姜順忠

（江蘇省揚(yáng)州中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225009）

高中物理要求學(xué)生能夠根據(jù)物理問題的實(shí)際情況和所給的條件，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像等形式和方法進(jìn)行分析、表達(dá).另一方面，抽象思維與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，也是物理科學(xué)探究的基本方法.基于此，無論在高考還是物理競(jìng)賽或自主招生考試中，對(duì)學(xué)生利用數(shù)學(xué)的特點(diǎn)、規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)、求解和合理外推的能力都提出了更高的要求.

有一道自主招生的試題：正N邊形的頂點(diǎn)依次分布著電荷量為q，2q，4q…2N-1q的電荷，多邊形中心到各頂點(diǎn)距離為R，求中心O處的合場(chǎng)強(qiáng).

解法1：如圖1，以多邊形的中心O為原點(diǎn)，q與O的連線為x軸建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系.現(xiàn)用復(fù)數(shù)來表示各個(gè)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量.

電荷量為q的第1個(gè)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量用復(fù)數(shù)的形式可表示為

圖1

電荷量為4q的第3個(gè)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

電荷量為2N-1q的第N個(gè)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度表示為

以上運(yùn)算應(yīng)用了公式（cosθ＋isinθ）n＝cosnθ＋isinnθ，中心O處的合場(chǎng)強(qiáng)就可以用上述N 個(gè)復(fù)數(shù)的和表示.注意到E1、E2、E3、…、En是一個(gè)首項(xiàng)為1＝，公比為的等比數(shù)列，應(yīng)用求和公式可得取復(fù)數(shù)的模即得電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E＝｜Z｜＝

圖2

圖3

圖4

圖5

以上第1種解法應(yīng)用復(fù)數(shù)表示矢量，思路清晰，容易理解，但要求學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算比較熟練.第2種解法巧妙的應(yīng)用了矢量的旋轉(zhuǎn)，方法獨(dú)特，但避開了復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，可謂小技巧解決了大問題.另外，第1種解法中可以用復(fù)數(shù)Z的幅角表示中心處場(chǎng)強(qiáng)的方向，第2種解法中可用E和E0之間的夾角表示場(chǎng)強(qiáng)的方向，這里就不再贅述了.