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        基于APOS模型的中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)實(shí)踐性探究

        2013-10-18 01:10:36江蘇陸憲毅
        職業(yè)技術(shù) 2013年3期
        關(guān)鍵詞:二次曲線概型定點(diǎn)

        江蘇 陸憲毅

        1 問(wèn)題背景

        2009年教育部頒布了《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》(下稱《新大綱》),大綱指出,數(shù)學(xué)課程的任務(wù)是:使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),具備必需的相關(guān)技能與能力,為學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)、掌握職業(yè)技能、繼續(xù)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。新大綱的主要特點(diǎn)是:精選內(nèi)容,降低難度,強(qiáng)化技能,突出應(yīng)用;根據(jù)職業(yè)教育的特點(diǎn),構(gòu)建彈性教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu);實(shí)施多元化評(píng)價(jià),突出評(píng)價(jià)的激勵(lì)作用。

        二次曲線屬于《新大綱》拓展模塊第二單元的內(nèi)容,大綱指出:本單元教學(xué),要結(jié)合科技、生活中的實(shí)例來(lái)引入概念,培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能和數(shù)學(xué)思維能力。二次曲線作為拓展模塊的內(nèi)容,從歷年來(lái)的教學(xué)情況看,學(xué)習(xí)難度大,學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的理解容易浮游在表象,難以把握其本質(zhì)。因此,研究如何讓中職學(xué)生順利掌握二次曲線的內(nèi)容,便顯得尤為迫切和重要。

        2 問(wèn)題分析

        二次曲線,也稱之為圓錐曲線,主要包括橢圓,雙曲線,拋物線,其是解析幾何的核心內(nèi)容,也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)解析幾何所必備的基礎(chǔ)知識(shí)。二次曲線的學(xué)習(xí),首先要碰到的是對(duì)其概念的學(xué)習(xí)。

        目前,大多數(shù)教師在二次曲線的引入方式上,一般依照教材給出的方法進(jìn)行演示或直接給出概念的定義,教師多為課堂教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程的絕對(duì)掌控者,學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的較多,在概念的理解上較為困難,達(dá)不到預(yù)期的效果,給后續(xù)的教學(xué)帶來(lái)了障礙和隱患。

        目前,數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有可操作性的研究成果主要有以下幾種:概念同化教學(xué)模式、APOS概念教學(xué)理論模型、概念教學(xué)七階段模式、概念圖模式等。經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析和比較,筆者基于APOS概念教學(xué)理論模型對(duì)中職數(shù)學(xué)二次曲線的概念教學(xué)做了實(shí)踐性的探究,并著力解決下面3個(gè)問(wèn)題。

        問(wèn)題一:什么是APOS概念教學(xué)理論模型?

        問(wèn)題二:APOS概念教學(xué)理論對(duì)中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)有何啟示?

        問(wèn)題三:如何設(shè)計(jì)基于APOS模型的中職數(shù)學(xué)二次曲線的概念教學(xué)。

        3 APOS概念教學(xué)理論模型

        建構(gòu)主義認(rèn)為:學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)部心理表征的過(guò)程,學(xué)習(xí)是一個(gè)雙向建構(gòu)的活動(dòng)過(guò)程,即一方面學(xué)習(xí)者對(duì)新信息的理解是借助已有經(jīng)驗(yàn),超越所提供的新信息而建構(gòu)的,另一方面當(dāng)新信息進(jìn)入已有經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)后,對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)也要產(chǎn)生影響,導(dǎo)致經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的重組和改造。

        APOS理論是20世紀(jì)80年代美國(guó)的杜賓斯等人在建構(gòu)主義背景下提出的關(guān)于概念教學(xué)的一種理論模型。杜賓斯認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程其實(shí)是一種自我心理建構(gòu)的過(guò)程,在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生只有調(diào)整自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或改造外部的認(rèn)知結(jié)構(gòu),使得主客觀彼此一致,才能建構(gòu)起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

        此建構(gòu)過(guò)程要經(jīng)歷以下四個(gè)階段:操作(Action)階段、過(guò)程(Process)階段、對(duì)象(Object)階段、概型(Scheme)階段。為了便于描述,將這4個(gè)階段英文單詞的首字母組合在一起,簡(jiǎn)稱APOS理論。

        A階段(操作階段):直觀體驗(yàn)、觀察比較階段。一般以直觀的圖像、表格或具體事件作為概念切入點(diǎn),并引導(dǎo)學(xué)生觀察并枚舉出類似事件,即通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)個(gè)體的一步一步的顯性變換來(lái)增強(qiáng)其對(duì)概念的直觀感受(如數(shù)平方變換等)。

        P階段(過(guò)程階段):思考內(nèi)化、梳理規(guī)律階段。學(xué)生對(duì)A階段的事例進(jìn)行進(jìn)一步的觀察、思考,梳理和歸納出事物間的一般聯(lián)系和規(guī)律,并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以描述。

        O階段(對(duì)象階段):形成對(duì)象、概念初成階段。學(xué)生經(jīng)歷多次A階段和P階段后,通過(guò)不斷的抽象和概括,得到形式化的定義和符號(hào)即對(duì)象(Object),說(shuō)明概念已初成型。

        S階段(概型階段):抽象升華、圖式形成階段。包括形成反映概念的特例抽象、過(guò)程定義和符號(hào)。這需要通過(guò)反復(fù)的APOS,通過(guò)對(duì)概念的內(nèi)涵和外延的不斷深化和理解,才能進(jìn)入更高層次的概型S,最終形成更成熟的、綜合的心理圖式。

        APOS理論的優(yōu)點(diǎn)在于清晰的層次性和可操作性。四個(gè)階段中,AP兩個(gè)階段是概念學(xué)習(xí)的第一個(gè)層次,體現(xiàn)了事物的“量”的特性,要求學(xué)生在具體事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并且可以多次AP,為下一層次的到來(lái)做好充分準(zhǔn)備。OS兩個(gè)階段是概念學(xué)習(xí)的第二個(gè)層次,體現(xiàn)了事物“質(zhì)”的飛躍,學(xué)生對(duì)概念的理解已經(jīng)脫離了具體的內(nèi)容,形成符號(hào)化印跡和心理圖式,既是本次APOS的成果,也是下一次APOS的新起點(diǎn),體現(xiàn)了APOS的良性可循環(huán)性。由于APOS理論的清晰的層次性,使得概念教學(xué)的前期準(zhǔn)備和實(shí)施過(guò)程也能有條不紊,有的放矢。APOS理論的層次性和可操作性為概念教學(xué)的提供了寶貴的理論和工具支撐。

        4 APOS概念教學(xué)理論模型對(duì)中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)的啟示

        根據(jù)APOS理論的特點(diǎn),中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)也應(yīng)采取逐層漸進(jìn)的方式,并以此為基礎(chǔ),有效提升二次曲線教學(xué)效果,操作要點(diǎn)和教學(xué)策略如下表:

        表1 基于APOS理論的中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)操作要點(diǎn)和教學(xué)策略

        5 基于APOS模型的“橢圓的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

        橢圓屬于《新大綱》拓展模塊第2單元橢圓、雙曲線、拋物線的內(nèi)容?!缎麓缶V》指出“第2單元橢圓、雙曲線、拋物線”重點(diǎn)是要結(jié)合科技、生活中的實(shí)例來(lái)引入概念;培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能和數(shù)學(xué)思維能力;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)。結(jié)合大綱要求和學(xué)生觀實(shí)際情況,將本節(jié)內(nèi)容設(shè)計(jì)如下:

        A階段(操作階段):

        A1(操作1)用多媒體重復(fù)演示橢圓的實(shí)例圖片(汽車油罐橫截面輪廓、行星和衛(wèi)星運(yùn)行的軌道、傾斜水杯中水面的邊界、圓形物體的斜投影等),引導(dǎo)學(xué)生觀察圖片,積極思考,尋找特點(diǎn),找出其中都包含的典型圖形(橢圓),并鼓勵(lì)學(xué)生自己組織語(yǔ)言進(jìn)行大概的描述。

        A2(操作2)鼓勵(lì)學(xué)生列舉生活中包含橢圓的具體事例,加深其對(duì)橢圓的直觀感受。

        A3(操作3)教師演示圖釘法作橢圓。即取兩只圖釘把它釘在黑板上,取一條定長(zhǎng)的繩子并把它的兩端固定在這兩個(gè)釘子上(繩長(zhǎng)的長(zhǎng)度要大于兩釘子間的距離),然后用一只粉筆把繩子繃緊,在黑板上移動(dòng)一周畫出來(lái)的圖形,就是橢圓。引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察橢圓生成過(guò)程。

        A4(操作4)將班級(jí)學(xué)生每三人分成一組,并用事先準(zhǔn)備好的三只鉛筆、白紙、繩子,要求模仿老師的做法,完成橢圓的制作。個(gè)別小組如果無(wú)法掌握訣竅,教師可作友情提醒:兩個(gè)學(xué)生用兩只鉛筆的筆尖固定住繩子的兩端,起到圖釘?shù)男Ч谌齻€(gè)學(xué)生模仿老師的做法作橢圓。

        設(shè)計(jì)意圖:由學(xué)生熟悉的生活情境入手,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,為下一步把握橢圓的圖形特點(diǎn),做好心理上的準(zhǔn)備;并通過(guò)力所能及的學(xué)畫橢圓的過(guò)程,直觀體會(huì)橢圓的特性。

        P階段(過(guò)程階段):

        P1(過(guò)程1)若改變兩個(gè)“圖釘”的相對(duì)位置,重新生成的橢圓的形狀與原來(lái)相比是否有變化?

        P2(過(guò)程2)若改變繩長(zhǎng),重新生成的橢圓的形狀與原來(lái)相比是否有變化?

        P3(過(guò)程3)若對(duì)兩個(gè)“圖釘”的相對(duì)位置和繩長(zhǎng)不加限制,肯定可以畫出橢圓嗎?

        設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生在不斷的實(shí)踐中,定性的認(rèn)識(shí)影響橢圓形狀的兩個(gè)重要的原始參數(shù):定長(zhǎng)(繩長(zhǎng))和焦距(圖釘距離),并指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表述為:定長(zhǎng)為2a,焦距為2c,且2a必須大于2c。

        P4(過(guò)程4)在綜合以上3個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上,組織學(xué)生就“如何畫好橢圓”這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分組討論,幫助學(xué)生梳理和總結(jié)作橢圓的訣竅:

        (1)在作圖過(guò)程中,“圖釘”相對(duì)位置不能動(dòng)。(定點(diǎn))

        (2)繩子的長(zhǎng)度必須比兩個(gè)“釘子”的距離長(zhǎng)。(2a>2c)

        (3)在作圖過(guò)程中,繩長(zhǎng)不能變。(定長(zhǎng))

        設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生把握橢圓上各點(diǎn)的共性:平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)(定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離),為下一階段推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程作好準(zhǔn)備。

        O階段(對(duì)象階段):

        O1(對(duì)象1)以前我們學(xué)過(guò)的圓方程是怎樣得到的?圓方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式是怎樣的?

        O2(對(duì)象2)可否參照?qǐng)A方程的建立過(guò)程,推導(dǎo)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程?

        設(shè)計(jì)意圖:幫助學(xué)生從已有的知識(shí)入手,在類比中模仿圓方程的推導(dǎo),建立合適的直角坐標(biāo)系,并利用距離公式得到關(guān)鍵推導(dǎo)等式[(x+c)2+y2]1/2+[(x-c)2+y2]1/2=2a,化簡(jiǎn)得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:x2/a2+y2/b2=1(其中b2=a2-c2)。此處推導(dǎo)以學(xué)生為主,教師起點(diǎn)撥和提醒作用,使得學(xué)生對(duì)橢圓的概念由于橢圓方程的建立而趨于完整,為今后橢圓與直線的位置關(guān)系的分析打下良性鋪墊和必備伏筆。

        O3(對(duì)象3)橢圓方程中參數(shù)a和參數(shù)b在橢圓圖形中各有何意義?

        設(shè)計(jì)意圖:幫助學(xué)生理解參數(shù)a的重要意義(橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng))和參數(shù)b的重要意義(橢圓短半軸長(zhǎng)),從另外一個(gè)角度說(shuō)明橢圓的形狀的確定規(guī)則,使學(xué)生對(duì)橢圓概念的理解更深入和完善。

        S階段(概型階段):

        S1(概型1)指導(dǎo)學(xué)生用幾何畫板完成“兩圓交軌法”、“同心圓法”作橢圓。

        設(shè)計(jì)意圖:充分運(yùn)用多媒體,讓學(xué)生在不斷操作中,提高觀察,概括、歸納能力。再次固化“平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)(定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離)”這個(gè)橢圓的重要概念,繼續(xù)深化對(duì)橢圓第一定義的認(rèn)識(shí)。

        S2(概型2)介紹折紙法、矩形等畫法、吉米拉·丹迪林雙球法作橢圓。

        設(shè)計(jì)意圖:幫助學(xué)生探究橢圓第二定義,使學(xué)生進(jìn)一步在更完整體系中掌握橢圓的概念。

        S3(概型3)2000多年前,古希臘偉大的古希臘數(shù)學(xué)家Apollonius用斜截圓柱法得到了橢圓,我們也來(lái)嘗試一下!

        S4(概型4)斜截圓柱法是否僅僅能得到橢圓?

        S5(概型5)我們已經(jīng)知道,平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)(定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。請(qǐng)課后查閱資料,回答下列問(wèn)題。

        (1)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)(定長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)間距離)的軌跡是什么?

        (2)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之積等于常數(shù)的軌跡是什么?

        (3)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之商等于常數(shù)的軌跡是什么?

        設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)介紹橢圓的發(fā)現(xiàn)史來(lái)拓展學(xué)生的知識(shí)面,更以橢圓為基礎(chǔ),激發(fā)興趣,發(fā)散思維,為雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)打下巧妙鋪墊。

        基于APOS模型的概念教學(xué),將學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解有效分解到操作(Action)、過(guò)程(Process)、對(duì)象(Object)、概型(Scheme)四個(gè)不同的階段,并設(shè)計(jì)為一個(gè)可不斷循環(huán)、螺旋式上升的邏輯整體,有效達(dá)成了學(xué)習(xí)的雙向建構(gòu)。基于APOS模型的二次曲線的概念教學(xué),以生活中的實(shí)際情景和實(shí)際問(wèn)題為引,將概念的形成過(guò)程主動(dòng)“暴露”給學(xué)生,讓學(xué)生層進(jìn)式的建構(gòu)自己的“二次曲線”,在很大程度上加深了學(xué)生對(duì)概念理解的深度和廣度,授人以魚(yú),不如授人以漁,自建概念的過(guò)程是“痛并快樂(lè)著”的過(guò)程,必將讓學(xué)生一生受益。

        [1]中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱.教育部.2009;1-8.

        [2]程華.APOS理論的內(nèi)涵及其對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示[J].教學(xué)與管理.2010(8):66.

        [3]唐艷.基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué).2005(12):22.

        [4]徐玉蓉,張維忠.基于APOS理論的“函數(shù)單調(diào)性概念”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)教研 (數(shù)學(xué)).2008(11):17.

        [5]楊麗婷.高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的三個(gè)什么[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2011(3):46.

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