●陳堯明

(上虞市教研室 浙江上虞 312300)

動態(tài)幾何求解思維探幽

●陳堯明

(上虞市教研室 浙江上虞 312300)

先從一道高考題說起：如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA1=2，D,E分別為CC1和A1B的中點，且點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

(1)求A1B與平面ABD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；

(2)求點A1到平面AED的距離．

圖1 圖2

這是2003年全國數(shù)學(xué)高考理科卷中的立體幾何大題.此題給出的條件是三棱錐的側(cè)棱與底面垂直、棱柱的高、底面三角形是等腰直角三角形，但三角形的邊長沒有確定．考生只有通過“點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G”這一條件來確定底面直角三角形的邊長，而以往的高考題中幾何體的空間結(jié)構(gòu)及大小都已確定，這對考生來說是一大考驗．當(dāng)然此題只要建立空間直角坐標(biāo)系很快能得以解決，可是以前的教材沒有平面向量這一知識，更談不上空間向量，考生措手不及．有的考生誤認為點G就是△ABD的重心或外心，有的想當(dāng)然認為△ABD是等邊三角形，而致整題出錯．學(xué)生不會利用“點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G”這一條件，只看到題目背景的陌生、新穎而驚慌失措．

事實上，此題的幾何條件不是直接告訴考生幾何體的形狀和大小，而是通過“點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G”這一條件確定底面△ABD的邊長，我們稱此類幾何體為動態(tài)幾何體．動態(tài)幾何體滲透了動態(tài)的點、線、面及相關(guān)幾何元素的若干位置關(guān)系，相對于靜態(tài)幾何更富有挑戰(zhàn)性，近年來越來越受到高考命題者的青睞.解決此類問題的關(guān)鍵在于如何從動態(tài)元素中挖掘出數(shù)量關(guān)系以達到幾何體的靜態(tài)、穩(wěn)定．本文擬羅列動態(tài)幾何體的不同性狀，剖析其一般的解題思路，以饗考生(為提升學(xué)生對空間幾何體位置關(guān)系的敏感度，本文均不用向量法求解)．

1 以條件中的點、線、面位置關(guān)系來達到幾何體的穩(wěn)定

由于條件是“點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G”，可勾勒出經(jīng)過點E的△ABD的垂面，為此取AB的中點M，聯(lián)結(jié)DE,EM,CM,DM(如圖2)．由AC=BC不難知道AD=BD，即△ABD是等腰三角形，故點G在DM上，且DG∶GM=2∶1．

圖3

因為MEAA1且CDAA1，所以四邊形DEMC為矩形.將矩形DEMC從直棱柱中“挪”出(如圖3所示)，設(shè)DE=x，則由EM=1知DM=.在Rt△DEM中，

DE2=DG·GM，

即

例2如圖4，在四面體A-BCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°．

(1)若AD=2，AB=2BC，求四面體A-BCD的體積；

(2)若二面角C-AB-D為60°，求異面直線AD與BC所成角的余弦值．

(2011年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖4 圖5

分析題目條件只給出△ACD和△ABC的形狀和位置關(guān)系，各邊長都未確定，幾何體呈動態(tài)．

第(2)小題中沒有直接給出棱長或它們之間的數(shù)量關(guān)系，而是通過“二面角C-AB-D為60°”這一條件來實現(xiàn)幾何體從動態(tài)到靜態(tài)的轉(zhuǎn)換.這樣解題的技術(shù)要求驟然提高，既考查了考生對二面角這一概念的實際掌握程度，同時又檢測了空間異面直線所成角的求法．

設(shè)E,F分別為AC,AB的中點，聯(lián)結(jié)DE,EF,DF(如圖5所示)，由AD=CD，得DF⊥AC，結(jié)合平面ABC⊥平面ACD，可知DF⊥平面ABC．又EFBC，于是由AB⊥BC可知EF⊥AB．于是∠DEF就是二面角C-AB-D的平面角，即∠DEF=60°．不妨設(shè)DF=，則

2 以實驗操作來尋求幾何體的穩(wěn)定

大多教輔資料將此類問題歸類于立體幾何的平面翻折問題.這樣分類固然有別于一般立體幾何問題，因為大多數(shù)立體幾何條件給出方式是平敘的，圖形的結(jié)構(gòu)是靜態(tài)、穩(wěn)定的．但在筆者看來，如此的翻折應(yīng)更多從學(xué)生“習(xí)”的層面上去詮釋，由習(xí)促學(xué)，以實驗操作推進學(xué)生對立體幾何圖形在大腦中的三維定格，從而更好地實現(xiàn)“數(shù)學(xué)是一個動態(tài)思維的實驗過程”的教學(xué)目標(biāo)．

圖6

(1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

(2)點M,N分別在線段FD,BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使點C與A′重合，求線段FM的長．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析觀察并思考題目給出的條件:

①平面四邊形ABCD是矩形；

第(2)小題再次進行實驗操作，以MN為折痕，將四邊形MNCD向上翻折，使點C與點A′重合．不難設(shè)想，實際操作肯定要試驗若干次，才能實現(xiàn)使點C與點A′的完美重合．這充分說明在不斷實驗操作中，此空間幾何體起始是動態(tài)的(注意：與第一次翻折的差異性)，只有當(dāng)點C與點A′的完全重合后，幾何體的結(jié)構(gòu)才是靜態(tài)、穩(wěn)定的，而穩(wěn)定即是不變的，便于解題思維上的把控．為此應(yīng)緊抓翻折前后的不變量，從而找到解決問題的突破口．

過點A′作A′H⊥EF，垂足為H，過點H作HG⊥AD，垂足為G，聯(lián)結(jié)A′M,HM,CM(如圖6)．設(shè)FM=x，則

CM2=DC2+DM2=82+(6-x)2.

而A′M2=A′H2+MH2=A′H2+MG2+GH2=

例4如圖7，已知圓O的半徑為3，AB,CD是相交成60°的2條直徑，P為OC上任一點，過點P作垂直于AB的弦MN，聯(lián)結(jié)AD,AC,Q為AD的中點.現(xiàn)將弓形面MCAN沿弦MN向上折起，使得二面角A-MN-B的大小為θ.

(1)求證：直線AC與OQ不平行；

(2)當(dāng)θ=60°時，點A在底面的射影恰好為圓心O，求直線AC與底面所成角的正弦值.

分析這是少見的以圓為背景進行翻折操作的立體幾何題.從檢測情況看，學(xué)生的完成率并不高，除了建系后點的坐標(biāo)不易計算外，學(xué)生對實驗操作的幾何體整體結(jié)構(gòu)把握比較困難，以下分析第(2)小題.

圖7

從已知條件容易發(fā)現(xiàn)，弓形面MCAN翻折的折痕MN是動態(tài)的，也即MN與直徑AB垂直的垂足E是移動的.如果我們實驗操作，要一次篤定點A在底面的射影恰好為圓心O不容易,折痕MN不易確定，也說明了垂足E不易確定.不難想象，這樣的點是唯一的，因此通過對點E位置的確定是保證此幾何體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的前提，顯然也是解題思維的切入口.

因為OA⊥MN，所以∠AEO=θ.由于點A在底面的射影恰好為圓心O，從而

圖8

3 以問題求證來探究幾何位置關(guān)系的穩(wěn)定

有不少幾何體，盡管外部結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、靜態(tài)，但通過部分的點、線、面的移動與旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生在圖形的變化過程中探究滿足一定條件的幾何位置關(guān)系，以達到幾何體的整體穩(wěn)定．

圖9

例5如圖9,已知矩形ABCD⊥平面α，且AB=4，BC=2，在α內(nèi)將邊AB繞中點E逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ(0°<θ<90°)至A′B′，聯(lián)結(jié)DA′,CA′,DB′,CB′.

(1)求證：DA′∥平面BCB′；

(2)當(dāng)DA′⊥CB′時，求邊AB旋轉(zhuǎn)的角度θ的值．

分析這是某地的一道高考模擬題.從題目給出的條件看，幾何體的邊角數(shù)量關(guān)系還是明了的，空間結(jié)構(gòu)基本穩(wěn)定,因此不管邊AB繞中點旋轉(zhuǎn)多少角度，DA′始終與平面BCB′平行.而本題的亮點在第(2)小題，題目敢于打破常規(guī)，求的是邊AB繞中點E逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ，使得DA′⊥CB′，也就是說，如何通過邊AB的動態(tài)旋轉(zhuǎn)程度來實現(xiàn)DA′⊥CB′這一靜態(tài)結(jié)構(gòu)．這使得一部分學(xué)生適應(yīng)不了，但其中也涌現(xiàn)出一部分學(xué)生思維的活躍，解題方法的多樣性、靈活性，比如借助中位線的平移來構(gòu)筑異面直線所成角、建系向量法或者不建系直接用向量法等．

事實上,我們可以將視線專注于四面體D-A′B′C，將其視作為空間四邊形，對角線是DA′和CB′．根據(jù)四邊形的對角線互相垂直，可知它們對邊的平方和相等，得

DC2+A′B′2=B′D2+A′C2,

而2組對邊分別相等，得

A′C2=16=BC′2+A′B2，

解得θ=60°．

(1)證明：PQ∥平面BCD；

(2)若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大?。?/p>

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析(1)略.

圖10 圖11