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(鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

由一道雙曲線試題引起的探究與思考

●朱寒杰

(鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

1 試題介紹

本題是填空題最后一題，滿分4分，對(duì)文科生來說具有很大的難度.筆者所在學(xué)校的2個(gè)文科班此題得分率為10%，區(qū)分度較大. 本題主要考查函數(shù)、解析幾何與不等式的綜合應(yīng)用.考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力.

2 試題解法及其分析

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因曾說：數(shù)學(xué)是一種目標(biāo)明確的思維活動(dòng)，是一種理性的精神，使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度.為此，我們?cè)诮忸}時(shí)，要加強(qiáng)目標(biāo)意識(shí)，在正確的目標(biāo)引領(lǐng)下，進(jìn)行有效的探索、論證.

|PQ|≤|PO|+|OQ|,

故當(dāng)線段|PQ|長(zhǎng)取到最小值時(shí)，必有點(diǎn)P,O,Q共線.

設(shè)函數(shù)f(x)上一點(diǎn)P(x0,y0)，則

其中x0>0.于是

此時(shí)

圖1

其大致圖像如圖1所示,此時(shí)

解得

即

以上2種解法都是從題目中給出的關(guān)鍵詞“函數(shù)”和“雙曲線”出發(fā),巧妙地突破本題的一大難點(diǎn)，即圖像上2個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題.

由韋達(dá)定理知

且

即

由弦長(zhǎng)公式知

上述研究的關(guān)鍵點(diǎn)就是電力變壓器等效網(wǎng)絡(luò)的仿真計(jì)算。這也是系統(tǒng)研究電力變壓器繞組機(jī)械故障(徑向變形和軸向位移)和內(nèi)部電氣故障(匝間短路故障和局部放電故障)的故障程度以及位置對(duì)變壓器差動(dòng)保護(hù)影響的重點(diǎn)之一。本文通過建立集總參數(shù)模型,可以仿真繞組變形位移以及匝間短路故障,以期后續(xù)對(duì)故障類型、故障程度以及故障位置的檢測(cè)提供參考。

3 解后反思

本題是一道填空題的壓軸題，讓很多學(xué)生束手無策.細(xì)細(xì)分析此題，筆者發(fā)現(xiàn)其最大難點(diǎn)在于點(diǎn)P,Q分別在圖像的2支上移動(dòng)，線段PQ長(zhǎng)度的最小值由點(diǎn)P,Q共同決定.這就好比在函數(shù)問題中，求二元函數(shù)的最值問題，對(duì)于文科生來說難度過大.于是，如何將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題(即將2個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題)成了解決本題的核心步驟.

[1] 徐國(guó)君．“雙勾”函數(shù)圖像的本質(zhì)探究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2007(11)：20-22.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M]:3版.北京：高等教育出版社,2001：59-66．