霍振宏， 劉喜玲, 鄒 成

(1.中原工學(xué)院 a.理學(xué)院；b.信息商務(wù)學(xué)院, 鄭州 450007；2. 四川化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 四川 瀘州 646005)

環(huán)面自映射在拓?fù)淇臻g中的回歸點(diǎn)*

霍振宏1a， 劉喜玲1b**, 鄒 成2

(1.中原工學(xué)院 a.理學(xué)院；b.信息商務(wù)學(xué)院, 鄭州 450007；2. 四川化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 四川 瀘州 646005)

連續(xù)映射；鄰域；周期點(diǎn)；回歸點(diǎn)

1 概念與記號

設(shè)X為一拓?fù)淇臻g,f∈C0(X,X)，用f0表示恒等映射，對任何自然數(shù)n，歸納地定義f1=f,f2=f°f,…,fn=f°fn-1.

用S1表示圓周,不失一般性，設(shè)圓半徑為1,于是S1是平面上滿足下列條件的點(diǎn)(x,y)之集：S1={(x,y)|x2+y2=1,(x,y)∈R×R}.有時(shí)，把Q(x,y)看成復(fù)數(shù)x+iy是很方便的.由于x2+y2=1，故用復(fù)數(shù)的三角形式e2πiθ=cos 2πθ+i sin 2πθ(0≤θ<1).可以把圓周S1上的點(diǎn)參數(shù)化.

下文中，用f表示f：S1×S1→S1×S1是環(huán)面上的連續(xù)自映射，用X表示環(huán)面S1×S1.

2 相關(guān)命題

命題1 設(shè)f為環(huán)面X上的連續(xù)自映射，則P(f)?R(f).

證明設(shè)(x,y)∈P(f)，則存在n>0，使得fn(x,y)=(x,y)，且fk(x,y)≠(x,y)，?k=1,2,…,n-1. 則對于(x,y)的任意鄰域U，有fn(x,y)∈U.根據(jù)回歸點(diǎn)的定義可知(x,y)∈R(f)，從而由(x,y)的任意性可得，P(f)?R(f).

命題2 設(shè)點(diǎn)(x,y)是環(huán)面X上的連續(xù)自映射f的一個(gè)回歸點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…存在一個(gè)收斂于(x,y)的子序列.

證明(?)設(shè)(x,y)∈R(f)?對于(x,y)的任意鄰域U，?n>0，使得fn(x,y)∈U，由收斂定義可知，序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…，必存在正整數(shù)序列m1,m2,…，使得子序列fm1(x,y),fm2(x,y),…收斂于(x,y).

(?)設(shè)序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…，存在一個(gè)收斂于(x,y)的子序列，則對(x,y)的任意鄰域U，?n>0，使得fn(x,y)∈U，根據(jù)回歸點(diǎn)的定義知，(x,y)∈R(f).

命題3 設(shè)f為環(huán)面X上的連續(xù)自映射，則R(f)=R(fn),n=1,2,….

證明顯然，根據(jù)定義便有R(fn)?R(f).以下證明R(f)?R(fn).

設(shè)(x,y)∈R(f)，根據(jù)命題2，序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…，有一個(gè)收斂于(x,y)的子序列.設(shè)這個(gè)序列為fm1(x,y),fm2(x,y),…，對于每一個(gè)i=1,2,…，令mi=kin+ri，其中ki≥0，0≤ri

(1)U1?U2?…?Un.

(2)fsij(Uj+1)?Uj,j=1,2,…,n-1.

(3)fnij(x,y)∈Uj,j=1,2,…,n.

這樣，便有fsi1+si2+…+sin(x,y)∈U1，而si1+si2+…+sin≡0(modn).以上表明(x,y)∈R(fn)，因而，R(f)?R(fn).

命題4 設(shè)f為環(huán)面X上的連續(xù)自映射，J?X.如果J中沒有f的周期點(diǎn)，即J∩P(f)=?，那么

(1) 對?(x,y)∈J，(x,y)的任一鄰域U?X，總存在整數(shù)n>0，使得fn(x,y)?U.

(2) 對?(x,y)∈J，(x,y)的任一鄰域U?X，以及整數(shù)n>0，若fn(x,y)∈J，則fn(x,y)?U.

證明(1) (用反證法).假設(shè)條件(1)不成立，則有整數(shù)n>0，使得條件(1)不成立.條件(1)不成立，意味著存在點(diǎn)(x1,y1)∈J的鄰域U1?X，使得fn(x1,y1)∈U1.

顯然，等式fn(x1,y1)=(x1,y1)，若成立，J中就有f的周期點(diǎn).這與命題中J中沒有f的周期點(diǎn)矛盾，因此，fn(x1,y1)?U1；若等式不成立，則存在n2>0，使得fn2(fn1(x1,y1))=(x1,y1)，由回歸點(diǎn)定義及命題3知，fn2(fn1(x1,y1))∈U1，即J中就有f的周期點(diǎn)，這亦與命題4中J中沒有f的周期點(diǎn)矛盾，因此fn2(fn1(x1,y1))?U1.從而，對?(x,y)∈J，(x,y)的任一鄰域U?X，總存在整數(shù)n>0，使得fn(x,y)?U.

(2) (用反證法)假設(shè)條件(2)不成立，則存在整數(shù)n1>0和(x1,y1)∈J的鄰域U1，使得fn1(x1,y1)∈J且fn1(x1,y1)∈U1.由于若fn1(x1,y1)=(x1,y1)成立，明顯與J中沒有f的周期點(diǎn)這一假設(shè)矛盾，所以fn1(x1,y1)?U1.由于fn1(x1,y1)?U1，根據(jù)命題4結(jié)論(1)有：對任意整數(shù)n>0，(x,y)∈J，(x,y)的任一鄰域U?X，有fn(x,y)?U.由于fn1(x1,y1)∈J，因此，f2n1(x1,y1)=fn1(fn1(x1,y1))?U1.再根據(jù)命題4結(jié)論(1)，可見對于?(x,y)∈J，f2n1(x,y)?U.若證明了對于某一整數(shù)k>0和?(x,y)∈J，fkn1(x,y)?U，那么由于fn1(x1,y1)∈J，有

f(k+1)n1(x1,y1)=fkn1(fn1(x1,y1))?U1

從而根據(jù)命題4結(jié)論(1)，對?(x,y)∈J，f(k+1)n1(x,y)?U.根據(jù)歸納原則，得到結(jié)論：對任意整數(shù)k>0和?(x,y)∈J，fkn1(x,y)?U.也即是，對任何整數(shù)n>0，?(x,y)∈J的鄰域U，若fn(x,y)∈J，則有fn(x,y)?U.

3 定理

證明(用反證法)假定f的回歸點(diǎn)(x,y)既不是周期點(diǎn)也不是周期點(diǎn)的聚點(diǎn)，則存在(x,y)∈J?X，使J中沒有f的周期點(diǎn)或周期點(diǎn)的聚點(diǎn).根據(jù)回歸點(diǎn)的定義，有整數(shù)n1>0，使得fn1(x,y)∈J.對(x,y)的任一鄰域U，U滿足命題4中的(2)，所以，fn1(x,y)?U.由于fn1(x,y)∈J，令

J0=min{Ji|f1(x,y)∈J1,f2(x,y)∈J2,…,fn1(x,y)∈Jn1(i=1,2,…,n1)}

推論1 設(shè)f為環(huán)面X上的連續(xù)自映射,若P(f)是閉集，則R(f)=P(f)，從而R(f)也是閉集.

[1] 熊金城.線段映射的動(dòng)力體系：非游蕩集，拓?fù)潇匾约盎靵y[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，1988，17(1)：1-11

[2] 周作領(lǐng).一維動(dòng)力系統(tǒng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)刊，1988，3(1)：42-65

[6] 張景中，熊金城.函數(shù)迭代與一維動(dòng)力系統(tǒng)[M].成都：四川教育出版社，1992

[3] 張偉年.動(dòng)力系統(tǒng)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2001

[4] 金渝光. 關(guān)于自映射的周期點(diǎn)集[J]. 重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 1995, 12( 4)： 35-38

[5] 杜瑞瑾，金渝光，李梅霞.關(guān)于一類n維自映射的周期點(diǎn)集[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2006,23(1)：11-14

Recurrence Point of Self-mapping for Torus in the Topological Space

HUOZhen-hong1，LIUXi-ling2,ZOUCheng3

(1.Department of Mathematics, Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 450007, China；2. College of Information and Business, Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 450007, China；3. Sichuan College of Chemical Technology, Sichuan Luzhou 646005, China)

continuous mapping ；neighborhood ; periodic point; recurrence point

1672-058X(2013)10-0005-03

2013-04-09；

2013-05-20.

霍振宏(1963-)，男，河南平輿人，副教授，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

**通訊作者：劉喜玲(1981-)，女，河南許昌人，講師，碩士研究生，從事拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究.

O189.1

A

責(zé)任編輯：李翠薇