高紅亞，牛文娟，吳迎雪

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002)

一些新的雙邊不等式

高紅亞，牛文娟，吳迎雪

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002)

不等式出現(xiàn)于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，并廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域.給出了雙邊不等式成立的一個(gè)充分條件，并得到了幾個(gè)與Seiffert平均、廣義海倫平均、算術(shù)平均和加權(quán)幾何平均有關(guān)的新的雙邊不等式.

雙邊不等式；Seiffert平均；廣義海倫平均；算術(shù)平均；加權(quán)幾何平均

區(qū)間I上2個(gè)正數(shù)a,b的平均定義為函數(shù)M:I2→I，滿足

min{a,b}≤M(a,b)≤max{a,b},?a,b∈I.

(1)

由上式得

M(a,b)=a,?a∈I.

M(a,b)稱為對(duì)稱的，若

M(a,b)=M(b,a),?a,b∈I,?c>0.

(2)

近年來，解析不等式的研究吸引了諸多數(shù)學(xué)工作者的興趣，見文獻(xiàn)[1]及其參考文獻(xiàn).雙邊不等式的一些結(jié)果見文獻(xiàn)[2-3].

本文首先給出1個(gè)雙邊不等式成立的充分條件，然后給出幾個(gè)新的雙邊不等式.

Seiffert[4-5]引入了第1類和第2類Seiffert平均

下面的廣義海倫平均由Janous[6]引入

算術(shù)平均加權(quán)幾何平均分別定義為

S(a,b)=aa/(a+b)bb/(a+b).

與Seiffert平均和廣義海倫平均有關(guān)的結(jié)果見文獻(xiàn)[7-9].與算術(shù)平均和加權(quán)幾何平均有關(guān)的結(jié)果見文獻(xiàn)[3].經(jīng)典平均的應(yīng)用見文獻(xiàn)[10].

首先證明下面的定理.

定理1 設(shè)A(a,b)和B(a,b)為2個(gè)對(duì)稱齊次平均，c為一常數(shù).若函數(shù)

嚴(yán)格單調(diào)，且滿足

則當(dāng)f(x)嚴(yán)格遞減時(shí)，對(duì)所有a,b>0,a≠b,雙邊不等式

cB(a,b)

(3)

成立.當(dāng)f(x)嚴(yán)格遞增時(shí)，對(duì)所有a,b>0,a≠b,雙邊不等式

B(a,b)

(4)

成立.式(3)和式(4)中的常數(shù)1和c是最優(yōu)的.

證明不失一般性，設(shè)a>b>0.取xp=a/b>1.因?yàn)锳(a,b)和B(a,b)為2個(gè)對(duì)稱齊次平均，由式(1)可得

于是

若f(x)嚴(yán)格遞減，則對(duì)所有x>1,c1,1

下面給出幾個(gè)雙邊不等式.因?yàn)閍,b>0任意，且每個(gè)平均都是對(duì)稱的，所以不妨設(shè)a>b>0.

推論1 對(duì)任意a,b>0,a≠b,有

(5)

證明令x2=a/b>1,對(duì)

取對(duì)數(shù)再取導(dǎo)數(shù)，得

(6)

其中

計(jì)算得

得到.

推論2 對(duì)任意a,b>0,a≠b，有

(7)

其中常數(shù)1和4/π是最優(yōu)的.

證明令x2=a/b>1，對(duì)

取對(duì)數(shù)再取導(dǎo)數(shù)，得

(8)

其中

計(jì)算得

得到.

推論3 對(duì)任意a,b>0,a≠b,有

H0(a,b)

其中常數(shù)1和2是最優(yōu)的.

證明令x2=a/b>1，對(duì)

取對(duì)數(shù)再取導(dǎo)數(shù)，得

因此f3(x)對(duì)于任意x>1是嚴(yán)格遞增的，推論3的結(jié)果由定理1和

得到.

推論4 對(duì)任意a,b>0,a≠b,有

(9)

其中常數(shù)2/π和1是最優(yōu)的.

證明令x2=a/b>1，對(duì)

取對(duì)數(shù)再取導(dǎo)數(shù)，得

(10)

其中

計(jì)算得

得到.

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Somenewcompanioninequalities

GAOHongya,NIUWenjuan,WUYingxue

(College of Mathematics and Computer Science, Hebei University, Baoding 071002, China)

Inequalities appear in all branches of mathematics, and applied in the fields of mathematics, physics, mechanics and engineering.In this paper, a sufficient condition ensuring companion inequalities is given and some new companion inequalities related to Seiffert, generalized Heronian, arithmetic and weighted geometric means are obtained.

companion inequality; Seiffert mean;generalized Heronian mean; arithmetic mean; weighted geometric mean

10.3969/j.issn.1000-1565.2013.01.001

2012-04-07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10971224)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A2011201011)

高紅亞(1969-)，男，河北順平人，河北大學(xué)教授，博士，主要從事幾何函數(shù)論與非線性分析方向研究.

E-mail:hongya-gao@sohu.com

O178

A

1000-1565(2013)01-0001-04

MSC2010: 26D20

(責(zé)任編輯王蘭英)