付志紅，熊學(xué)海，2，侯興哲，李春燕，張淮清

（1.重慶大學(xué) 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400030；2.貴州電網(wǎng)公司電力調(diào)度控制中心，貴州 貴陽 550002；3.重慶電力科學(xué)試驗(yàn)研究院，重慶 401123）

0 引言

在發(fā)展智能電網(wǎng)的新形勢(shì)下，電能計(jì)量是高級(jí)量測(cè)體系（AMI）的重要組成內(nèi)容[1-7]，需要研究分布式能源、儲(chǔ)能裝置帶來的電能質(zhì)量與電能計(jì)量新問題；充電站、微網(wǎng)等新型負(fù)荷，在接入中產(chǎn)生了豐富的諧波、非線性沖擊，以及雙向、隨機(jī)、間歇和瞬變的潮流等都為電能計(jì)量帶來了新的難題。隨著對(duì)無功功率的日益關(guān)注，無功計(jì)量收費(fèi)是大勢(shì)所趨，而新能源接入電力系統(tǒng)對(duì)無功的需求，也有促成無功市場(chǎng)的趨勢(shì)。目前提出的各種功率理論的有功功率定義統(tǒng)一，具有明確的物理意義，但是對(duì)于非正弦情況下的無功功率理論定義尚未統(tǒng)一，缺乏非線性負(fù)荷無功計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，無功計(jì)量問題存在較大爭(zhēng)議[8-13]。目前，非正弦無功功率理論主要有3種類別：第1種是頻域功率理論[14]，建立在傅里葉變換的基礎(chǔ)上，以Budeanu功率理論為代表，其定義已寫入ANSI／IEEE1459—2000標(biāo)準(zhǔn)；第2種是時(shí)域功率理論[15]，以Fryze功率理論為代表，該理論被國際電工委員會(huì)（IEC）推薦使用；第3種是瞬時(shí)無功功率理論[16]，以20世紀(jì)80年代H.Akagi從無功補(bǔ)償和諧波消除角度提出的三相電路瞬時(shí)無功功率理論為代表。

論文從時(shí)域無功理論的角度，根據(jù)理論定義分析論證Fryze時(shí)域無功與基于周期函數(shù)空間的通用無功定義對(duì)于無功計(jì)量相同和差異的原因，分析其無功電能計(jì)量統(tǒng)一性條件和非一致性情況。由于算法復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)的計(jì)算量較大，而又要求實(shí)時(shí)處理以便滿足實(shí)際需要，因此基于dSPACE平臺(tái)構(gòu)建電能計(jì)量實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)，進(jìn)行三相四線制電路的無功計(jì)量建模和實(shí)驗(yàn)研究，從實(shí)驗(yàn)的角度驗(yàn)證此2種無功理論對(duì)于無功電能計(jì)量的一致性條件。

1 Fryze時(shí)域無功與基于周期函數(shù)空間的通用無功定義

1.1 Fryze時(shí)域無功理論

1932年，F(xiàn)ryze提出單相非正弦電路功率理論的時(shí)域分析方法[15]，該方法把電流按照電壓波形分解成有功電流ip和無功電流iq，其中有功電流ip的波形與電壓u完全一致，iq、ip正交，其定義如下：

其中，ip、iq分別為有功電流和無功電流；Iq為iq的有效值；U、I為電壓、電流有效值；SF、PF、QF分別為視在功率、有功功率和無功功率；T為周期。

Fryze時(shí)域功率理論是對(duì)于單相電路提出的，將其推廣應(yīng)用于三相四線制電路。在三相四線制電路中，每一相都用Fryze時(shí)域功率理論計(jì)算有功功率、無功功率，把各相計(jì)算結(jié)果相加得三相總有功功率、總無功功率，并基于此計(jì)算有功電能和無功電能。

1.2 基于周期函數(shù)空間的通用無功定義

2005年，馬偉明教授提出基于周期函數(shù)空間的通用功率定義[13]，簡(jiǎn)要介紹該功率定義如下。

構(gòu)建一個(gè) n 維周期函數(shù)空間 X=｛[f1（x），f2（x），…，fn（x）]T?x?R，fi（x）=fi（x±T），T?R，i=1，2，…，n｝。令 a?X，b?X，a=[ f1（x），f2（x），…，fn（x）]T，b=[g1（x），g2（x），…，gn（x）]T。

定義此空間中的內(nèi)積為：

定義此空間中的范數(shù)為：

對(duì)于一個(gè)n相電路系統(tǒng)，令系統(tǒng)的相電壓向量為 uph=[u1，u2，…，un]T，相電流向量為 iph=[i1，i2，…，in]T，其中 u1、u2、…、un和 i1、i2、…、in分別為系統(tǒng)各相相電壓和相電流的時(shí)間周期函數(shù)，周期為T。顯然有uph? X，iph?X。

定義1 有功電流向量iMp等于相電流向量iph對(duì)相電壓向量uph的投影。

其中，G為常數(shù)。

定義2 無功電流向量iMq等于相電流向量iph與有功電流向量iMp之差。

定義3 有功功率PM等于相電壓向量范數(shù)‖uph‖和有功電流向量范數(shù)‖iMp‖的乘積。

定義4 無功功率QM等于相電壓向量范數(shù)‖uph‖和無功電流向量范數(shù)‖iMq‖的乘積。

定義5視在功率SM等于相電壓向量范數(shù)‖up‖h和相電流向量范數(shù)‖ip‖h的乘積。

定義6 廣義功率因數(shù)λ等于有功功率PM與視在功率SM的商。

其中，θ為uph和iph的夾角。

2 無功電能計(jì)量一致性理論分析

從Fryze功率理論和通用功率理論的定義出發(fā)，分析2種功率理論對(duì)于無功計(jì)量在各相對(duì)稱或不對(duì)稱時(shí)（正弦和非正弦）計(jì)量一致性的條件。

在三相四線制電路中，由Fryze功率理論對(duì)于有功電流的定義式（1）得：

其中，ipa、ipb、ipc分別為 Fryze 功率理論定義的 a、b、c相有功電流。

由Fryze功率理論對(duì)于無功電流的定義式（2）得：

由Fryze功率理論對(duì)于無功功率的定義式（4）得：

b相、c相的無功功率可類似得到，將Fryze功率理論推廣應(yīng)用于三相四線制電路，由式（16）可得：

在三相四線制電路中，由通用功率理論對(duì)于有功電流向量的定義式（7）得：

其中，ip1、ip2、ip3分別為通用功率理論定義的 a、b、c 相有功電流。

由通用功率理論對(duì)無功電流向量的定義式（9）得：

由通用功率理論對(duì)于無功功率的定義式（11）得：

在三相四線制電路中，當(dāng)對(duì)稱時(shí)，由于各相電壓、電流的對(duì)稱性，根據(jù)式（14）和式（18）分析可知：

即有：

因此，由式（14）、式（18）、式（22）對(duì)比分析可知，在對(duì)稱的三相四線制電路中，F(xiàn)ryze功率理論和通用功率理論對(duì)于有功電流的定義是相同的，且由于各相電壓、電流的對(duì)稱性，這2種功率理論定義的各相有功電流之間在一周期平方的積分也相等。即有：

將式（23）代入式（15）和式（19）對(duì)比分析可知，在對(duì)稱的三相四線制電路中，F(xiàn)ryze功率理論和通用功率理論對(duì)于無功電流的定義是相等的，且由于各相電壓、電流的對(duì)稱性，這2種功率理論定義的各相無功電流之間在一周期平方的積分也相等。即有：

其中，iqa、iqb、iqc分別為 Fryze 功率理論定義的 a、b、c相無功電流；iq1、iq2、iq3分別為通用功率理論定義的a、b、c相無功電流。

在對(duì)稱的三相四線制電路中，由于各相電壓、電流的對(duì)稱性及根據(jù)式（26），可將式（17）化簡(jiǎn)整理得：

相似地，在對(duì)稱的三相四線制電路中，由于各相電壓、電流的對(duì)稱性以及根據(jù)式（26），即可將式（20）化簡(jiǎn)整理得：

所以，根據(jù)式（26）—（28）對(duì)比分析可知：

這意味著，在對(duì)稱的三相四線制電路中，F(xiàn)ryze功率理論和通用功率理論對(duì)于無功功率的計(jì)算結(jié)果是相等的。

但是，在不對(duì)稱的三相四線制電路中，由于各相電壓、電流不具備對(duì)稱性，式（21）、式（22）不能成立，從而式（23）—（26）不能成立。 所以式（27）—（29）也不能成立，于是在不對(duì)稱時(shí)Fryze功率理論和通用功率理論對(duì)于無功功率的計(jì)算結(jié)果不相等。

從上面的推導(dǎo)論證過程可知，2種功率理論的無功電能計(jì)量一致性條件不受電路系統(tǒng)相數(shù)影響，對(duì)于任意n相電路系統(tǒng)（有中線）都可以有類似的推導(dǎo)和得出一樣的結(jié)論。

一般地，對(duì)于n相電路系統(tǒng)（有中線），每一相都用Fryze功率理論計(jì)算有功功率、無功功率，把各相計(jì)算結(jié)果相加得n相總有功功率、總無功功率，這樣擴(kuò)展應(yīng)用Fryze功率理論于n相電路系統(tǒng)時(shí)，則與基于周期函數(shù)空間的通用功率理論應(yīng)用于n相電路系統(tǒng)相比具有如下結(jié)論。

a.在各種工況、各種波形情況下，2種功率理論的有功功率定義是一致的，有功功率的物理意義明確，這2種方法的有功計(jì)量結(jié)果都相同。

b.Fryze功率理論和通用功率理論對(duì)于無功功率的定義適用于正弦和非正弦的情況。在對(duì)稱時(shí)2種功率理論的無功功率定義是一致的，無功計(jì)量結(jié)果都相同；在不對(duì)稱時(shí)2種功率理論的無功功率定義不一致，無功計(jì)量結(jié)果不相同；即這2種功率理論的無功計(jì)量結(jié)果相同與否只與各相電路是否對(duì)稱有關(guān)，而與電壓、電流是正弦或非正弦無關(guān)。在各相電路不對(duì)稱時(shí)，若不對(duì)稱性越小，則2種功率理論的無功計(jì)量結(jié)果相差越??；若不對(duì)稱性越大，則2種功率理論的無功計(jì)量結(jié)果相差越大；即各相電路不對(duì)稱的程度決定了2種功率理論的無功計(jì)量結(jié)果相差的程度。

3 基于dSPACE平臺(tái)的無功電能計(jì)量仿真

3.1 電能計(jì)量實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)設(shè)計(jì)

由于算法復(fù)雜，且要求具有較高的計(jì)算精度和很強(qiáng)的實(shí)時(shí)性，因此基于dSPACE平臺(tái)構(gòu)建電能計(jì)量實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)仿真驗(yàn)證。電能計(jì)量實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。PC機(jī)負(fù)責(zé)和實(shí)時(shí)仿真平臺(tái)通信，完成算法和模型編輯、仿真、編譯下載、實(shí)時(shí)顯示、人機(jī)交互操作等。實(shí)時(shí)仿真平臺(tái)運(yùn)行嵌入算法和模型，控制、協(xié)調(diào)整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行，完成數(shù)據(jù)采集、處理和輸出等。輸入接口完成電參量信號(hào)變換以及產(chǎn)生同步采樣的觸發(fā)信號(hào)，以便實(shí)時(shí)仿真平臺(tái)與外部設(shè)備連接和同步采集外部輸入信號(hào)。諧波源接口和諧波源完成諧波信號(hào)產(chǎn)生、放大輸出，這部分采用現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)諧波源設(shè)備來實(shí)現(xiàn)。

圖1 電能計(jì)量仿真系統(tǒng)組成結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Structure of simulation system of electric energy measurement

一方面，實(shí)際負(fù)荷或虛擬負(fù)荷通過輸入接口變換、調(diào)理后輸入到實(shí)時(shí)仿真平臺(tái)進(jìn)行計(jì)算和處理，與電能表1比較，即可進(jìn)行算法性能分析、優(yōu)化以及電能表校驗(yàn)等。另一方面，實(shí)時(shí)仿真平臺(tái)輸出預(yù)定諧波信號(hào)，經(jīng)諧波源接口，諧波源放大輸出一定功率的、含有預(yù)定諧波的虛擬負(fù)荷，再從輸入接口采集輸入到實(shí)時(shí)仿真平臺(tái)進(jìn)行計(jì)算、分析和處理，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制處理，即可進(jìn)行諧波分析、計(jì)量，算法性能分析、優(yōu)化，與電能表2比較實(shí)現(xiàn)比對(duì)研究等。

論文選用的dSPACE平臺(tái)硬件資源及主要技術(shù)指標(biāo)為：處理器板DS1006，CPU主頻2.8 GHz，內(nèi)存1.5GB；A／D 板 DS2004，16 位分辨率，轉(zhuǎn)換時(shí)間 800 ns；D／A 板 DS2102，16 位分辨率，建立時(shí)間 1.6 μs；數(shù)字I／O 板 DS4002；串口板 DS4201-S；通信板 DS814 和DS819。

3.2 建立實(shí)時(shí)模型

根據(jù)上述2種時(shí)域功率理論，并進(jìn)行必要的離散化處理，分別進(jìn)行三相四線制電路的總有功功率、總無功功率計(jì)量算法設(shè)計(jì)和建立實(shí)時(shí)模型。建立實(shí)時(shí)模型時(shí)，積分方法統(tǒng)一采用Cotes積分法。

實(shí)驗(yàn)裝置輸出電壓、電流信號(hào)，經(jīng)過接口電路采集輸入到dSPACE平臺(tái)進(jìn)行計(jì)算處理。設(shè)置各A／D通道完成連續(xù)單周期采樣512點(diǎn)，分別用Embedded MATLAB Function模塊嵌入2種功率理論的計(jì)量算法程序，分別實(shí)現(xiàn)三相四線制電路的總有功功率、總無功功率計(jì)量，這樣即可對(duì)這2種功率理論的計(jì)量特點(diǎn)進(jìn)行分析比較研究。

3.3 三相四線制電路電能計(jì)量實(shí)驗(yàn)

把實(shí)時(shí)模型下載到dSPACE平臺(tái)運(yùn)行，并接入相關(guān)設(shè)備進(jìn)行三相四線制電路的總有功功率、總無功功率計(jì)量實(shí)驗(yàn)。用德國EMH公司的準(zhǔn)確度為0.02級(jí)的MTE F3-10.03-CI.0.01三相功率電能表標(biāo)準(zhǔn)裝置輸出電壓、電流，德國EMH公司的準(zhǔn)確度為0.01級(jí)的K2006三相高準(zhǔn)確度多功能功率電能比較儀計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)裝置輸出功率，以此比較儀與電能計(jì)量實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)的計(jì)量結(jié)果作對(duì)比分析。

實(shí)驗(yàn)分三相對(duì)稱和三相不對(duì)稱2種工況，每種工況又分正弦和非正弦（即含諧波，諧波次數(shù)為1～9次）2種情況。在各次實(shí)驗(yàn)中，各種工況下統(tǒng)一設(shè)置三相四線制電路各相的電壓、電流?；l率為f=50 Hz，功率因數(shù)為感性0.5。在三相對(duì)稱和三相不對(duì)稱以及正弦和非正弦的情況下，分別設(shè)置各次實(shí)驗(yàn)的各相相電壓、相電流有效值及各次諧波含量。在各次實(shí)驗(yàn)中，每隔10min記錄一組數(shù)據(jù)，共記錄5組。

3.3.1 三相對(duì)稱

a.正弦。

設(shè)置三相四線制電路各相相電壓為57.7 V，相電流為5 A。記錄計(jì)量結(jié)果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

從表1可見，在三相對(duì)稱正弦時(shí)，2種功率理論對(duì)于有功功率、無功功率的計(jì)量結(jié)果都是一致的，且與K2006比較儀的計(jì)量結(jié)果相比均在誤差范圍內(nèi)，也是一致的。這表明，在三相對(duì)稱正弦且功率因數(shù)為感性的情況下，這3種方法的計(jì)量一致，2種功率理論都和經(jīng)典正弦功率理論一致，這時(shí)的有功計(jì)量和無功計(jì)量都沒有爭(zhēng)議。

b.非正弦。

設(shè)置三相四線制電路各相基波相電壓為57.7 V，基波相電流為5 A，各次諧波電壓、諧波電流的含量如表2所示。記錄計(jì)量結(jié)果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3所示。

從表3可見，在三相對(duì)稱非正弦時(shí)，2種功率理論對(duì)于有功功率、無功功率的計(jì)量結(jié)果都是一致的，但與K2006比較儀的無功計(jì)量結(jié)果差別較大。這表明，在三相對(duì)稱非正弦時(shí)，有功計(jì)量是一致的；對(duì)稱時(shí)Fryze功率理論和通用功率理論對(duì)于無功功率計(jì)量是一致的，但K2006比較儀采用經(jīng)典正弦無功功率定義，不能準(zhǔn)確反映非正弦時(shí)的無功功率，因此與2種功率理論均不相同。

3.3.2 三相不對(duì)稱

a.正弦。

設(shè)置三相四線制電路：a相相電壓為60 V，相電流為6 A；b相相電壓為57.7 V，相電流為5 A；c相相電壓為55 V，相電流為4 A。記錄計(jì)量結(jié)果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4所示。從表4可見，在三相不對(duì)稱正弦時(shí)，2種功率理論對(duì)于有功功率的計(jì)量結(jié)果是一致的，而對(duì)于無功功率的計(jì)量結(jié)果不相同。K2006比較儀的無功功率計(jì)量與Fryze功率理論是一致的，但與通用功率理論不相同。這表明，在三相不對(duì)稱正弦的情況下，有功計(jì)量也是一致的；K2006比較儀是計(jì)量各相的功率后求代數(shù)和得總功率，因此與Fryze功率理論的擴(kuò)展一致，而由于不對(duì)稱，故通用功率理論與此兩者均不一致。

b.非正弦。

設(shè)置三相四線制電路：a相基波相電壓為60 V，基波相電流為6 A，各次諧波含量如表5所示；b相基波相電壓為57.7 V，基波相電流為5 A，各次諧波含量如表2所示；c相基波相電壓為55 V，基波相電流為4 A，各次諧波含量如表6所示。記錄計(jì)量結(jié)果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表7所示。從表7可見，在三相不對(duì)稱非正弦時(shí)，2種功率理論對(duì)于有功功率的計(jì)量結(jié)果是一致的，且與K2006比較儀的計(jì)量結(jié)果相比在誤差范圍內(nèi)，因此是一致的，但對(duì)于無功功率的計(jì)量結(jié)果不一致。2種功率理論與K2006比較儀三者的無功功率計(jì)量結(jié)果差別較大。這表明，在三相不對(duì)稱非正弦的情況下，有功計(jì)量仍是一致的，而無功計(jì)量結(jié)果差異較大，非正弦無功功率計(jì)量不一致。

表1 三相四線制電能計(jì)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（對(duì)稱正弦）Tab.1 Experimental data of three-phase four-wire electrical energy measurement for symmetric and sinusoidal wave

表2 三相對(duì)稱電壓、電流諧波含量Tab.2 Percentage of harmonics in three-phase symmetric voltage and current

表3 三相四線制電能計(jì)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（對(duì)稱非正弦）Tab.3 Experimental data of three-phase four-wire electrical energy measurement for symmetric and nonsinusoidal wave

表4 三相四線制電能計(jì)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（不對(duì)稱正弦）Tab.4 Experimental data of three-phase four-wire electrical energy measurement for asymmetric and sinusoidal wave

表5 a相電壓、電流諧波含量Tab.5 Percentage of harmonics in voltage and current wave of phase a

表6 c相電壓、電流諧波含量Tab.6 Percentage of harmonics in voltageand current of phase c

表7 三相四線制電能計(jì)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（不對(duì)稱非正弦）Tab.7 Experimental data of three-phase four-wire electrical energy measurement for asymmetric and nonsinusoidal wave

K2006比較儀是采用經(jīng)典正弦無功功率定義來計(jì)量每相的無功功率，然后求代數(shù)和得總無功功率，故K2006比較儀不能準(zhǔn)確反映非正弦時(shí)的無功功率。而在正弦且負(fù)載為感性時(shí)，F(xiàn)ryze功率理論的無功功率定義與經(jīng)典正弦無功功率理論定義一致，并且擴(kuò)展應(yīng)用Fryze功率理論時(shí)，也是對(duì)各相結(jié)果求代數(shù)和而得。所以K2006比較儀與Fryze功率理論對(duì)于無功功率計(jì)量在正弦時(shí)相同而在非正弦時(shí)不相同，與各相電路是否對(duì)稱無關(guān)。

3.4 2種功率理論的對(duì)比分析

單相電路中Fryze功率理論的有功、無功和視在功率滿足功率三角形關(guān)系，但在多相電路中若簡(jiǎn)單地采用各相的有功、無功和視在功率相加獲得總的有功、無功和視在功率，則總的有功、無功和視在功率不再始終滿足功率三角形關(guān)系（各相對(duì)稱時(shí)仍滿足），同時(shí)功率因數(shù)在這一概念體系下也很難定義。

基于周期函數(shù)空間的通用功率定義應(yīng)用于單相電路時(shí)可以得到與Fryze功率理論完全一致的結(jié)論。該通用功率定義中有功、無功和視在功率始終滿足功率三角形關(guān)系，同時(shí)功率因數(shù)定義為cos θ，見式（13），物理意義明確。有功電流的波形與相電壓在波形上完全一致，僅相差一個(gè)比例系數(shù)，該性質(zhì)具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。該通用功率定義的無功可以較全面地反映同頻率電壓、電流之間產(chǎn)生的無功功率以及不同頻率電壓、電流之間產(chǎn)生的無功功率，可以較全面地反映多相電路中功率交換情況。因此，基于周期函數(shù)空間的通用功率定義具有更大的優(yōu)越性，適用于更普遍的情況。

4 結(jié)論

論文從理論定義的角度分析論證了Fryze時(shí)域無功與基于周期函數(shù)空間的通用無功定義對(duì)于無功計(jì)量相同和差異的原因，分析其無功電能計(jì)量統(tǒng)一性條件和非一致性情況。由于算法復(fù)雜，計(jì)算量較大，而又要求較強(qiáng)的計(jì)算實(shí)時(shí)性以滿足實(shí)際需要，因此基于dSPACE平臺(tái)構(gòu)建電能計(jì)量實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)，開展無功計(jì)量建模和實(shí)驗(yàn)研究，從實(shí)驗(yàn)的角度驗(yàn)證無功電能計(jì)量一致性理論分析。理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，此2種功率理論的有功功率定義統(tǒng)一，物理意義明確；Fryze無功理論和通用無功理論對(duì)于無功功率的定義適用于正弦和非正弦的情況，在對(duì)稱時(shí)2種功率理論的無功功率定義一致，此時(shí)無功計(jì)量結(jié)果相同，而在不對(duì)稱時(shí)2種無功功率定義不一致，此時(shí)無功計(jì)量結(jié)果不相同。經(jīng)對(duì)比分析，認(rèn)為基于周期函數(shù)空間的通用無功定義具有更大的優(yōu)越性，適用于更普遍的情況。

國際電工界對(duì)非正弦無功功率理論的研究給予了極大的關(guān)注，但非正弦無功功率尚無統(tǒng)一的理論定義，還沒有滿意的物理解釋。因此，發(fā)展更合理的非正弦無功功率理論以及更先進(jìn)的無功電能計(jì)量技術(shù)尤為必要和迫切，也是今后電能計(jì)量領(lǐng)域需要密切關(guān)注的課題。