●劉美良

(魯迅中學柯橋校區(qū) 浙江紹興 312000)

由一道課本例題引發(fā)的探究、引申與應用

●劉美良

(魯迅中學柯橋校區(qū) 浙江紹興 312000)

課本中的例、習題作為教材的重要組成部分，都有一定的示范性、典型性和探究性，或寓一般性的結(jié)論、或蘊含著深刻的背景材料，是課本的精髓，也是高考命題的源頭.在課堂教學中，對課本中的例、習題進行變式探究、引申拓展、橫向聯(lián)想，并能巧妙運用其中一些結(jié)論，以題攻題，可以提高復習的針對性和有效性，有利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和教師把握高考的能力.

(人教版《數(shù)學(選修1-1)》第35頁)

解設點M(x,y),因為A(-5，0)，B(5，0)，所以直線AM,BM的斜率為

由已知得

化簡得點M的軌跡方程為

1 問題本原

問題1

解設點M(x,y),由A(-a，0)，B(a，0)，得

化簡得點M的軌跡方程為

據(jù)此，可以得到橢圓的一個“生成方式”，歸納如下：

2 變式探究

問題2

解設點M(x,y),因為A(-a，0)，B(a，0)，所以直線AM,BM的斜率為

由已知得

在結(jié)論2中，將點A,B改成關于原點對稱的任意2個點，結(jié)論(斜率存在)是否還成立？

解設點M(x,y),因為A(x1,y1),B(-x1,-y1),所以直線AM,BM的斜率為

由已知得

又

從而

因此

圖1

3 問題引申

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為E(x0,y0)，則

式(1)-式(2),得

證明不妨設點P(x0,y0)在第一象限，則x0>0,y0>0,k<0.過點P(x0,y0)的切線方程為

y=y0+k(x-x0)，

聯(lián)立橢圓方程

a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

由Δ=0，得

從而

因此

又k1·k2=e2-1，故

4 橫向聯(lián)想

很顯然，當曲線是雙曲線時，不難得到如下結(jié)論：

12組癌痛患者居家自我管理能力得分的比較(±s,分)組別n自我管理能力總分 情緒管理 不良反應管理 疼痛監(jiān)測 工作與休息管理 治療依從性 飲食管理

5 鏈接探究

(1)當直線PA平分線段MN時，求k的值；

(2)當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB.

(2011年江蘇省數(shù)學高考試題)

解(1)(2)略.

(3)設P(x,y),則A(-x,-y)，C(x,0),從而

由結(jié)論3知

從而

因此

kPA·kPB=-1,

故

PA⊥PB.

圖2 圖3

解設kAD=k(k>0)，則

lAD:y=k(x-2).

令x=3，則E(3,k).由結(jié)論3得

從而

因此

通過對課本中例、習題的進一步探究，可以得到非常重要的“二手結(jié)論”.運用這些結(jié)論可以解決以往的習題或高考題，不僅解法別開生面，過程簡單明了，還能使數(shù)學實質(zhì)被學生觸及和逐步理解，真正實現(xiàn)“做一題、會一類”.

5 一點反思

深刻理解課本例、習題的重要價值，對提高數(shù)學教學的有效性具有積極意義.教師應加強對課本例、習題的研究，可以借助于一些經(jīng)典的本原性問題，對其進行開發(fā)和加工、捕捉和拓展，不斷挖掘其潛在的智能因素：或啟迪思路，提煉方法；或引申問題，豐富內(nèi)涵；或串聯(lián)知識，擴大成果；或鼓勵創(chuàng)新，提升智慧.這有助于學生問題意識的提高、探究能力的提升，也有利于提升教師的教學智慧，從而豐盈我們的數(shù)學課堂.

[1] 徐文彬.課堂教學中的“本原性問題”及教育價值[J].當代教育科學，2004(19)：13-14.

[2] 江建國,郭楚明.數(shù)學探究需要探究性的教學設計[J].中學數(shù)學：高中版，2009(12)：9-10.

[3] 蘇立標.探求以e2-1為定值的圓錐曲線問題[J].中學數(shù)學教學參考，2006(5)：29-30.