穆翔，劉全,2，傅啟明，孫洪坤，周鑫

（1. 蘇州大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006；2. 吉林大學(xué) 符號計算與知識工程教育部重點實驗室，吉林 長春 130012）

1 引言

強化學(xué)習(xí)(RL, reinforcement learning)是一種通過agent與環(huán)境進行交互學(xué)習(xí)，以獲得最大累計獎賞值的機器學(xué)習(xí)方法[1,2]。通常基于馬爾科夫決策過程(MDP, Markov decision process)來定義強化學(xué)習(xí)問題的一般框架。當強化學(xué)習(xí)問題滿足MDP框架時，可以采用諸如動態(tài)規(guī)劃(DP, dynamic programming)、蒙特卡羅(MC, Monte Carlo)和時間差分(TD,temporal difference)等類型的算法求解最優(yōu)行為策略。

傳統(tǒng)的強化學(xué)習(xí)方法一般用于求解小空間或離散空間的問題[1]。通過查詢表(lookup-table)存儲所有的狀態(tài)或者狀態(tài)動作對所對應(yīng)的值函數(shù)，在學(xué)習(xí)過程中不斷地修改表項的值直至收斂，最終求得問題的最優(yōu)行為策略。這類方法雖然能夠有效地解決一些簡單的任務(wù)，但不適用于求解大空間或連續(xù)空間的問題。目前解決此類問題最常用的方法是將函數(shù)逼近與強化學(xué)習(xí)算法相結(jié)合。通過采用帶有一組參數(shù)的近似函數(shù)來描述強化學(xué)習(xí)中的值函數(shù)，使學(xué)習(xí)到的經(jīng)驗信息能夠從狀態(tài)空間子集泛化至整個狀態(tài)空間。Agent根據(jù)此近似函數(shù)選擇最優(yōu)動作序列[2～4]。當前已有多種函數(shù)逼近方法應(yīng)用于強化學(xué)習(xí)問題。SUTTON等人于 2009年提出了梯度TD(GTD, gradient TD)學(xué)習(xí)算法，該算法將TD學(xué)習(xí)算法與線性函數(shù)逼近相結(jié)合，同時引入一個與Bellman誤差相關(guān)的新的目標函數(shù)[5]。SHERSTOV等人于2005年提出一種基于在線自適應(yīng)Tile-Coding編碼的線性函數(shù)逼近算法，通過實驗驗證了算法的有效性[6]。HEINEN等人于2010年提出利用增量式概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近強化學(xué)習(xí)問題的值函數(shù)，可以較好地求解連續(xù)狀態(tài)空間的問題[7]。

上文所述及目前常見的基于函數(shù)逼近的強化學(xué)習(xí)算法通常收斂速度較慢，而且一般只能用于求解離散行為策略[5～8]。基于模糊推理系統(tǒng)(FIS, fuzzy inference system)的強化學(xué)習(xí)算法通過引入先驗知識，不僅可以有效地加快求解連續(xù)空間問題時的收斂速度，還能獲得連續(xù)行為策略[9,10]。TADASHI等人提出了模糊插值Q學(xué)習(xí)算法，可以用于求解連續(xù)空間問題，但算法的性能較依賴于先驗知識[11]。GLORENNEC和JOUFFE將FIS與Q學(xué)習(xí)算法相結(jié)合，利用先驗知識并構(gòu)造全局近似器，有效地加快了收斂速度，但該算法不能用于求解連續(xù)行為策略[12]。TOKARCHUK等人提出的模糊Sarsa算法，在不影響算法性能的情況下可以有效地減小狀態(tài)空間的規(guī)模，進而加快收斂速度，但該算法應(yīng)用于多維狀態(tài)空間問題時，更容易出現(xiàn)“維數(shù)災(zāi)”問題[13]。HSU等人提出的基于二型模糊邏輯的自組織 Q學(xué)習(xí)算法，對于噪聲干擾有很強的頑健性，但時間復(fù)雜度較高，且不能保證收斂[10]。

雖然基于模糊推理系統(tǒng)的強化學(xué)習(xí)算法已經(jīng)可以有效地加快收斂速度，但傳統(tǒng)的基于一個模糊規(guī)則庫的、并可用于求解關(guān)于狀態(tài)的連續(xù)行為策略的Q值迭代算法，依舊存在由于某些原因而導(dǎo)致收斂速度慢的問題：算法的某一輪迭代會出現(xiàn)狀態(tài)動作對所對應(yīng)的Q值不唯一的情況。若算法進入下一輪迭代時，需要用到的狀態(tài)動作對的Q值恰好是上述Q值不唯一的情況。已有的此類算法會簡單地隨機選擇一個狀態(tài)動作對所對應(yīng)的Q值，而并沒有固定的選擇策略，或者固定選擇策略也不一定有效。由于算法在整個的迭代過程中會多次出現(xiàn)這種情況，這會較大地減緩該類型算法的收斂速度。

針對傳統(tǒng)的基于查詢表和一個規(guī)則庫的 Q值迭代算法收斂速度慢的問題，本文提出一種基于兩層模糊劃分的在策略時間差分算法——DFP-OPTD(on-policy TD based on double-layer fuzzy partitioning)，并在理論上證明其收斂。算法在進行 2次模糊劃分時，首先在第一層將連續(xù)狀態(tài)空間進行模糊劃分，同時求得連續(xù)動作；其次，在第二層將第一層求得的連續(xù)動作進行模糊劃分，同時求得Q值函數(shù)；最后，使用梯度下降方法，更新兩層模糊劃分共同的規(guī)則后件參數(shù)。將DFP-OPTD算法應(yīng)用于倒立擺問題中，實驗結(jié)果表明，DFP-OPTD可以獲得連續(xù)行為策略，且具有較好的收斂性能。

2 相關(guān)理論

2.1 馬爾科夫決策過程

在強化學(xué)習(xí)框架下，agent與環(huán)境交互構(gòu)成一個有限的MDP[13]，該MDP可描述為一個四元組形式M = ＜ X, U , ρ,f＞ ，其中：

1)X為所有狀態(tài)的集合，且xt∈X為agent在t時刻所處的狀態(tài)；

2)U為所有動作的集合，且ut∈U為agent在t時刻所采取的動作；

3)ρ ： X × U →Rn為獎賞值函數(shù)，表示t時刻的狀態(tài) xt，在采取動作 ut并轉(zhuǎn)移到狀態(tài) xt+1時，agent所獲得的立即獎賞 r ( xt, ut)，此外，用 rt表示以r( xt, ut)為均值的分布所產(chǎn)生的隨機獎賞；

4) f ：X × U×X→[0,1]為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，其中f( x, u, x ') 表示狀態(tài)x在采取動作u時轉(zhuǎn)移到 x '的概率。

強化學(xué)習(xí)中的策略 h ( x, u)是從狀態(tài)空間X到動作空間U的映射，h： X→U。它表示在狀態(tài)x處選擇動作u的概率。利用策略 h( x, u)可以求解出狀態(tài)值函數(shù)(V值函數(shù))或動作值函數(shù)(Q值函數(shù))。

強化學(xué)習(xí)的目標是求解最優(yōu)行為策略 h*，它是最優(yōu)值函數(shù)的貪心策略，且在所有的策略中滿足?x ∈ X： Vh*(x) ≥ Vh(x)。在最優(yōu)策略 h*下，最優(yōu)V值函數(shù)滿足式(1)，最優(yōu)Q值函數(shù)滿足式(2)，為

當f和ρ已知時，可以采用動態(tài)規(guī)劃算法求解最優(yōu)行為策略；當f和ρ未知時，則可以采用 TD類型的算法求解最優(yōu)行為策略，例如離策略的Q學(xué)習(xí)算法和在策略(on-policy)的Sarsa算法。

定義1是一個有界的MDP約束(主要是對狀態(tài)空間、動作空間、獎賞值以及值函數(shù)空間的界定)，本文所有的算法都滿足該定義。

定義1 有界的MDP問題 已知X和U都是有限集合，令Z表示狀態(tài)動作集合，即Z： X×U，則Z也為有限集合；獎賞值函數(shù)ρ滿足0 ≤ ρ (x, u ) ≤ C ；MDP的邊界因子 β =1(1 - γ)，其中，γ為折扣因子，且對于?x∈X及?( x , u)∈ Z ，0 ≤ V ( x) ≤ β C和0 ≤ Q( x, u)≤ β C成立。

2.2 作為逼近器的模糊規(guī)則庫

由文獻[14]可得，模糊規(guī)則庫的輸出可以用作Q值函數(shù)的逼近器。當前有多種類型的模糊規(guī)則[15]，其中，TSK 形式的規(guī)則如式(3)所示，描述了規(guī)則的輸出和輸入部分的關(guān)系為

其中，r∈1,…,NR是規(guī)則的下標，Rr表示規(guī)則庫中的第r條規(guī)則， x =(x1,x2,… ,xN)表示N維輸入?yún)?shù)。是第r條模糊規(guī)則中對應(yīng)于第i維輸入變量的模糊集，每一個模糊集都由一個隸屬度函數(shù)μχr,i(xi)：X →[0,1]定義。y是輸出變量，且g1(x),…,gNR(x)：X→Y是以x為自變量的多項式函數(shù)。

當系統(tǒng)輸入精確值 x =(x1,x2,… ,xN)時，可以計算它在第r條規(guī)則下的激活強度 φr(x)(運算規(guī)則為T-norm積運算)為

將 φr(x)用于計算模糊規(guī)則的輸出值，以激活強度 φr(x)為權(quán)重，與其對應(yīng)的后件值yr相乘并求和，可以得到最終的輸出值為

通常采用 MSE(mean square error)作為模糊規(guī)則庫用于逼近目標函數(shù)時的逼近誤差。當規(guī)則集合達到最優(yōu)逼近效果時，其所有模糊規(guī)則后件值所構(gòu)成的向量值θ為

其中， Yi( x)為目標函數(shù)，( x)為逼近函數(shù)。

3 基于雙層模糊劃分的在策略TD算法

3.1 Q值函數(shù)的計算和參數(shù)更新

在MDP框架下，使用兩層模糊劃分相對應(yīng)的兩層模糊規(guī)則庫以計算Q值函數(shù)。

使用兩層糊規(guī)則庫逼近Q值函數(shù)的框架如圖1所示，其中左框內(nèi)的模糊規(guī)則庫1(FRB1, fuzzy rule base 1)以狀態(tài)為輸入，通過FRB1獲得的連續(xù)動作為輸出；右框內(nèi)的模糊規(guī)則庫2 (FRB2, fuzzy rule base 2)以從FRB1中獲得的連續(xù)動作為輸入，通過FRB2獲得的連續(xù)動作的Q值分量作為輸出；最后，通過將兩層模糊規(guī)則庫輸出部分相結(jié)合，逼近在狀態(tài)x時采取連續(xù)動作 ()C x的Q值函數(shù)。

圖1 使用兩層模糊規(guī)則庫逼近Q值函數(shù)的框架

兩層模糊劃分的主要內(nèi)容如下所述。

1) 模糊規(guī)則庫1中的模糊規(guī)則如下

其中， x =(x1, x2,…,xN)為狀態(tài)， ur,j為第r條模糊規(guī)則中的第j個離散動作。M個離散動作由動作空間劃分而成，qr,j為第r條模糊規(guī)則中對應(yīng)于第j個離散動作的Q值分量。當輸入狀態(tài)為x時，第r條規(guī)則的激活強度為

在被狀態(tài)x激活的規(guī)則rR中，根據(jù),rjq 的大小，用 ε-greedy動作選擇策略從M個離散動作中選出一個動作，該動作稱為激活動作，用表示。因而，結(jié)合式(5)，可以得到狀態(tài)為x時的連續(xù)動作 ()Cx為

把 C (x)稱為連續(xù)動作的原因是 C (x)的變化是關(guān)于狀態(tài)x連續(xù)的，它并非指的是狀態(tài)x可以選擇到連續(xù)動作空間中的任意動作。為簡化式(8)，正則化激活強度 φr(x)，可得

則式(8)可寫為

2) 模糊規(guī)則庫2中的模糊規(guī)則如下

FRB2中規(guī)則的構(gòu)建依賴于 FRB1，其M條規(guī)則中的規(guī)則以 FRB1中的第r條規(guī)則為基礎(chǔ)：前件部分的νr,j為模糊集，它以FRB1中第r條規(guī)則的第j個動作為模糊中心，并用隸屬度函數(shù) σνi,j(u)描述；后件部分的 qr,j與FRB1中規(guī)則后件的 qr,j一一對應(yīng)。

將從FRB1中得到的連續(xù)動作 C (x)作為FRB2中規(guī)則的輸入，可以激活 NR?條FRB2中的規(guī)則。通過FRB2的規(guī)則的輸出，可以得到FRB1中第r條規(guī)則所對應(yīng)的Q值分量(x,C(x))為

與推導(dǎo)公式(9)的方法相同，正則化式(11)中的隸屬度函數(shù) σνr,j(C(x))，得到μνr,j(C(x))為

則式(11)可寫為

由式(13)可得，F(xiàn)RB1的激活規(guī)則 Rr所求得的Q值分量為(x,C(x))，則對FRB1中所有的激活規(guī)則，可以得到在狀態(tài)x下執(zhí)行連續(xù)動作 C (x)時的Q值為

由式(14)可以看出，Q值的大小取決于兩層FRB中的模糊集和共同的后件變量,rjθ。由于模糊集是作為先驗知識提前設(shè)定的，且在算法中不做改變，因而要得到收斂的Q值，需要在算法執(zhí)行過程中更新,rjθ，直到收斂。

為使FRB逼近Q值函數(shù)時的逼近誤差最小，即參數(shù)向量θ滿足式(6)，DFP-OPTD利用梯度下降(GD,gradient descent)方法，結(jié)合計算Q值函數(shù)的Bellman方程，更新兩層FRB的共同后件參數(shù)向量θ為

其中，rt+1+γQt( xt+1, ut+1) - Qt( xt, ut)是TD誤差。令δ = rt+1+ γ Qt( xt+1, ut+1) - Qt( xt, ut)，結(jié)合后向TD算法[1]，可以得到參數(shù)更新公式為

其中， r = 1,… ,NR, j = 1,… ,M 。

則式(16)可進一步表示為

3.2 DFP-OPTD算法的學(xué)習(xí)過程

基于文獻[1]中的在策略TD算法，結(jié)合本文3.1節(jié)描述的內(nèi)容，得到算法DFP-OPTD。該算法不僅可以解決強化學(xué)習(xí)中連續(xù)狀態(tài)、離散動作空間的問題，還可以解決連續(xù)狀態(tài)、連續(xù)動作空間的問題。算法1為DFP-OPTD的學(xué)習(xí)流程。

算法1 基于雙層模糊劃→分的DFP-OPTD算法

2) Repeat(對每一個情節(jié))：

3) x←初始化狀態(tài)

4) 根據(jù)式(7)計算 φr(x)

5) 根據(jù)ε-greedy策略選擇激活動作 u?r

6) 根據(jù)式(10)選擇狀態(tài)為x時的執(zhí)行動作u

7) 根據(jù)式(12)計算 μνr,j(u)

8) 根據(jù)式(14)計算值函數(shù) Qu

9) Repeat(對情節(jié)中的每一步)

10) 執(zhí)行動作u，獲得下一狀態(tài)x'和立即獎賞r

11) δ ← r -Qu

13) 根據(jù)式(10)選擇狀態(tài)為x'時的執(zhí)行動作 u '

14) 根據(jù)式(12)計算 μνr,j(u')

15) 根據(jù)式(7)計算 φr(x')

16) 根據(jù)式(14)計算值函數(shù) Qu'

17) δ ←δ+γQu'

18)θ = θ + α δφr(x )μνr,j(u)

19) u←u'

20) Untilx'為終止狀態(tài)

21) Until運行完設(shè)定情節(jié)數(shù)目或滿足其他終止條件

3.3 算法收斂性分析

在文獻[16]和文獻[17]中，針對在策略(onpolicy)TD算法在使用線性函數(shù)逼近時的收斂性做了詳細的分析，當該類型的算法滿足一定的假設(shè)和引理時，可以以1的概率收斂。DFP-OPTD正是一種使用線性函數(shù)逼近的在策略TD算法，當該算法滿足文獻[16]中定義的證明算法收斂所需的假設(shè)和引理時，即可說明其收斂。本文不再贅述對其收斂性的詳細證明。

假設(shè)1 MDP中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和獎賞函數(shù)都服從穩(wěn)定的分布。

引理1 DFP-OPTD依賴的馬爾科夫鏈具有不可約性和非周期性，且算法的立即獎賞和值函數(shù)有界。

證明 首先證明其不可約性。根據(jù)馬爾科夫過程的性質(zhì)，如果一個馬爾科夫過程的任意2個狀態(tài)可以相互轉(zhuǎn)移，則它具有不可約性[18]。DFP-OPTD用于解決滿足 MDP框架的強化學(xué)習(xí)問題，且該MDP滿足定義1。因而對于該MDP中的任意狀態(tài)x，必定存在一個f滿足 f ( x, u, x')≥ 0 ，這表明狀態(tài)x可以被無限次訪問。因而可得每一個狀態(tài)都可轉(zhuǎn)移到任意的其他狀態(tài)。因此，DFP-OPTD依賴的馬爾科夫鏈具有不可約性。

其次證明其非周期性。對于不可約的馬爾科夫鏈，僅需證明某一個狀態(tài)具有非周期性，即可證明整個馬爾科夫鏈具有非周期性。而證明一個狀態(tài)具有非周期性，只需證明該狀態(tài)具有自回歸性[18]。在DFP-OPTD依賴的MDP中，對于狀態(tài)x，必定存在一個f滿足 f ( x, u, x) ＞ 0 ，它表明了狀態(tài)x具有自回歸性，由此可得該MDP具有非周期性。因此，DFP-OPTD依賴的馬爾科夫鏈的非周期性得證。

最后證明其立即獎賞和值函數(shù)有界。由文獻[1]可知，值函數(shù)是折扣的累計回報函數(shù)，即滿足又由定義1可得，獎賞值函數(shù)ρ有界，且0 ≤ ρ (x, u ) ≤ C ，C為一個非負數(shù)。因而有

由不等式(19)可以得出，值函數(shù) Q ( x, u)有界。

綜上所述，引理1得證。

條件 1 對每一個隸屬度函數(shù)i都存在唯一的狀態(tài) xi，使 μi( xi) ＞ μi( x) ,?x ≠ xi，而其他的隸屬度函數(shù)在狀態(tài) xi處的隸屬度值都為 0，即有 μi'( xi) = 0,? i ' ≠i。

引理2 DFP-OPTD的基函數(shù)有界，并且基函數(shù)向量線性無關(guān)。

證明 首先證明其基函數(shù)有界。由 φr(x)∈[0,1]和μνr,j(C(x))∈ [0,1]可得

其中，||||∞為無窮范式。已知DFP-OPTD的基函數(shù)為φr(x)μνr,j(C(x))，又由不等式(20)可得，DFP-OPTD的基函數(shù)有界。

其次證明基函數(shù)向量線性無關(guān)。為使DFP-OPTD的基函數(shù)向量線性無關(guān)，令算法所使用的基函數(shù)滿足條件1[14]，其函數(shù)形式如圖3所示。由文獻[14]可得，當滿足條件1時，基函數(shù)向量線性無關(guān)。

可以將條件1的要求適當?shù)胤艑?，?μi'( xi)在狀態(tài)xi處的隸屬度為一個較小的值，例如標準差較小的高斯隸屬度函數(shù)。將該隸屬度函數(shù)用于DFP-OPTD中，通過數(shù)次實驗可得 DFP-OPTD同樣可以收斂，但目前還不能對該收斂性給出理論的證明。

綜上所述，引理2得證。

引理3 DFP-OPTD的步長參數(shù)α滿足

證明 DFP-OPTD所用的步長參數(shù)α = 1 /(t + 1 )，其中，t為時間步。使用牛頓冪級數(shù)展開可以得到

不等式(23)中的不等式部分可通過歸納法證明，因而當t→∞時，滿足

由式(22)和不等式(23)可以得出，DFP-OPTD所用的步長參數(shù)滿足式(21)，即引理3得證。

定理1 在假設(shè)1的條件下，若DFP-OPTD滿足引理1～引理3，則算法以1的概率收斂。

證明 由文獻[16]可以得出，在假設(shè)1成立的條件下，在策略(on-policy)TD算法在使用線性函數(shù)逼近時，如果滿足引理1～引理3，該類型的算法收斂。滿足假設(shè)1的算法DFP-OPTD是一種利用線性函數(shù)逼近的在策略TD算法，且該算法對引理1～引理3成立。因而可以得出，DFP-OPTD以1的概率收斂。

4 實驗結(jié)果及分析

本文以強化學(xué)習(xí)中經(jīng)典的情節(jié)式問題——倒立擺問題為例，驗證DFP-OPTD的收斂性能和求得的連續(xù)行為策略的作用。

倒立擺問題的示意如圖2所示，一個可以左右移動的小車位于水平面上，上面放置一根底端與小車相連且可以在一定角度范圍內(nèi)自由轉(zhuǎn)動的硬質(zhì)桿，其任務(wù)是通過小車的水平移動使硬質(zhì)桿可以在一定的角度范圍內(nèi)([- π / 2,π / 2])豎立于垂直方向。同樣將該問題建立為一個MDP模型：系統(tǒng)的狀態(tài)是1個二維變量，用硬質(zhì)桿與垂直方向的夾角θ和硬質(zhì)桿的角速度表示，即，且有和∈[-1 6π, 16π](rad/s)；系統(tǒng)的動作為施加在小車上的力，其取值范圍為[-5 0,50](N)。此外，施加的力上有外力的隨機擾動，該外力服從[-1 0,10](N)的均勻分布。系統(tǒng)的動力學(xué)特性描述為

其中， g = 9 .8 m/s2為重力加速度， m = 2 .0 kg為硬質(zhì)桿的質(zhì)量，M = 8 .0 kg為小車的質(zhì)量，l = 0 .5 m為硬質(zhì)桿的長度，常數(shù) α = 1 /(m + M )。系統(tǒng)的獎賞變化取決于狀態(tài)的變化，在每一個時間步下，當硬質(zhì)桿與垂直方向的角度不超過π/2時，會收到大小為0的立即獎賞。而超過π/2時收到的立即獎賞為-1，同時該情節(jié)結(jié)束。

圖2 倒立擺

將 DFP-OPTD算法與 SUTTON等人提出的GD-Sarsa(λ)算法[3]進行比較。設(shè)置 DFP-OPTD 所需的參數(shù)，用三角隸屬度函數(shù)作為FRB1和FRB2的模糊集的隸屬度函數(shù)式(除了狀態(tài)的定義域不同，夾角和角速度的模糊隸屬度函數(shù)形式如圖3所示)：分別采用 20個模糊中心等距的模糊集對二維的連續(xù)狀態(tài)空間的每一維進行三角模糊劃分，模糊集的個數(shù)為20×20=400；同理，用12個模糊中心等距的模糊集對連續(xù)動作空間進行三角模糊劃分，模糊集的個數(shù)為 12。其他參數(shù)設(shè)置為 ε =0.001，α=0.9，γ= 1 .0。GD-Sarsa(λ)中采用10個9×9的Tilings來劃分狀態(tài)空間，參數(shù)設(shè)置依據(jù)文獻[1]中給出的最優(yōu)實驗參數(shù)：ε = 0 .001，α =0.14，λ=0.3，γ=1.0。

圖3 三角隸屬度函數(shù)

DFP-OPTD，GD-Sarsa(λ)針對倒立擺問題進行30次獨立仿真實驗的結(jié)果如圖4所示，圖中橫坐標表示情節(jié)數(shù)，縱坐標表示硬質(zhì)桿豎立于垂直方向及兩側(cè)的一定角度范圍內(nèi)所用的平均時間步。分析圖4可得，DFP-OPTD在收斂性能上明顯優(yōu)于GD-Sarsa(λ)。

圖4 2種算法收斂性能的比較

2種算法的詳細性能比較如表1所示，其中，以 DFP-OPTD的一個平均迭代步所需的時間作為基準時間。

表1 2種算法在倒立擺問題中性能的比較

圖 5描述的分別為 DFP-OPTD和 GD-Sarsa(λ)這 2種算法在時間步增大的過程中，硬質(zhì)桿與垂直方向的角度變化情況。其中，GD-Sarsa(λ)基于離散動作，DFP-OPTD基于連續(xù)動作。從圖中可以清晰地看出，DFP-OPTD所獲得的連續(xù)行為策略可以使硬質(zhì)桿擺動的角度只在較小的范圍內(nèi)變化，而GD-Sarsa(λ)所獲得的離散行為策略會使硬質(zhì)桿在較大的角度范圍內(nèi)擺動，這說明了DFP-OPTD求得的策略的穩(wěn)定性優(yōu)于 GD-Sarsa(λ)。因而，DFP-OPTD更適用于求解對策略穩(wěn)定性要求較高的問題。

圖5 分別使用上述2種算法時，硬質(zhì)桿的角度θ的變化情況

5 結(jié)束語

本文針對傳統(tǒng)的強化學(xué)習(xí)算法中使用查詢表或者函數(shù)逼近時收斂速度慢且不易獲得連續(xù)行為策略的問題，提出一種基于兩層模糊劃分的強化學(xué)習(xí)算法——DFP-OPTD。該算法先將狀態(tài)進行模糊劃分，再將第一層模糊規(guī)則庫所輸出的連續(xù)動作，作為第二層模糊規(guī)則庫的輸入，同時對動作進行模糊劃分。最后將這兩層模糊規(guī)則庫相結(jié)合以得到逼近的Q值函數(shù)。以該逼近的Q值函數(shù)與真實Q值函數(shù)的差值平方作為逼近誤差，使用梯度下降方法更新2個模糊規(guī)則庫中規(guī)則的共同后件值。將該算法與其他 3種較新的相近算法應(yīng)用于強化學(xué)習(xí)中經(jīng)典的倒立擺問題中，通過實驗數(shù)據(jù)分析可以得到，相比于已有的只使用一層模糊劃分的強化學(xué)習(xí)算法，DFP-OPTD雖然增加了時間復(fù)雜度，但需要較少的收斂步數(shù)。相比于基于查詢表或者其他的函數(shù)逼近方法，DFPOPTD有更好的收斂性能，且可以獲得連續(xù)行為策略。

DFP-OPTD的性能主要依賴于兩層模糊劃分，而模糊規(guī)則庫的逼近性能主要取決于模糊集的隸屬度函數(shù)和模糊規(guī)則的個數(shù)。本文將隸屬度函數(shù)和規(guī)則個數(shù)作為先驗知識給出，且在算法執(zhí)行過程中不做改變。為了獲得更好的收斂性能，下一步將考慮使用合適的優(yōu)化算法，使DFP-OPTD能在運行的過程中不斷優(yōu)化隸屬度函數(shù)，并且能夠自適應(yīng)地調(diào)整模糊規(guī)則的條數(shù)。

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