(t,c)∈[μ,ν]×[σl,l]}+M

顯然有Φ(l)≥Ψ(l).

引理3[3]G(t,s)≥q(t)J(s), (t,s)∈[0,1]×[0,1].

引理4[3]T:C+[0,1]→K是全連續(xù)的.

2 主要結(jié)果

證明因為Alt;B, 容易看出a≠b, 不失一般性, 假設(shè)alt;b. 記

Kl={x∈K:‖x‖lt;l}, ?Kl={x∈K:‖x‖=l},

如果x∈?Ka, 則‖x‖=a, 0≤x(t)≤a, 0≤t≤1, 于是

0≤g(t,x(t)-x0(t))≤Φ(a)≤aA, 0≤t≤1.

根據(jù)引理4,我們有

于是g(t,x(t)-x0(t))≥Ψ(b)≥bB,μ≤t≤ν,則有

1) 當(dāng)0lt;t≤η時

所以x0(t)-aθ(t)lt;0, 即當(dāng)0lt;t≤η時,H(t)lt;0.

所以

由(1),(2)可知在(0,1]上,H(t)lt;0即x0(t)-aθ(t)lt;0, 現(xiàn)在, 對于0lt;t≤1,

x*(t)=x*(t)+x0(t)-x0(t)≥θ(t)‖x*+x0‖-x0(t)≥aθ(t)-x0(t)gt;0,

因此, 是一個正解, 定理得證.

[1] Gupta C P. Solvability of a three-point nonlinear boundary value problem for a second order ordinary differential equations[J]. J Math Anal Appl, 1992 (168):540-551.

[2] Feng W, Webb J R L. Solvability of a three-point Nonlinear Boundary Value Problem at Resonance[J]. Nonlinear Analysis, 1997, 30(6):3227-3238.

[3] Yao Q L. Existence of positive solutions for a third-order boundary value problem with semipositone nonlinearity[J]. Journal of Mathematical Research and Exposition, 2003, 23(4): 591-596.

[4] 葛渭高. 非線性常微分方程邊值問題[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2007.

[5] 葛渭高, 李翠哲, 王宏洲. 常微分方程與邊值問題[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2008.

SolvabilityofAThree-pointNonlinearBoundaryValueProblemforAForthorderDifferentialEquations

SHI Xun-dong1, LIU Wen-bin2

(1.Kouan High School of Jiangsu Province, Taizhou Jiangsu 225321, China)(2.Department of Mathematics, China University of Mining and Technology, Xuzhou Jiangu 221008, China)

The existence of solutions and positive solutions is considered for a nonlinear forth-order three-point boundary value problem where nonlinear is allowed to have a negative lower bound.The main results show that the problem may possess positive solutions provided the conditions of nonlinear term are appropriately satisfied on some bounded sets

forth-order three-point boundary value problem; semipositone nonlinearity; solution and positive solution; existence

2013-03-01

國家自然科學(xué)基金資助項目(10771212)

施恂棟(1983-), 男, 江蘇興化人, 碩士, 研究方向為常微分邊值問題．

O175

A

1671-6876(2013)02-0095-04

[責(zé)任編輯李春紅]