江蘇 陸憲毅
2009年教育部頒布了《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》(下稱《新大綱》),大綱指出,數(shù)學(xué)課程的任務(wù)是:使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,具備必需的相關(guān)技能與能力,為學(xué)習(xí)專業(yè)知識、掌握職業(yè)技能、繼續(xù)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。新大綱的主要特點是:精選內(nèi)容,降低難度,強(qiáng)化技能,突出應(yīng)用;根據(jù)職業(yè)教育的特點,構(gòu)建彈性教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu);實施多元化評價,突出評價的激勵作用。
二次曲線屬于《新大綱》拓展模塊第二單元的內(nèi)容,大綱指出:本單元教學(xué),要結(jié)合科技、生活中的實例來引入概念,培養(yǎng)學(xué)生的計算技能和數(shù)學(xué)思維能力。二次曲線作為拓展模塊的內(nèi)容,從歷年來的教學(xué)情況看,學(xué)習(xí)難度大,學(xué)生對這部分內(nèi)容的理解容易浮游在表象,難以把握其本質(zhì)。因此,研究如何讓中職學(xué)生順利掌握二次曲線的內(nèi)容,便顯得尤為迫切和重要。
二次曲線,也稱之為圓錐曲線,主要包括橢圓,雙曲線,拋物線,其是解析幾何的核心內(nèi)容,也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)解析幾何所必備的基礎(chǔ)知識。二次曲線的學(xué)習(xí),首先要碰到的是對其概念的學(xué)習(xí)。
目前,大多數(shù)教師在二次曲線的引入方式上,一般依照教材給出的方法進(jìn)行演示或直接給出概念的定義,教師多為課堂教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程的絕對掌控者,學(xué)生被動學(xué)習(xí)的較多,在概念的理解上較為困難,達(dá)不到預(yù)期的效果,給后續(xù)的教學(xué)帶來了障礙和隱患。
目前,數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有可操作性的研究成果主要有以下幾種:概念同化教學(xué)模式、APOS概念教學(xué)理論模型、概念教學(xué)七階段模式、概念圖模式等。經(jīng)過認(rèn)真分析和比較,筆者基于APOS概念教學(xué)理論模型對中職數(shù)學(xué)二次曲線的概念教學(xué)做了實踐性的探究,并著力解決下面3個問題。
問題一:什么是APOS概念教學(xué)理論模型?
問題二:APOS概念教學(xué)理論對中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)有何啟示?
問題三:如何設(shè)計基于APOS模型的中職數(shù)學(xué)二次曲線的概念教學(xué)。
建構(gòu)主義認(rèn)為:學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動建構(gòu)內(nèi)部心理表征的過程,學(xué)習(xí)是一個雙向建構(gòu)的活動過程,即一方面學(xué)習(xí)者對新信息的理解是借助已有經(jīng)驗,超越所提供的新信息而建構(gòu)的,另一方面當(dāng)新信息進(jìn)入已有經(jīng)驗系統(tǒng)后,對已有經(jīng)驗系統(tǒng)也要產(chǎn)生影響,導(dǎo)致經(jīng)驗系統(tǒng)的重組和改造。
APOS理論是20世紀(jì)80年代美國的杜賓斯等人在建構(gòu)主義背景下提出的關(guān)于概念教學(xué)的一種理論模型。杜賓斯認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程其實是一種自我心理建構(gòu)的過程,在這個過程中學(xué)生只有調(diào)整自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或改造外部的認(rèn)知結(jié)構(gòu),使得主客觀彼此一致,才能建構(gòu)起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
此建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下四個階段:操作(Action)階段、過程(Process)階段、對象(Object)階段、概型(Scheme)階段。為了便于描述,將這4個階段英文單詞的首字母組合在一起,簡稱APOS理論。
A階段(操作階段):直觀體驗、觀察比較階段。一般以直觀的圖像、表格或具體事件作為概念切入點,并引導(dǎo)學(xué)生觀察并枚舉出類似事件,即通過對數(shù)學(xué)個體的一步一步的顯性變換來增強(qiáng)其對概念的直觀感受(如數(shù)平方變換等)。
P階段(過程階段):思考內(nèi)化、梳理規(guī)律階段。學(xué)生對A階段的事例進(jìn)行進(jìn)一步的觀察、思考,梳理和歸納出事物間的一般聯(lián)系和規(guī)律,并用數(shù)學(xué)語言加以描述。
O階段(對象階段):形成對象、概念初成階段。學(xué)生經(jīng)歷多次A階段和P階段后,通過不斷的抽象和概括,得到形式化的定義和符號即對象(Object),說明概念已初成型。
S階段(概型階段):抽象升華、圖式形成階段。包括形成反映概念的特例抽象、過程定義和符號。這需要通過反復(fù)的APOS,通過對概念的內(nèi)涵和外延的不斷深化和理解,才能進(jìn)入更高層次的概型S,最終形成更成熟的、綜合的心理圖式。
APOS理論的優(yōu)點在于清晰的層次性和可操作性。四個階段中,AP兩個階段是概念學(xué)習(xí)的第一個層次,體現(xiàn)了事物的“量”的特性,要求學(xué)生在具體事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并且可以多次AP,為下一層次的到來做好充分準(zhǔn)備。OS兩個階段是概念學(xué)習(xí)的第二個層次,體現(xiàn)了事物“質(zhì)”的飛躍,學(xué)生對概念的理解已經(jīng)脫離了具體的內(nèi)容,形成符號化印跡和心理圖式,既是本次APOS的成果,也是下一次APOS的新起點,體現(xiàn)了APOS的良性可循環(huán)性。由于APOS理論的清晰的層次性,使得概念教學(xué)的前期準(zhǔn)備和實施過程也能有條不紊,有的放矢。APOS理論的層次性和可操作性為概念教學(xué)的提供了寶貴的理論和工具支撐。
根據(jù)APOS理論的特點,中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)也應(yīng)采取逐層漸進(jìn)的方式,并以此為基礎(chǔ),有效提升二次曲線教學(xué)效果,操作要點和教學(xué)策略如下表:
表1 基于APOS理論的中職數(shù)學(xué)二次曲線概念教學(xué)操作要點和教學(xué)策略
橢圓屬于《新大綱》拓展模塊第2單元橢圓、雙曲線、拋物線的內(nèi)容。《新大綱》指出“第2單元橢圓、雙曲線、拋物線”重點是要結(jié)合科技、生活中的實例來引入概念;培養(yǎng)學(xué)生的計算技能和數(shù)學(xué)思維能力;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)。結(jié)合大綱要求和學(xué)生觀實際情況,將本節(jié)內(nèi)容設(shè)計如下:
A階段(操作階段):
A1(操作1)用多媒體重復(fù)演示橢圓的實例圖片(汽車油罐橫截面輪廓、行星和衛(wèi)星運行的軌道、傾斜水杯中水面的邊界、圓形物體的斜投影等),引導(dǎo)學(xué)生觀察圖片,積極思考,尋找特點,找出其中都包含的典型圖形(橢圓),并鼓勵學(xué)生自己組織語言進(jìn)行大概的描述。
A2(操作2)鼓勵學(xué)生列舉生活中包含橢圓的具體事例,加深其對橢圓的直觀感受。
A3(操作3)教師演示圖釘法作橢圓。即取兩只圖釘把它釘在黑板上,取一條定長的繩子并把它的兩端固定在這兩個釘子上(繩長的長度要大于兩釘子間的距離),然后用一只粉筆把繩子繃緊,在黑板上移動一周畫出來的圖形,就是橢圓。引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察橢圓生成過程。
A4(操作4)將班級學(xué)生每三人分成一組,并用事先準(zhǔn)備好的三只鉛筆、白紙、繩子,要求模仿老師的做法,完成橢圓的制作。個別小組如果無法掌握訣竅,教師可作友情提醒:兩個學(xué)生用兩只鉛筆的筆尖固定住繩子的兩端,起到圖釘?shù)男Ч?,第三個學(xué)生模仿老師的做法作橢圓。
設(shè)計意圖:由學(xué)生熟悉的生活情境入手,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,為下一步把握橢圓的圖形特點,做好心理上的準(zhǔn)備;并通過力所能及的學(xué)畫橢圓的過程,直觀體會橢圓的特性。
P階段(過程階段):
P1(過程1)若改變兩個“圖釘”的相對位置,重新生成的橢圓的形狀與原來相比是否有變化?
P2(過程2)若改變繩長,重新生成的橢圓的形狀與原來相比是否有變化?
P3(過程3)若對兩個“圖釘”的相對位置和繩長不加限制,肯定可以畫出橢圓嗎?
設(shè)計意圖:讓學(xué)生在不斷的實踐中,定性的認(rèn)識影響橢圓形狀的兩個重要的原始參數(shù):定長(繩長)和焦距(圖釘距離),并指導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言和符號表述為:定長為2a,焦距為2c,且2a必須大于2c。
P4(過程4)在綜合以上3個問題的基礎(chǔ)上,組織學(xué)生就“如何畫好橢圓”這個問題進(jìn)行分組討論,幫助學(xué)生梳理和總結(jié)作橢圓的訣竅:
(1)在作圖過程中,“圖釘”相對位置不能動。(定點)
(2)繩子的長度必須比兩個“釘子”的距離長。(2a>2c)
(3)在作圖過程中,繩長不能變。(定長)
設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生把握橢圓上各點的共性:平面內(nèi)動點到兩定點距離之和等于定長(定長大于兩定點間距離),為下一階段推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程作好準(zhǔn)備。
O階段(對象階段):
O1(對象1)以前我們學(xué)過的圓方程是怎樣得到的?圓方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式是怎樣的?
O2(對象2)可否參照圓方程的建立過程,推導(dǎo)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程?
設(shè)計意圖:幫助學(xué)生從已有的知識入手,在類比中模仿圓方程的推導(dǎo),建立合適的直角坐標(biāo)系,并利用距離公式得到關(guān)鍵推導(dǎo)等式[(x+c)2+y2]1/2+[(x-c)2+y2]1/2=2a,化簡得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:x2/a2+y2/b2=1(其中b2=a2-c2)。此處推導(dǎo)以學(xué)生為主,教師起點撥和提醒作用,使得學(xué)生對橢圓的概念由于橢圓方程的建立而趨于完整,為今后橢圓與直線的位置關(guān)系的分析打下良性鋪墊和必備伏筆。
O3(對象3)橢圓方程中參數(shù)a和參數(shù)b在橢圓圖形中各有何意義?
設(shè)計意圖:幫助學(xué)生理解參數(shù)a的重要意義(橢圓長半軸長)和參數(shù)b的重要意義(橢圓短半軸長),從另外一個角度說明橢圓的形狀的確定規(guī)則,使學(xué)生對橢圓概念的理解更深入和完善。
S階段(概型階段):
S1(概型1)指導(dǎo)學(xué)生用幾何畫板完成“兩圓交軌法”、“同心圓法”作橢圓。
設(shè)計意圖:充分運用多媒體,讓學(xué)生在不斷操作中,提高觀察,概括、歸納能力。再次固化“平面內(nèi)動點到兩定點距離之和等于定長(定長大于兩定點間距離)”這個橢圓的重要概念,繼續(xù)深化對橢圓第一定義的認(rèn)識。
S2(概型2)介紹折紙法、矩形等畫法、吉米拉·丹迪林雙球法作橢圓。
設(shè)計意圖:幫助學(xué)生探究橢圓第二定義,使學(xué)生進(jìn)一步在更完整體系中掌握橢圓的概念。
S3(概型3)2000多年前,古希臘偉大的古希臘數(shù)學(xué)家Apollonius用斜截圓柱法得到了橢圓,我們也來嘗試一下!
S4(概型4)斜截圓柱法是否僅僅能得到橢圓?
S5(概型5)我們已經(jīng)知道,平面內(nèi)動點到兩定點距離之和等于定長(定長大于兩定點間距離)點的軌跡叫做橢圓。請課后查閱資料,回答下列問題。
(1)平面內(nèi)動點到兩定點距離之差的絕對值等于定長(定長小于兩定點間距離)的軌跡是什么?
(2)平面內(nèi)動點到兩定點距離之積等于常數(shù)的軌跡是什么?
(3)平面內(nèi)動點到兩定點距離之商等于常數(shù)的軌跡是什么?
設(shè)計意圖:通過介紹橢圓的發(fā)現(xiàn)史來拓展學(xué)生的知識面,更以橢圓為基礎(chǔ),激發(fā)興趣,發(fā)散思維,為雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)打下巧妙鋪墊。
基于APOS模型的概念教學(xué),將學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解有效分解到操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、概型(Scheme)四個不同的階段,并設(shè)計為一個可不斷循環(huán)、螺旋式上升的邏輯整體,有效達(dá)成了學(xué)習(xí)的雙向建構(gòu)。基于APOS模型的二次曲線的概念教學(xué),以生活中的實際情景和實際問題為引,將概念的形成過程主動“暴露”給學(xué)生,讓學(xué)生層進(jìn)式的建構(gòu)自己的“二次曲線”,在很大程度上加深了學(xué)生對概念理解的深度和廣度,授人以魚,不如授人以漁,自建概念的過程是“痛并快樂著”的過程,必將讓學(xué)生一生受益。
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