方 芳

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023)

關(guān)于單個(gè)總體均值的半?yún)?shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法

方 芳

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023)

提出一種半?yún)?shù)的假設(shè)檢驗(yàn)方法,將它應(yīng)用于對(duì)單個(gè)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn).最后給出了實(shí)例分析．

半?yún)?shù); 假設(shè)檢驗(yàn); 總體均值

0 引言

近些年有不少學(xué)者致力于在半?yún)?shù)密度函數(shù)比模型下建立半?yún)?shù)統(tǒng)計(jì)方法,比如Qin[1]研究了在密度函數(shù)比模型下如何對(duì)混合比例進(jìn)行半?yún)?shù)的統(tǒng)計(jì)推斷.Zhang[2]研究了半?yún)?shù)的分位數(shù)估計(jì)方法,Qin和Zhang[3]建立了在半?yún)?shù)函數(shù)密度比模型下進(jìn)行ROC曲線估計(jì)的半?yún)?shù)方法Folkianos[4],Cheng和Chu[5],以及Qin 和 Zhang[6]建立了半?yún)?shù)的密度函數(shù)估計(jì)方法Wan 和 Zhang[7-8]建立了在半?yún)?shù)函數(shù)密度比模型下進(jìn)行ROC曲線比較和估計(jì)的半?yún)?shù)方法.Wan[9]提出了用半?yún)?shù)方法對(duì)兩總體均值差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).

對(duì)于總體均值的檢驗(yàn),在知道總體分布服從正態(tài)分布的情況下可以用t檢驗(yàn).在樣本量很大時(shí)用u檢驗(yàn),那么在總體分布未知或者樣本量不大的情況下有沒(méi)有一種有效的方法呢?Wan已經(jīng)在兩總體半?yún)?shù)密度比模型下對(duì)兩總體均值差進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn).本文致力于在兩總體半?yún)?shù)密度比模型下,對(duì)兩總體中的任一總體均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).

對(duì)于兩樣本{x1,x2,x3,…xn0}{z1,z2,z3,…zn1},QIN和Zhang[10]建立了半?yún)?shù)密度比模型:

x1,x2,x3,…,xn0相互獨(dú)立并且密度函數(shù)為g(x),

z1,z2,z3,…,zn1相互獨(dú)立并且密度函數(shù)為f(x)=exp(α+xβ)g(x).

此模型為有偏樣本模型,權(quán)函數(shù)為exp(α+xβ),α,β為一維標(biāo)量.在這里我們可考慮多維形式,則改進(jìn)后的模型為:

x1,x2,x3,…,xn0相互獨(dú)立并且密度函數(shù)為g(x),

z1,z2,z3,…,zn1相互獨(dú)立并且密度函數(shù)為f(x)=exp(α+βTr(x))g(x).

這里α是一個(gè)標(biāo)量參數(shù),β為p×1的向量函數(shù),r(x)是一個(gè)p×1的關(guān)于x的光滑的向量函數(shù).由于模型中不要求g(x),f(x)是某個(gè)具體的分布,因而不是傳統(tǒng)的參數(shù)模型,同時(shí)又含有參數(shù)α,β,故又不是傳統(tǒng)的非參數(shù)模型在這里我們稱(chēng)之為介于參數(shù)與非參數(shù)之間的半?yún)?shù)模型.

1 主要理論知識(shí)

我們可以將兩總體的樣本{x1,x2,x3,…,xn0}和{z1,z2,z3,…,zn1}合并為樣本{t1,t2,…,tn},則根據(jù)上面改進(jìn)后的模型里觀察到的數(shù)據(jù),可以寫(xiě)出相應(yīng)的半?yún)?shù)經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù):

我們根據(jù)文獻(xiàn)[9]知在改進(jìn)后的模型下G(t)的最大半?yún)?shù)似然估計(jì)量為

于是我們可以通過(guò)代入G(t)的估計(jì)量來(lái)獲得分布函數(shù)為G(t)的總體均值的最大似然估計(jì)量

則經(jīng)過(guò)計(jì)算得

化簡(jiǎn)可得

其中

現(xiàn)在考慮在改進(jìn)后的模型下進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)H0:μ=θ0,H1:μ≠θ0.

根據(jù)定理1可以構(gòu)造一個(gè)半?yún)?shù)的Wald統(tǒng)計(jì)量

2 實(shí)例分析

例1 某切割機(jī)在正常工作時(shí), 切割每段金屬棒的平均長(zhǎng)度為10.5cm, 今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15段如:10.4,10.6;10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2,10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,10.2,10.7進(jìn)行測(cè)量, 則該機(jī)工作是否正常．

建立假設(shè)檢驗(yàn)H0:μ=10.5H1:μ≠10.5.

(i) 若切割的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差已知,假定標(biāo)準(zhǔn)差為0.15,則可以根據(jù)單個(gè)總體均值u檢驗(yàn),得到

因此我們不可以拒絕原假設(shè)．該機(jī)工作正常.

(ii) 若切割的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差未知,則根據(jù)單個(gè)總體均值t檢驗(yàn),得到

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ASemiparametricHypothesisTestingMethodonthePopulationMean

FANG Fang

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finances and Economics, Nanjing Jiangsu 210023, China)

In this paper, we propose a semi-parametric hypothesis testing method,it would be applied to a single population mean hypothesis testing, and gives examples of analysis

semi-parametric; hypothesis testing; the population mean

2013-05-20

方芳(1988-), 女, 安徽六安人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)．

O211

A

1671-6876(2013)03-0204-04

[責(zé)任編輯李春紅]