林偉芬, 尤利華

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510631)

Fibonacci數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)

林偉芬, 尤利華

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510631)

研究了Fibonacci數(shù)Fn的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)與下標(biāo)n的關(guān)系,證明了Fibonacci數(shù)Fn的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)由下標(biāo)n的分解式中因數(shù)9的指數(shù)與17的指數(shù)來(lái)確定.

Fibonacci數(shù); 標(biāo)準(zhǔn)分解式; 素因數(shù); 指數(shù); 同余

0 引言

Fibonacci數(shù)起源于數(shù)學(xué)家P.Leonardo提出的“兔子問(wèn)題”[1].因?yàn)镕ibonacci數(shù)具有一些特殊性質(zhì)以及重要應(yīng)用,所以一直引起許多學(xué)者的關(guān)注,同時(shí)也吸引著許多理論和應(yīng)用研究專家的研究興趣.

定義1[2-3]Fibonacci數(shù)列是指由初始條件F0=0,F1=1和遞推關(guān)系Fn=Fn-1+Fn-2(n≥2)所確定的數(shù)列{Fn}n≥0,這里稱Fn為Fibonacci數(shù).

對(duì)于Fibonacci數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)的指數(shù)的有關(guān)研究,文[4-9]得到了素因數(shù)為2,3,5,7,11,13的相關(guān)結(jié)果.文[10-11]給出了Fibonacci數(shù)的一些整除性質(zhì).尤利華[12]對(duì)一般的奇素因數(shù)p與d(p)=min{w:p/Fw}的整除關(guān)系進(jìn)行了研究,并提出了一個(gè)關(guān)于在p的Fd(p)標(biāo)準(zhǔn)分解式中的指數(shù)的猜想.本文在上述工作的前提下,證明了Fibonacci數(shù)Fn的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)可由下標(biāo)一的分解式中因數(shù)9的指數(shù)與17的指數(shù)來(lái)確定.

引理1 設(shè)m,n為正整數(shù),若m|n,則Fm|Fn,這里記號(hào)“a|b”表示a整除b.

引理2 設(shè)m,k為正整數(shù),則Fm+k=FmFk-1+Fm+1Fk.

引理3 設(shè)m為非負(fù)整數(shù),則 (Fm,Fm+1)=1.

引理4 設(shè)n為正整數(shù),則17|Fn?9|n.

證明由同余式

Fn+36=FnF35+Fn+1F36=9227465Fn+19430352Fn+1≡9227465Fn≡Fn(mod17),

且由Fibonacci數(shù)列的定義及同余的可加性,計(jì)算Fi(0≤i≤35)關(guān)于模17的最小非負(fù)剩余,可得:

表1 關(guān)于模17的最小非負(fù)剩余

故在Fibonacci數(shù)列中,Fn關(guān)于模17的最小非負(fù)剩余是以36為周期變化的,且Fn≡0(mod17)當(dāng)且僅當(dāng)n≡0(mod9),即17|Fn?9|n.

引理5 設(shè)m是正整數(shù),則F9m+1≡F9m-1(mod17)

證明由引理4及Fibonacci數(shù)的定義知,F9m=F9m+1-F9m-1≡0(mod17),故引理5成立.

1 主要結(jié)果及其證明

引理6 設(shè)m,p為正整數(shù),則

證明(i)對(duì)p應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法:

由引理1知Fm|Fpm,又由引理2有

(ii)同樣對(duì)p應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法:

由引理2知

定理1 設(shè)k,p為正整數(shù),則F9kp與F9k+1p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)相同.

證明由引理4易得17|F9kp,故在F9kp的標(biāo)準(zhǔn)分解式中,素因數(shù)17的指數(shù)必大于0,可設(shè)為s(s≥1),又設(shè)n=9kp,對(duì)取定的正整數(shù)p,對(duì)Fn的下標(biāo)n的分解式中因數(shù)9的指數(shù)k用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(ii) 假設(shè)當(dāng)k≥1時(shí)結(jié)論都成立,即F9kp與F9k+1p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17有相同的指數(shù)s(s≥1).下證對(duì)k+1也能成立,等價(jià)于證明F9k+1p與F9k+2p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)也為s.

因?yàn)?k+1p|9k+2p,由引理1有F9k+1p|F9k+2p從而有F9k+2p≡0(mod17s).

綜上(i)(ii)所述知,定理1得證.

定理2 設(shè)p為不含9和17的正整數(shù),則F9p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為1.

證明因?yàn)?|9p,由引理1有F9|F9p,從而有F9p≡0(mod17),下證F9p不能被172整除.

不妨設(shè)p=17m+r,1≤r≤16,則F9p=F9×(17m+r)=F9×17m+9r=F9×17mF9r-1+F9×17m+1F9r.

運(yùn)用同樣的證明方法可得下面定理3.

定理3 設(shè)p為不含9和17的正整數(shù),則F9×17p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為2.

定理4 設(shè)n=9×17sp,其中p為不含9和17的正整數(shù),而s是任意非負(fù)整數(shù),則F9×17sp的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1.

證明對(duì)任意取定的正整數(shù)p,對(duì)n的分解式中17的指數(shù)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(i) 當(dāng)s=0時(shí),n=9p,由定理2知,F9p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1=1,此時(shí)結(jié)論成立.

(ii) 當(dāng)s=1時(shí),n=9×17p,由定理3知,F9×17p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1=2,此時(shí)結(jié)論也成立.

令m=9×17sp,則由引理2有

F9×17s+1p=F17m=F(9+8)m=F9mF8m-1+F9m+1F8m

(1)

(2)

(3)

(4)

由引理5知F9×17sp+1≡F9×17sp-1(mod17)即Fm+1≡Fm-1(mod17),又17|Fm,且由引理1,引理6可得

(5)

由式(1)-(5)可得

由F9×17sp的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1可知

所以

(6)

當(dāng)s≥1時(shí),有2(s+1)≥s+3,則由引理5及9|m知,Fm+1≡Fm-1(mod17)且其最小非負(fù)剩余不是0,代入式(6)得

(7)

下證17s+3不能整除F9×17s+1p.

由式(6)有

(8)

由引理5及表1不妨設(shè)Fm+1=17q1+r,Fm-1=17q2+r,這里r=1,4,13,16,q1,q2為非負(fù)整數(shù).從而

(0×17q1r15+16×17q2r15+r16)+(1×17q1r15+15×17q2r15+r16)

+…+(8×17q1r15+8×17q2r15+r16)+8×(9×17q1r15+7×17q2r15+r16)≡

(1+2+…+8)×17q1r15+(16+15+…+8)×17q2r15+

9r16+72×17q1r15+56×17q2r15+8r16≡

17×(r+108q1+164q2)r15(mod172)

(9)

綜上所述及數(shù)學(xué)歸納法可知,定理4成立.

最后給出一個(gè)總結(jié)性定理如下.

定理5 設(shè)n為正整數(shù),且n=9k×17s×p,這里k,s為非負(fù)整數(shù),p為不含因數(shù)9和17的正整數(shù),則

1) 當(dāng)k=0時(shí),Fn的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為0;

2) 當(dāng)k≥1時(shí),Fn的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1.

證明1)當(dāng)k=0時(shí),n不被9整除,由引理4知,17不能整除Fn,即Fn的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為0.

2)當(dāng)k≥1時(shí),由定理1知,在F9kp與F9k+1p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)相同,所以只需考慮k=1的情形.又由定理4可知,F9×17sp的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)為s+1.

從而定理5成立.

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TheExponentofFactor17intheStandardFactorizationofFibonacciNumber

LIN Wei-fen, YOU Li-hua

(School of Mathematical Science, South China Normal University, Guangzho Guangdong 510631, China)

In this paper, the relationship between the exponent of factor 17 in the standard factorization of Fibonacci NumberFnand its subscript n are studied, and it is shown that the exponent of factor 17 in the standard factorization of Fibonacci NumberFncan be found out by the exponent of 9 and 17 in the factorization of the subscriptn

fibonacci number; standard factorization; factor; exponent; congruence

2013-06-26

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目(10901061)

林偉芬(1990-), 女, 廣東汕頭人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育.

O156

A

1671-6876(2013)03-0213-05

[責(zé)任編輯李春紅]