汪靈杰, 趙曉華

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

Maxwell-Bloch 方程的Hopf分叉研究*

汪靈杰, 趙曉華

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

主要考慮了基于Maxwell-Bloch方程激光模型的動力學(xué)行為，分析了Maxwell-Bloch方程的平衡點穩(wěn)定性和Hopf分叉行為，給出了相應(yīng)的數(shù)值模擬及分叉圖.

Maxwell-Bloch方程;中心流形;Hopf分叉;數(shù)值模擬

0 引 言

所謂Maxwell-Bloch方程(M-B系統(tǒng)),是指下面的常微分方程組:

式(1)中:E為緩變包絡(luò)場強;P是指原子的極化強度;Δ是指粒子數(shù)反轉(zhuǎn);k為場強;γ⊥為原子極化;γ‖為粒子的損失率;g為耦合常數(shù);Δ0為無耦合情況下的粒子數(shù)反轉(zhuǎn);k,γ⊥,γ‖,g,Δ0,均取正值.對于本文討論的腔模頻率與原子頻率處于共振情況,E和P均是實變量,這樣M-B方程組就變成一個3維自洽微分方程組.關(guān)于Maxwell-Bloch方程的推導(dǎo)及背景,可參考俄羅斯學(xué)者Ya I Khanin的專著《Fundamentals of Laser Dynamics》(2006).

注意到,當(dāng)參數(shù)滿足關(guān)系k=σ,γ⊥=g2/k=1,g2Δ0/k=r,γ‖=b,而記x=E,y=gP/k,z=Δ0-Δ時,方程(1)就是著名的Lorenz方程.因此,Maxwell-Bloch方程(1)以Lorenz方程為其特例.

近幾年來，在激光動力學(xué)領(lǐng)域里，人們對M-B激光方程從不同層面作了些理論分析和實驗研究[1-4],展現(xiàn)了其豐富的非線性動力學(xué)行為,如分叉、混沌等.Bloch方程是一個與Schr?dinger方程類似的方程,用來描述共振耦合激光場原子的演變過程,而Maxwell方程則描述了光場在介質(zhì)中的傳播特性.2個方程耦合在一起,造就了更加復(fù)雜的動力學(xué)行為.

1 平衡點分叉及穩(wěn)定性分析

由于系統(tǒng)(1)包含有5個非零參量,為便于研究,將通過尺度變換以減少參量個數(shù).為此,引入變換

則系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為本文要討論的三參數(shù)系統(tǒng)形式

1.1平衡點A的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(3)在平衡點A處對應(yīng)線性系統(tǒng)的Jacobi矩陣為

其對應(yīng)的特征方程為f(λ)=(λ+1)[(λ+η1)(λ+η2)-η3],相應(yīng)的特征根為

從式(4)可得以下定理:

定理11)若η1η2-η3>0,則特征根全為負(fù)實數(shù)，平衡點A為穩(wěn)定結(jié)點類型;

2)若η1η2-η3<0,則特征根為一正兩負(fù)實數(shù)，平衡點A為鞍型不穩(wěn)定;

3)若η1η2-η3=0,則特征根為λ1=0,λ2=-(η1+η2)<0,λ3=-1<0,平衡點A是不穩(wěn)定的.

證明 前2個結(jié)論顯然,以下證明結(jié)論3).由特征值可知,此時平衡點屬于退化臨界情形,滿足中心流形定理的條件,故用中心流形理論[5]進(jìn)行處理.

先把平衡點A平移到原點,令x=X,y=Y,z=Z+η3,則系統(tǒng)(3)變?yōu)?/p>

再對系統(tǒng)(5)作如下變換:

則系統(tǒng)(5)變?yōu)?/p>

即

.

此時,可設(shè)式(6)的局部中心流形為

式(7)中,h1,h2滿足

h1(0)=h2(0)=h′1(0)=h′2(0)=0.

將式(7)代入式(6),得到關(guān)于h1(Y1),h2(Y1)的微分方程組

將h1(Y1),h2(Y1)展開成級數(shù)形式,即

將式(9)代入式(8),比較兩端同次冪的系數(shù)可得

從而中心流形有近似表示

將中心流形式(10)代入式(6),可得中心流形上的方程為

則由式(11)及η1(η1+η2)>0可知,中心流形上的平衡點Y1=0是不穩(wěn)定的.故可知在參數(shù)滿足η3=η1η2的條件下,整個系統(tǒng)平衡點A是不穩(wěn)定的.定理1證畢.

1.2平衡點B和C的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(3)在平衡點B和C處對應(yīng)線性系統(tǒng)的Jacobi矩陣為

對應(yīng)的特征多項式均為

分析特征方程(12)的根可得如下定理：

定理2對于任意的η1>0,η2>0,η3>η1η2,

證明 利用Hurwitz定理,寫出H矩陣為

從而,式(12)的特征值的實部全為負(fù)數(shù)的充要條件是矩陣H的所有順序主子式全為正數(shù),即

由于η1>0,η2>0,η3>η1η2,所以只要證明D2>0即可.再對D2>0進(jìn)行簡單分析即可得定理2的結(jié)論.

2 平衡點B和C附近的Hopf分叉分析

將η3=η*3代入平衡點B和C處的特征方程(12),得

因此,特征根為一對純虛根和一個負(fù)實根,即

由于特征方程(12)的系數(shù)連續(xù)依賴于參數(shù)η3,特征值也連續(xù)依賴于η3,因此,對滿足條件η1>1+η2的任意取定的(η1,η2),只要η3充分接近η*3,特征方程(12)的特征值必為

且

將式(15)中的特征值形式代入特征方程(12),整理得

注意α是η3的函數(shù),在式(17)中固定η1,η2,兩端關(guān)于η3在η3=η*3處求導(dǎo)數(shù)(注意α(η*3)=0),得

至此,已證明了系統(tǒng)(3)在平衡點B和平衡點C處的特征值滿足式(16)和式(18),即滿足Hopf分叉定理[6-7]的條件.從而得出下面的定理：

接下來利用文獻(xiàn)[7]中的方法進(jìn)一步分析Hopf分叉周期解的分叉方向和穩(wěn)定性.為此,以下約定正參數(shù)η1和η2是滿足條件η1>η2+1的固定常數(shù),將η3視為分叉參數(shù).

J(B)x+S(x).

使得系統(tǒng)(19)在這個變換下變?yōu)?/p>

式(21)中

由于特征值滿足式(16),因此不難求得,在η3=η*3處,

其逆矩陣為

.

其中:d為矩陣P(η*3)的行列式;ω0由式(14)定義.若記式(21)中的非線性項為

P-1(η3)S(P(η3)u)F(u,η3)=(F1,F2,F3)T,(24)

則代入Hopf分叉臨界參數(shù)值η3=η*3,可得F(u,η*3)的分量為:

利用F(u,η*3)的分量表示可很方便地計算出下面的偏導(dǎo)數(shù)：

Fkij(0,η*3),Fkijl(0,η*3).

(25)

μ2(η1,η2)的表達(dá)式很長,無法直接分析,但利用Maple數(shù)學(xué)軟件就能很容易通過數(shù)值模擬得出斷言：對滿足條件η1>η2+1的η1和η2的任何正值,函數(shù)μ2(η1,η2) 恒小于零.

對平衡點C也可作類似的分析,并且可得與平衡點B完全相同的結(jié)論.于是,結(jié)合式(18),并根據(jù)文獻(xiàn)[7-8],立即可得下面的定理：

為了說明上述Hopf分叉周期解的分叉方向和穩(wěn)定性,給出如下一個實例:取η1=4,η2=1,η3作為自由參數(shù),此時,η*3=64,平衡點B(3.872 983 346,15.491 933 38,4),且

因此,當(dāng)η3接近并小于η*3=64時,在平衡點B附近存在一個不穩(wěn)定的周期解,這是因為

μ2α′(η*3)=-0.124 006 408 7<0.

3 數(shù)值模擬

下面展現(xiàn)一些數(shù)值模擬結(jié)果,驗證Hopf分叉周期解的存在性.在此，以η3作為分叉參數(shù)，且所有的分叉圖都是用Matcont軟件[9]畫出來的.

圖1、圖2分別是以x,y作為狀態(tài)變量，η3作為分叉參數(shù)的M-B方程平衡曲線及其分叉圖.

圖1 變量x關(guān)于η3的分叉圖

圖2 變量y關(guān)于η3的分叉圖

從圖3可以看到:當(dāng)分叉參數(shù)η3=64時,存在2個對稱的Hopf分叉點H，并且其第一Lyapunov系數(shù)為0.000 394 074 4,說明是亞臨界Hopf分叉;當(dāng)分叉參數(shù)η3=4時，存在1個BP點,即平衡點A.圖4是以正的Hopf分叉點H作延拓計算而得到的極限環(huán)分叉圖，因為Hopf分叉點的存在，意味著極限環(huán)的存在，故在對其進(jìn)行延拓計算時只需尋找余維數(shù)1上的極限環(huán)分叉.圖4仍以η3作為自由參數(shù)，得到的是以狀態(tài)變量x為極限環(huán)的振幅隨參數(shù)η3的分叉圖.隨著參數(shù)η3的變化，很快就得到環(huán)極限點(LPC),但當(dāng)參數(shù)η3繼續(xù)變小時，極限環(huán)的振幅進(jìn)一步增大.圖5為平衡點分叉與Hopf分叉合成圖.從圖5可以看出:當(dāng)η3<η1η2時,該系統(tǒng)只有1個不穩(wěn)定的平衡點;當(dāng)η3>η1η2時,該系統(tǒng)有3個平衡點;當(dāng)η3=η*3時,存在2個Hopf分叉點,此時,系統(tǒng)在Hopf分叉點附近產(chǎn)生2個亞臨界的Hopf分叉周期解.

圖3 圖1和圖2的數(shù)據(jù)截圖

圖4 Hopf分叉點H的延拓分叉圖

圖5 平衡點分叉與Hopf分叉合成圖

以上數(shù)值模擬結(jié)果驗證了本文理論分析的可靠性,同時M-B方程還具有其他方面更復(fù)雜的動力學(xué)行為，如廣義Hamilton擾動系統(tǒng)的周期軌道、同宿軌道分支與混沌[10]等運動.對此,筆者將作進(jìn)一步的研究.

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(責(zé)任編輯 陶立方)

StudyonHopfbifurcationforMaxwell-Blochequation

WANG Lingjie, ZHAO Xiaohua

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The dynamic behavior of the laser model: the Maxwell-Bloch equations was studied. Stability of equilibrium, Hopf bifurcation behavior in this system were investigated in detail and the associated numerical simulation and bifurcation diagrams were also presented.

Maxwell-Bloch equation; center manifold; Hopf bifurcation; numerical simulation

O175.14

A

1001-5051(2013)01-0037-08

2012-10-23

國家自然科學(xué)基金資助項目(10872183;11172269)

汪靈杰(1984-),男,浙江臨海人,碩士研究生.研究方向：微分方程與動力系統(tǒng).

趙曉華. E-mail: xhzhao@zjnu.cn