沈建偉

(浙江科技學院理學院,浙江 杭州 310023)

兩兩PQD序列的矩完全收斂性

沈建偉

(浙江科技學院理學院,浙江 杭州 310023)

兩兩PQD列;完全收斂性;矩完全收斂性

0 引 言

完全收斂性是由Hsu和Robbins[1]引入的概率極限理論中的一個重要概念,目前已有許多關于混合隨機變量列的完全收斂性的文獻.近期關于矩完全收斂性問題也得到了學者的關注并獲得不少成果. 設{Xk,k≥1}為一個i.i.d.隨機變量序列且均值為零、方差有限,Chow[2]獲得了如下的矩完全收斂結果:

定理A假設{Xk,k≥1}為一個i.i.d.的隨機變量序列,EX1=0.對于1≤p<2和r>p,若E{|X1|r+|X1|log(1+|X1|)}<∞, 則對?ε>0,有

王定成等[3]把Chow的結果推廣到了p-型Banach空間,得到了矩完全收斂的充分必要條件. Li等[4]和Kim等[5]獲得了同分布NA列、φ混合序列的移動平均過程的類似結果.王定成等[6]獲得了NA列的矩完全收斂的充分必要條件. 陳平炎等[7]把結果推廣到了同分布的ρ混合序列情形. 傅可昂[8]得到了關于同分布PA列的矩完全收斂性.本文把結果推廣到了不同分布的兩兩PQD序列情形.

文中總設c代表正常數, 在不同的地方可以代表不同的值.[x]表示不超過x的最大整數. 記

定義1[9]稱隨機變量X和Y是PQD(positively quadrant dependent)的，若對?x,y∈R都有

P(X

稱隨機變量序列{Xn,n≥1}是兩兩PQD的，若對?i≠j,Xi與Xj是PQD的.

引理1[9]設隨機變量X和Y是PQD的，則

(i)EXY≥EXEY;

(ii)若f,g同為非降(或非增)函數，則f(X)與g(Y)仍為PQD的.

引理3[11]設{Xn,n≥1}是任意隨機序列.若存在某隨機變量X,使對任意x>0及n≥1,有P{|Xn|≥x}≤cP{|X|≥x},則對?β>0,?t>0有

E|Xn|βI(|Xn|≤t)≤c(E|X|βI(|X|≤t)+tβP{|X|>t}),

E|Xn|βI(|Xn|>t)≤cE|X|βI(|X|>t).

1 主要結果

(1)

注1由于矩完全收斂性蘊含完全收斂性, 故在定理1的條件下, 式(1)蘊含了

注2在定理1的條件下，由證明過程可知下面結論亦成立：

2 定理的證明

要證明式(1)成立, 只需要證明

(2)

(3)

首先估計I1.由10(n≥1),積分中值定理得

cE|X0|rh(|X0|p)<∞.

再估計I2.由0

cx-1nE|X0|rx-(r-1)I(|X0|>x)≤cxp-r→0 ，當x→∞.

因此,對于充分大的x, 有

(4)

故要證I2<∞,只需證

(5)

(6)

(7)

對于I312, 其證明類似于I1,不贅述, 得

I312<∞.

(8)

(9)

對于I32, 由Minkowski不等式及E|X0|r<∞(1

(10)

由式(7)、(8)、(9) 可得

I31<∞.

(11)

由式(10)、(11)、(6)可知式(5)成立.綜上所述,定理1 成立.

[1] Hsu P L, Robbins H. Complete convergence and the law of large numbers[J]. Proceedings of the National Academy of Science,1947,33(2):25-31.

[2] Chow Y S. On the rate of moment convergence of sample sums and extremes[J]. Bull Inst Math Acad Sinica,1988,16(3):177-201.

[3] 王定成,蘇淳.B值獨立同分布隨機變元序列的矩完全收斂性[J].應用數學學報,2004,27(3):440-448.

[4] Li Yunxia,Zhang Lixin. Complete moment convergence of moving-average processes under dependence assumptions[J]. Statistics & Probability Letters,2004,70(3):191-197.

[5] Kim T S, Ko M H. Complete moment convergence of moving average processes under dependence assumptions[J]. Statistics & Probability Letters,2008,78(7):839-846.

[6] 王定成,趙武.NA序列部分和的矩完全收斂性[J].高校應用數學學報:A輯,2006,21(4):445-450.

[7] 陳平炎,柳向東.同分布ρ混合序列的矩完全收斂性[J].數學學報,2008,51(2):281-290.

[8] 傅可昂.正相伴序列的矩完全收斂性[J].云南大學學報:自然科學版,2011,33(1):6-10.

[9] Lehmann E L. Some concepts of dependence [J].The Annals of Mathematical Statistics,1966,37(5):1137-1153.

[10] 黃海午,吳群英,崔昊英，等.兩兩PQD序列的完全收斂性和強大數定律[J].大學數學,2009,25(3):60-64.

[11] 吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京:科學出版社,2006.

CompleteMomentConvergenceofPairwisePQDSequences

SHEN Jianwei

(School of Science, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

pairwise PQD sequences; complete convergence; complete moment convergence

2012-12-19

沈建偉(1972—),男,講師,碩士,主要從事概率極限理論研究.E-mail:mysuccess123@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.04.012

O211.4MSC201060F15

A

1674-232X(2013)04-0343-04