董井成，戴 麗

（1.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，南京210096；2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，南京210031）

目前，關(guān)于有限維半單Hopf代數(shù)的分類研究已取得許多結(jié)果.設(shè)p，q，r是不同的素數(shù).p維、p2維、p3維和pq維半單Hopf代數(shù)已被完全分類［1－4］.特別地，Etingof等［5］用Fusion范疇的方法完成了pq2維和pqr維半單Hopf代數(shù)的分類；董井成等［6－9］給出了p2q2維和pq3維半單Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)和分類.文獻(xiàn)［6］研究了pq3維半單Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)，其中p，q是滿足條件p＞q3的素數(shù)，證明了此類Hopf代數(shù)或者是半可解的，或者同構(gòu)于Radford雙積R＃A，其中：A是q3維半單Hopf代數(shù)；R是左Yetter－Drinfeld模范疇Y D中的p維半單Hopf代數(shù).

本文研究pq3維半單Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)，證明了文獻(xiàn)［6］的結(jié)論可被推廣到p＞q2的情形，且本文的證明包含了文獻(xiàn)［6］的情形.本文僅在一個特征為零的代數(shù)閉域k上討論問題.本文所有模和余模都是k上的有限維左模和左余模，?k和dimk簡記為?和dim.Hopf代數(shù)的符號和性質(zhì)參見文獻(xiàn)［10］.

1 預(yù)備知識

假設(shè)T是k上的有限維半單Hopf代數(shù).設(shè)V是一個T－模.定義V的特征標(biāo)x＝xV∈T＊為〈x，h〉＝trV（h），?h∈T.定義x的次數(shù)為deg x＝〈x，1〉＝dimV.平凡T－模的特征標(biāo)是余單位ε.用符號Irrt（T）表示T所有t次不可約特征標(biāo)的集合，即所有t維單模的特征標(biāo).

設(shè)Irr（T）表示T所有互不同構(gòu)的不可約特征標(biāo)的集合，則Irr（T）可以張成T＊的一個子代數(shù)［4］，稱為T的特征標(biāo)代數(shù)，用R（T）表示.對極S可以導(dǎo)出一個反代數(shù)對合＊：

如果R（T）的子代數(shù)S可由T的不可約特征標(biāo)張成，則稱S為R（T）的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù).因此，如果B是Irr（T）的一個子集，則B可以張成R（T）標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)的充分必要條件是：B中任意兩個特征標(biāo)的乘積仍可分解為B中特征標(biāo)的和.由文獻(xiàn)［11］中定理6的對偶情形可知，在R（T）的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)與T的商Hopf代數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系.

T＊的類群元集合G（T＊）通過左乘（或右乘）作用在集合Irrt（T）上.任取x∈Irrt（T），記x在該作用下的穩(wěn)定化子為G［x］.它是G（T＊）的子群，并且階數(shù)不超過（deg x）2.特別地，g∈G［x］的充分必要條件是g在xx＊的分解中，并且重數(shù)為1［11］.因此，可得如下分解式

其中m（y，xx＊）表示y在xx＊分解中的重數(shù).

引理1［12－13］設(shè)x是T 的不可約特征標(biāo)，則：

1）x穩(wěn)定化子G［x］的階數(shù)整除（deg x）2；

2）類群元集合G（T＊）的階數(shù)整除n（deg x）2，其中n是非同構(gòu)的deg x次不可約特征標(biāo)的個數(shù).

如果d1＝1＜d2＜…＜ds是所有單T－模的維數(shù)，ni是非同構(gòu)的di維單T－模的個數(shù)，則稱T具有代數(shù)型（d1，n1；…；ds，ns）.如果對偶 Hopf代數(shù)T＊具有代數(shù)型（d1，n1；…；ds，ns），則稱T 具有余代數(shù)型（d1，n1；…；ds，ns）.如果T 具有代數(shù)型（d1，n1；…；ds，ns），則T 同構(gòu)于一組全矩陣代數(shù)的直積：

設(shè)A是有限維 Hopf代數(shù).對于A的 Hopf子代數(shù)B，如果a1BS（a2）?B或S（a1）Ba2?B，?a∈A，則稱B是正規(guī)的Hopf子代數(shù).如果A不含有真的正規(guī)Hopf子代數(shù)，則稱其為單Hopf代數(shù).易驗證A是單Hopf代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)A＊是單的.

引理2 設(shè)π：A→是余正規(guī)的商Hopf代數(shù).假設(shè)dim是可以整除dimA的最小素數(shù)，則有

其中Z（A＊）表示A＊的中心.

命題1 設(shè)q是一個素數(shù).如果T有代數(shù)型（1，q2；q，m；…），其中q不能整除m，則T＊有一個維數(shù)≥2q2的Hopf子代數(shù)K，且kG（T＊）是K的一個正規(guī)Hopf子代數(shù).

設(shè)C是T＊包含xq的q2維單子余代數(shù)，則

由文獻(xiàn)［14］中命題3.2.6知，G（T＊）是K∶＝k［C］的正規(guī)Hopf子代數(shù)，其中k［C］表示由C生成的子代數(shù).易驗證K 是T＊包含kG（T＊）的 Hopf子代數(shù).由于K 由C 生成并包含kG（T＊），故dim K≥2q2.

設(shè)π：T→B是Hopf代數(shù)同態(tài)，考慮其余不變子空間：

則由文獻(xiàn)［15］知，余不變子空間Tcoπ是T在左伴隨作用下穩(wěn)定的左余理想子代數(shù)，并且

綜合文獻(xiàn)［14］的1.3節(jié)可得：

引理3 設(shè)π：T→B是Hopf代數(shù)同態(tài)，A是滿足條件A?Tcoπ的T的Hopf子代數(shù).則dimA整除dimTcoπ.

類似于可解群的定義，可給出半可解Hopf代數(shù)的定義.如果存在一條Hopf子代數(shù)的鏈

則稱T為下半可解的，其中對任意的i，Ti＋1是Ti正規(guī)的Hopf子代數(shù)，且所有的商Hopf代數(shù)Ti／TiT＋i＋1都是平凡的.這里平凡的含義是指這些Hopf代數(shù)同構(gòu)于群代數(shù)或?qū)ε嫉娜捍鷶?shù).如果存在一條Hopf商代數(shù)的鏈

由文獻(xiàn)［16］中推論3.3可知，T是上半可解的當(dāng)且僅當(dāng)T＊是下半可解的.此時，T可以通過多次擴(kuò)張由平凡的Hopf代數(shù)構(gòu)造.如果T是上半可解的或下半可解的，則稱其為半可解的.

命題2［8］設(shè)T是pq3維半單Hopf代數(shù)，其中p，q是不同的素數(shù).如果T不是單Hopf代數(shù)，則它是半可解的.

R＃A具有如下性質(zhì)：設(shè)T是一個有限維Hopf代數(shù)并帶有Hopf代數(shù)同態(tài)ι：A→T和π：T→A.如果πι：A→A是一個Hopf代數(shù)同構(gòu)，則左余理想子代數(shù)R＝Tcoπ具有A 上自然的Yetter－Drinfeld Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)，并且R＃A→T可導(dǎo)出一個Hopf代數(shù)同構(gòu).

用D（T）＝T＊cop??T表示T的Drinfeld偶，作為向量空間D（T）即為T＊cop?T，是一個具有特殊結(jié)構(gòu)的Hopf代數(shù)［10］.由文獻(xiàn)［19］中命題9和命題10可得：

定理1 設(shè)T是一個有限維Hopf代數(shù)，則：

2）D（T）＊的每個類群元都具有形式g?η，其中：g∈G（T）；η∈G（T＊）.進(jìn)一步，g?η∈G（D（T）＊）當(dāng)且僅當(dāng)η??g在D（T）的中心內(nèi).

推論1 設(shè)T是一個有限維Hopf代數(shù)，G（D（T）＊）是一個非平凡的群.如果G（D（T）＊）包含元素g?η，其中g(shù)和η的階數(shù)不同，則T和T＊均有一個非平凡的中心類群元.特別地，T不是單Hopf代數(shù).

證明：假設(shè)1≠g∈G（T），否則η∈G（T＊）將是T＊一個非平凡的中心類群元.類似地，可以假設(shè)ε≠η∈G（T＊）.設(shè)g的階數(shù)是n，則

即ηn??1在D（T）的中心.因此，ηn是T＊一個非平凡的中心類群元.類似地，可證明T也含有一個非平凡的中心類群元.

2 主要結(jié)果

考慮分解式（2），易見當(dāng)q2＜p＜q3時，單T－模的維數(shù)只能是1，q，q2或p，而當(dāng)p＞q3時，單T－模的維數(shù)只能是1，q，q2或q3.因此，可得：

其中a，b，c均為非負(fù)整數(shù).

由 Nichols－Zoeller定理［12］知，G（T＊）的階整除dimT.

引理4 如果q2＜p＜q3，則G（T＊）的階數(shù)不可能是q和pq；如果p＞q3，則G（T＊）的階數(shù)不可能是p，q和pq.

1）T不是單Hopf代數(shù)；

設(shè)x是一個p次不可約特征標(biāo).顯然，G［x］≠｛ε｝，否則由式（1）知，xx＊的分解將會導(dǎo)出矛盾p2＝1＋mp，其中m 是某個正整數(shù).即G［x］＝G（T＊）.進(jìn)一步，由文獻(xiàn)［14］中引理2.1.4知，G［x＊］＝G（T＊）.因此，設(shè)C是包含x的T＊的單子余代數(shù)，則由文獻(xiàn)［14］中注3.2.7知，C／C（kG（T＊））＋是一個余交換的余代數(shù).再由文獻(xiàn)［14］中推論3.3.2知，余代數(shù)T＊／T＊（kG（T＊））＋是余交換的.

命題3 設(shè)T具有代數(shù)型（1，q2；q，m；…）且q不整除m，則：

1）如果T具有余代數(shù)型（1，q2；q，n；…）且q不整除n，則T或者不是單的，或者同構(gòu)于Radford雙積R＃A，其中A是q3維的非平凡自對偶半單Hopf代數(shù)；

3）如果p≠1（mod q），則T不是單Hopf代數(shù).

證明：由命題1，T＊有一個維數(shù)≥2q2的Hopf子代數(shù)K，且K包含kG（T＊）作為其正規(guī)Hopf子代數(shù).根據(jù) Nichols－Zoeller定理［12］dim K 整除dimT＊，故dim K＝pq3，pq2或q3.

如果dim K＝pq3，則K＝T＊.由于kG（T＊）在T＊中是正規(guī)的，故T＊不是單Hopf代數(shù)，從而T不是單Hopf代數(shù).如果dim K＝pq2，則由文獻(xiàn)［21］中主要結(jié)論知T＊也不是單Hopf代數(shù).如果dim K＝q3，則K 具有余代數(shù)型（1，q2；q，q－1）.

下面考慮由包含關(guān)系K?T＊導(dǎo)出的Hopf代數(shù)同態(tài)π：T→K＊.由dim Tcoπ＝p，如果存在1≠g∈G（T）滿足g∈Tcoπ，則群代數(shù)k〈g〉包含在Tcoπ中，其中〈g〉表示由g生成的循環(huán)群.這是因為Tcoπ是T的子代數(shù)，其中元素的乘積具有封閉性.由于dimk〈g〉不整除dim Tcoπ，故與引理3矛盾.因此，作為T的左余理想，有分解：

其中Ui，Vj和Wk分別是T的q維，q2維和q3維不可約左余理想.當(dāng)q2＜p＜q3時式（5）中的Wk不存在.

1）如果T具有給定的余代數(shù)型，則T或者不是單Hopf代數(shù)，或者有一個q3維的Hopf子代數(shù)A，且A 具有余代數(shù)型（1，q2；q，q－1）.

一方面，根據(jù)A和Tcoπ分解成不可約左余理想直和的分解式，有

其中n是非負(fù)整數(shù).另一方面，由文獻(xiàn)［14］中引理1.3.4知，

因此，n＝0，A∩Tcoπ＝k1.從而π：A→ K＊是一個 Hopf代數(shù)同構(gòu).由 Radford投射定理［18］，T?Tcoπ＃A是一個Radford雙積.由同構(gòu)及A和K的余代數(shù)型知，A是非平凡的.因此，A是自對偶的，并且是文獻(xiàn)［3］中構(gòu)造的某個半單Hopf代數(shù).

2）通過分析易得kG（T）∩Tcoπ＝k1.因此，作為Hopf代數(shù)，kG（T）同構(gòu)于K＊.于是，由Radford投射定理［18］知，T?R＃kG（T）是一個Radford雙積.

3）如果p≠1（mod q），則分解式（5）不可能成立，因而T不是單Hopf代數(shù).

1）T或者不是單Hopf代數(shù)，或者同構(gòu)于Radford雙積R＃A，其中A是q3維的半單Hopf代數(shù)；

2）如果p≠1（mod q），則T不是單Hopf代數(shù).

綜上，本文在p＞q2的假設(shè)下考察了G（T＊）的每個可能階數(shù).因此結(jié)合命題2，可得本文的主要結(jié)果：

定理2 設(shè)T是一個pq3維半單Hopf代數(shù)，其中p，q是滿足條件p＞q2的素數(shù)，則T或者是半可解的，或者同構(gòu)于Radford雙積R＃A，其中：A是q3維半單Hopf代數(shù)；R是左Yetter－Drinfeld模范疇Y D中的p維半單Hopf代數(shù).

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