趙婧琳, 沈自飛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

帶有臨界指數(shù)的非齊次Klein-Gordon-Maxwell方程解的存在性*

趙婧琳, 沈自飛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

主要研究了以下一類非齊次Klein-Gordon-Maxwell方程:

解的存在性.在g(x)滿足一定的假設(shè)條件下,通過變分方法得出系統(tǒng)解的存在性結(jié)論.

Klein-Gordon-Maxwell 方程;山路引理;變分方法;非齊次;Ekland變分原理

0 引 言

主要研究了一類非齊次Klein-Gordon-Maxwell方程

本文主要討論了當(dāng)g(x)≠0,即方程組為非齊次方程組時(shí)解的存在性問題,并得到了方程組至少有2個(gè)解,且其中有一個(gè)為局部極小值解的結(jié)論.

本文的主要結(jié)論是下面的定理:

1 預(yù)備知識(shí)

系統(tǒng)(2)具有變分結(jié)構(gòu),考慮泛函F:H1(R3)×D1,2(R3)→R,

類似于文獻(xiàn)[1]中所用的方法,為了克服泛函本身的無界性,需要對(duì)泛函進(jìn)行一些簡(jiǎn)化.

引理1(u,Φ)是系統(tǒng)(2)的弱解當(dāng)且僅當(dāng)它是F在H1(R3)×D1,2(R3)上的臨界點(diǎn).

證明 由F∈C1(H1(R3)×D1,2(R3),R)知,對(duì)于?ξ∈H1(R3),η∈D1,2(R3),F的偏導(dǎo)形式為

由式(4)知,結(jié)論顯然成立.引理1證畢.

引理2對(duì)于每一個(gè)u∈H1(R3),存在唯一的φ=φu∈D1,2(R3),使得系統(tǒng)(2)中的第2式成立.映射Φ：u∈H1(R3)→φu∈D1,2(R3)是連續(xù)可導(dǎo)的,且

1)在集合{x|u(x)≠0}上，-ω≤φu≤0;

證明 1)由文獻(xiàn)[1,4]直接可得.

2)為了證明性質(zhì)2),將系統(tǒng)(2)中的第2式左右同時(shí)乘以φu,并分部積分,得

由于 -ω≤φu≤0,因此,

于是

‖φu‖D1,2≤cω‖u‖2≤c‖u‖2.

引理2證畢.

1)ψu(yù)是下面方程的解:

2)ψu(yù)≤0.

由引理1～引理3可以將泛函進(jìn)行簡(jiǎn)化,考慮泛函E:H1(R3)→R,E(u)=F(u,Φ),

E是C1(R3)的,對(duì)任意的u,v∈H1(R3),有

引理4[1]以下結(jié)論是等價(jià)的:

1)(u,φ)∈H1(R3)×D1,2(R3)是F的臨界點(diǎn);

2)u是E的臨界點(diǎn),且φ=φu.

2 定理1的證明

證明 由式(6)及引理2知

‖u‖(a1‖u‖-a2‖u‖2*-1-‖g(x)‖L).

引理6存在v1∈H1，‖v1‖>ρ,使得E(v1)<0.

證明 由式(6)及引理2可知

(8)

由式(8)可知，存在v1=t1u,當(dāng)t1>0且充分大時(shí),E(v1)<0.引理6證畢.

由引理5和引理6及山路引理可知,存在序列{un}?H1(R3),使得

引理7序列{un}有界.

證明 由式(6)、式(7)和式(9)可知

當(dāng)t>0充分小時(shí),易得E(tψ)<0,且

[1]Benci V,Fortunato D.Solitary waves of the nonlinear Klein-Gordon equation coupled with the Maxwell equations[J].Rev Math Phys,2002,14(4):409-420.

[2]Benci V,Fortunato D.The nonlinear Klein-Gordon equation coupled with the Maxwell equations[J].Nonlinear Anal,2001,47(9)：6065-6072.

[3]D′Aprile T,Mugnai D.Solitary waves for nonlinear Klein-Gordon-Maxwell and Schr?dinger-Maxwell equations[J].Proc Royal Soc Edinburgh:A,2004,134(5)：893-906.

[4]D′Aprile T,Mugnai D.Non-existence results for the coupled Klein-Gordon-Maxwell equations[J].Adv Nonlinear Stud,2004,4(3)：307-322.

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[6]Cassani D.Existence and non-existence of solitary waves for the critical Klein-Gordon equation coupled with Maxwell′s equations[J].Nonlinear Anal,2004,58(7/8)：733-747.

(責(zé)任編輯 陶立方)

SolutionsfornonhomgeneousKlein-Gordon-Maxwellequationswithcriticalexponent

ZHAO Jinglin, SHEN Zifei

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The existence of solutions for a class of nonhomgeneous Klein-Gordon-Maxwell equations as follows was studied,

Under some assumptions on the nonhomgeneous itemg(x), the existence results of solutions for the system was obtained by variational methods.

Klein-Gordon-Maxwell equations; moutain pass theorem; variational methods; nonhomogeneous; Ekland variational principle

O175.25

A

1001-5051(2013)02-0146-04

2012-11-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271331)

趙婧琳(1987-),女,河南信陽人,碩士研究生.研究方向:非線性泛函分析.