●祁德志

(贛榆縣高級(jí)中學(xué) 江蘇贛榆 222100)

2013年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第17題的解法、背景及啟示

●祁德志

(贛榆縣高級(jí)中學(xué) 江蘇贛榆 222100)

研究高考題就是研究命題人的指導(dǎo)思想、試題的背景、解法、推廣以及給教學(xué)帶來(lái)的導(dǎo)向；研究高考試題能夠更好地學(xué)習(xí)命題專家的創(chuàng)新思維，體會(huì)“能力立意”的命題指導(dǎo)思想，更能準(zhǔn)確地把握《考試說(shuō)明》的要求，有利于落實(shí)新課標(biāo)理念，提高教學(xué)效率．筆者以2013年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第17題為例，從試題的特點(diǎn)、試題的解題思路和方法、試題的背景及啟示等角度進(jìn)行研究，剖析命題思想，道出題中所用的知識(shí)、方法等，為今后的數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)指明方向．

1 剖析高考試題

題目如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.

圖1

(1)若圓心C也在直線y=x-1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；

(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

剖析本題以直線方程、圓的幾何性質(zhì)以及直線與圓、圓與圓的關(guān)系等知識(shí)為考查內(nèi)容.第(1)小題比較簡(jiǎn)單，體現(xiàn)了高考的人文關(guān)懷，第(2)小題設(shè)置了較高的信度、效度和區(qū)分度，并考查了方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)與轉(zhuǎn)化思想，具有一定的難度.

2 多角度探究解題思路與方法

研究高考題的解法大多是指試題所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法和技術(shù)處理策略方面，從不同的角度進(jìn)行剖析和探究，尋找多種解法以培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，并提高探究意識(shí)的教育價(jià)值．

本題第(1)小題解法略，下面重點(diǎn)研究第(2)小題．

2.1代數(shù)視角之方程思想

由題意知圓C的圓心為C(a,2a-4)，半徑r=1，圓C的方程為

(x-a)2+(y-2a+4)2=1.

此方程組有解．此時(shí)針對(duì)方程組(1)有解，有以下處理方案．

視角1(消元視角)

解法1通過(guò)加減消元得到一元二次方程，然后再運(yùn)用判別式Δ來(lái)構(gòu)建參數(shù)a的不等式．方程組(1)可化為

式(3)-式(2),得

2ax+(4a-6)y-5a2+16a-18=0.

(4)

即

做不下去了．此時(shí)若意識(shí)到方程(3)表示圓x2+(y+1)2=4，方程(4)表示直線，解題思路隨之調(diào)整為直線與圓有公共點(diǎn)問(wèn)題，利用圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系確立實(shí)數(shù)a的不等式．

視角2(點(diǎn)到直線的距離視角)

若對(duì)不等式兩邊進(jìn)行平方、去掉絕對(duì)值符號(hào)，則

(5a2-12a+12)2≤16(5a2-12a+9)，

展開(kāi)后化簡(jiǎn)為

a(25a3-120a2+184a-96)≤0，

再因式分解為

a(5a-12)(5a2-12a+8)≤0,

由以上解題過(guò)程可知二元方程組有解問(wèn)題的常規(guī)解法是消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用判別式Δ的正負(fù)來(lái)判斷．視角1中通過(guò)Δ確立關(guān)于a的不等式,運(yùn)算量太大了，視角2在解題過(guò)程中意識(shí)到方程(3)是圓的方程，及時(shí)調(diào)整了解題方向．若在開(kāi)始時(shí)推導(dǎo)出點(diǎn)M的軌跡方程x2+y2+2y-3=0,意識(shí)到此方程表示為圓O′時(shí)，則解題就直接朝著研究⊙C與⊙O′相交或相切這個(gè)方向上來(lái)．

2.2數(shù)形結(jié)合視角之圓的幾何性質(zhì)

視角3(圓與圓位置視角)由點(diǎn)M軌跡為圓O′：x2+(y+1)2=4，知?jiǎng)訄AC應(yīng)與定圓O′有公共點(diǎn)，即2個(gè)圓相交或相切，由2個(gè)圓的位置關(guān)系易得到關(guān)于a的不等式．

解法3由2個(gè)圓相交或相切得R-r≤d≤R+r，即

亦即

圖2

視角6(兩點(diǎn)間距離視角)由點(diǎn)C1,C2是圓x2+(y+1)2=9與直線l的2個(gè)交點(diǎn)，可知問(wèn)題也可看作在直線l上求點(diǎn)C，使它到定點(diǎn)O′的距離為定值3．

2.3參數(shù)、變換視角

得C1(0,4).由

3 解題分析及總結(jié)

從本題第(2)小題眾多解法中可以看出：其核心思想是“數(shù)形結(jié)合”．首先由動(dòng)點(diǎn)M滿足條件MA=2MO推導(dǎo)出其軌跡方程為x2+y2+2y-3=0，由“數(shù)”想到“形”，即判斷出點(diǎn)的軌跡為圓，這是解題的首要關(guān)卡．以下的解法皆源于圓與直線的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用上，判斷出圓C與圓O′相交或相切，到大圓x2+(y+1)2=9與直線l相交，動(dòng)圓C在直線l上運(yùn)動(dòng)，再到在直線l上找點(diǎn)，使它到定點(diǎn)O′(或定點(diǎn)P)的距離為定值(此時(shí)無(wú)圓)．由雙圓到單圓、運(yùn)動(dòng)的圓、在臨界位置的圓(靜止的圓)再到無(wú)圓．這一切位置關(guān)系的判定都是基于對(duì)圓與直線的幾何性質(zhì)的運(yùn)用和對(duì)圖形的分析判斷上，運(yùn)動(dòng)和靜止始終活躍在解題過(guò)程的分析探索中.由圓的幾何性質(zhì)定位(幾何位置——圓的臨界位置圓C1,圓C2)，再由代數(shù)方法來(lái)定量(圓心C1,C2的坐標(biāo)位置準(zhǔn)確求解)是解答本題的基本思路．

小學(xué)、初中都學(xué)習(xí)過(guò)圓，都是從圓的幾何形態(tài)上研究其性質(zhì)的，到了高中階段再次學(xué)習(xí)“圓”這一幾何圖形，卻是將圓放在坐標(biāo)系中，通過(guò)圓的方程這一代數(shù)方法對(duì)它進(jìn)行研究．因此在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要從幾何、代數(shù)2個(gè)方面來(lái)綜合研究，真正做到“數(shù)形結(jié)合”，這才是研究圓的“有力武器”．

4 剖析試題，探究題源

4.1 探究課本原題型

蘇教版《數(shù)學(xué)(必修2)》第111頁(yè)第3題：已知半徑為5的圓過(guò)點(diǎn)P(-4,3)且圓心在直線2x-y+1=0上，求這個(gè)圓的方程．

再看第2題，即在直線l:y=2x+1上找點(diǎn)C(a,2a+1)使PC=5,這與題中在直線l:y=2x-4上找點(diǎn)C使得O′C=3題型高度一致．從另一個(gè)側(cè)面看，在直線l上找點(diǎn)C使PC=5也可看作是一個(gè)以P為圓心、半徑為5的圓P,它與直線的交點(diǎn)即為所求圓的圓心，也可由點(diǎn)P作PQ⊥l，垂足為Q(如圖3),從而

于是

圖3 圖4

4.2 試題第(2)小題與2009年江蘇卷第18題第(2)小題同源

如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4．

(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l2被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(2009年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

通過(guò)研究該題第(2)小題的解法，可以發(fā)現(xiàn)它與2013年的高考題有很多相似之處．

思路(先定位后定量視角)

(1)定位：經(jīng)過(guò)分析可知點(diǎn)P應(yīng)在線段C1C2的垂直平分線上，同時(shí)又在以C1C2為直徑的圓上.

(2)定量求解.

圖5

評(píng)注1雖然化簡(jiǎn)后的方程較簡(jiǎn)單，但化簡(jiǎn)過(guò)程中系數(shù)較大，在緊張的高考環(huán)境中，很難保證不出差錯(cuò)，容易造成方法會(huì)，但求不出準(zhǔn)確答案的狀況．

評(píng)注2分析比較這2道高考題，發(fā)現(xiàn)雖然它們的表征不同，求解層次(分析問(wèn)題的深度)不同，但最后求解點(diǎn)坐標(biāo)的方法是相同的，可以說(shuō)這2道題的第(2)小題是同源的．

5 反思與啟示

5.1 教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法要落實(shí)到位

解題教學(xué)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的地位，課堂上也經(jīng)常聽(tīng)教師講需要掌握的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想，但平時(shí)忙于完成各種作業(yè)，題目做完了，覺(jué)得完成了任務(wù)，沒(méi)有時(shí)間(也可能不愿意)對(duì)所做題目加以反思和總結(jié)，即該題求解所需要的思想方法、解題關(guān)鍵點(diǎn)等方面，如本題求解中若不能意識(shí)到點(diǎn)M的軌跡是圓，單靠代數(shù)方法求解是很難解決的．

5.2 重要結(jié)論、題型要牢記在心

“阿波羅尼斯圓”在2005年和2008年的江蘇高考中都考過(guò)，在審題時(shí)看到條件MA=2MC就應(yīng)該想到該重要結(jié)論，隨著對(duì)試題的逐層剝離，問(wèn)題很快就集中在判定2個(gè)圓的位置關(guān)系上，或者在確定圓C的臨界位置時(shí)應(yīng)聯(lián)想到2009年高考題的處理方法．

5.3 重視課本例習(xí)題，深挖有價(jià)值的高考題

新課標(biāo)指出培養(yǎng)學(xué)生的“五種能力，一種意識(shí)”，這些要求往往滲透在高考題中，且高考題大多根植于教材，涉及教材的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、例習(xí)題的加工、綜合、類比、延伸和拓展，即高考題“源于教材，高于教材”，深挖那些源于教材的高考題，剖析其題目演變歷程以及它的考查功能，這樣才能讓學(xué)生重視教材(不僅對(duì)高一、高二學(xué)生還是高三學(xué)生同樣重要)，真正落實(shí)“三基”．

5.4 建構(gòu)學(xué)生“自己的理解”形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

比較2009年和2013年有關(guān)圓的解答題，從外觀上看不一樣，經(jīng)過(guò)分析、轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)最終的問(wèn)題求解思路是一樣的，即“在一條定直線上找點(diǎn)，使它到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)”．因此，化歸思想的掌握程度往往決定了一個(gè)學(xué)生的能力，決定了其解法的優(yōu)劣．我們也看到一個(gè)好的方法往往根植于相應(yīng)的題目背景，背景換了，原來(lái)簡(jiǎn)便的方法可能會(huì)變成很繁的方法，如上面2道題都可以用圓與直線的交點(diǎn)來(lái)求，2013年的題目求圓與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)算量較小，而2009年的試題用同樣的方法卻運(yùn)算量很大．這說(shuō)明了我們平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)一題多解的深刻研究，力爭(zhēng)讓學(xué)生親歷解題過(guò)程，即使某種思路較繁或根本行不通，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一種“財(cái)富”．只有這樣的日積月累，才能形成自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，把外在的東西慢慢內(nèi)化為個(gè)人的能力，這樣在高考中才能迅速篩選出題目的最優(yōu)解法．每年高考試題的解法都超出了命題者的預(yù)期，原因在于全省幾十萬(wàn)考生對(duì)同一個(gè)問(wèn)題的理解分析不可能是一致的，一定會(huì)有某些新奇的解法涌出，這其中有些解法顯得“笨拙”，實(shí)在是某些考生迫不得已的事，在緊張的高考環(huán)境中，往往想到哪個(gè)方法，就直接做下去，也可能做到一半或最后或考試結(jié)束忽然發(fā)現(xiàn)自己有更好的辦法來(lái)解決，但一切都來(lái)不及了.這些表現(xiàn)主觀原因是個(gè)人的能力不夠，所謂能力靠平時(shí)積累知識(shí)形成，只有事事躬行，學(xué)會(huì)反思總結(jié)，理性思維才能更好的發(fā)展，數(shù)學(xué)的“靈氣”才會(huì)充滿整個(gè)解題過(guò)程，才會(huì)有解題的“精彩”以及“快樂(lè)”的體驗(yàn)！