南景富， 趙春香， 齊 輝， 楊在林， 孫 鵬

(1.黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150022;2.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001;3.黑龍江省農(nóng)副產(chǎn)品加工機(jī)械化研究所，黑龍江 佳木斯 154004)

0 引言

在工程實(shí)際應(yīng)用的天然材料或人工合成的材料中，會(huì)遇到含有界面、襯砌、脫膠和裂紋等結(jié)構(gòu)。如全面開(kāi)挖的隧道在回填時(shí)會(huì)形成界面，為加固巷道而建造的襯砌結(jié)構(gòu)，襯砌結(jié)構(gòu)在溫度變化與受沖擊載荷等復(fù)雜因素作用下，會(huì)產(chǎn)生與鄰接的介質(zhì)間脫膠等現(xiàn)象。這些材料在受到動(dòng)態(tài)的外力作用時(shí)，會(huì)在介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生擾動(dòng)，且擾動(dòng)會(huì)在材料內(nèi)有規(guī)律的傳播。當(dāng)這種波動(dòng)遇到界面、襯砌、脫膠和裂紋等結(jié)構(gòu)時(shí)，波動(dòng)規(guī)律會(huì)發(fā)生變化。研究波動(dòng)規(guī)律與材料中這些結(jié)構(gòu)的形狀、幾何尺寸和空間位置等特性間的相互關(guān)系或者在已經(jīng)檢測(cè)到波動(dòng)信息的前提下，反過(guò)來(lái)判斷材料中含有的結(jié)構(gòu)類型、幾何形狀、空間位置或者結(jié)構(gòu)物周圍介質(zhì)的物理信息等。對(duì)工程實(shí)際中水下聲納、無(wú)損檢測(cè)、雷達(dá)、探礦、抗震與爆破等許多領(lǐng)域都具有理論和實(shí)際意義。筆者通過(guò)數(shù)學(xué)物理方法中Green函數(shù)以及復(fù)變函數(shù)的方法[1－4]，推導(dǎo)界面附近含有半圓形脫膠的圓柱形彈性襯砌的全空間，在受到任意角度入射的出平面波動(dòng)作用時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)的位移模式和散射截面函數(shù)方程，并對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析討論。

1 力學(xué)模型

圖1a表示的是該問(wèn)題的力學(xué)模型。將模型沿著界面s分成上下兩個(gè)半空間，上半部分為一含有半圓性凹陷的半空間，如圖1b所示;下半部分為一含有半圓形凸起圓形襯砌的半空間，如圖1c所示。

2 線源波動(dòng)載荷引起的位移函數(shù)

當(dāng)在圖1b所示的上半空間水平邊界的任意一點(diǎn)加載一與時(shí)間協(xié)和的線源波動(dòng)荷載時(shí)，上半空間的位移場(chǎng)通過(guò)Green函數(shù)法可表示為[5－11]

圖1c中的下半空間水平邊界的任意一點(diǎn)加載一與時(shí)間協(xié)和的線源波動(dòng)荷載時(shí)，下半空間的襯砌內(nèi)位移場(chǎng)和下半空間其余部分位移場(chǎng)可分別表示為

式中，Am、Bm、Cm和 Qm為待求常數(shù)，由邊界條件決定;W0為波的最大幅值;W(i)為入射波;W(s)為散射波。

圖1 問(wèn)題的力學(xué)模型Fig.1 Mechanics model of problem

3 模型的求解

圖2表示的是在該問(wèn)題的力學(xué)模型空間中，出平面波以任意角度α0入射時(shí)的模型。

模型入射波W(i)、反射波W(r)和折射波W(f)的波場(chǎng)可表示為

式中:α0為波的入射角;α4為波的折射角。

圖2 出平面波入射模型Fig.2 Model of incidence of anti-plane-wave

在上半空間的分界面s上，總的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)可以計(jì)算為

同時(shí)采用與前面求解線源波動(dòng)載荷引起的位移函數(shù)相同的方法，可以求得上下半空間中的散射波。

在下半空間的分界面s上，總的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)可計(jì)算為

為滿足界面s上位移應(yīng)力連續(xù)條件，在下半空間的界面s上施加均布的出平面線源外載荷f1(r0，θ0)，在上半空間的界面s上施加均布的出平面線源外載荷f2(r0，θ0)，如圖3所示。這樣就可將兩部分結(jié)合在一起，形成所要解決問(wèn)題的力學(xué)模型。求解f1(r0，θ0)的積分方程組為

圖3 模型接合示意Fig.3 Forming bi-media material

在下半空間中，襯砌外總的位移場(chǎng)W(s)I為

在上半空間中，總的位移場(chǎng)W(s)Ⅲ為

式中，W(is)、W(rs)和W(fs)為半圓孔產(chǎn)生的散射波場(chǎng)，W(f1)和W(f2)為界面附加外力系產(chǎn)生的散射波場(chǎng)。

利用Hankel函數(shù)在充分大時(shí)的漸近表達(dá)式，可以得到散射波位移場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)位移表達(dá)式為

式中，F(xiàn)(Ⅰ)、F(Ⅲ)分別為上半空間和下半空間的散射波的遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式FFDM。

式中:z=reiθ;m=0 時(shí)，εm=1;m≥1 時(shí)，εm=2。對(duì)于周期為T(mén)的波，時(shí)間的平均能通量為

通過(guò)一個(gè)柱體表面r=R的時(shí)間的平均能通量為

在遠(yuǎn)距離R位置

其中，

入射波在單位面積上的時(shí)間平均能通量為

其中，γ稱為散射截面(SCS)。

4 計(jì)算結(jié)果與分析

數(shù)值仿真參數(shù):k=ω/cs，ω為位移函數(shù)的圓頻率;為材料的出平面波波速;ρ和 μ分別為材料的密度和剪切模量;k1a為入射波波數(shù)。為無(wú)量綱參數(shù)。

圖4a～c為出平面波入射角α0=90°時(shí)，界面襯砌脫膠散射波的FFDM數(shù)值結(jié)果。由圖4可見(jiàn)，由于幾何對(duì)稱性和入射波入射角α0=90°，F(xiàn)FDM數(shù)值結(jié)果關(guān)于y軸對(duì)稱，F(xiàn)FDM最大值出現(xiàn)在y軸上或離y軸較近。通過(guò)圖4a和圖4bFFDM數(shù)值結(jié)果可見(jiàn)、和不變時(shí)，隨著k1a的增加，F(xiàn)FDM數(shù)值結(jié)果分布有了明顯變化。通過(guò)圖4a和圖4cFFDM數(shù) 值結(jié)果可見(jiàn)，k1a不變時(shí)，隨著增加，F(xiàn)FDM數(shù)值結(jié)果分布有了明顯變化，且脫膠附近的FFDM 數(shù)值解明顯減小。

圖4 出平面波界面襯砌脫膠散射波的FFDMFig.4 FFDM of scattering wave of interface lining and debonding impacted by antiplane-wave

圖5為出平面波入射角α0=45°時(shí)，界面襯砌脫膠散射波的FFDM數(shù)值結(jié)果。由圖5可見(jiàn)，F(xiàn)FDM數(shù)值結(jié)果分布不再具有對(duì)稱性，最大值不再出現(xiàn)在y軸上或離y軸較近，而且變化復(fù)雜，規(guī)律性不再明顯。

圖6為出平面波入射角α0=90°以及不同時(shí)，界面襯砌脫膠散射波的SCS隨k1a變化的數(shù)值結(jié)果。

圖5 出平面波界面襯砌脫膠散射波的FFDMFig.5 FFDM of scattering wave of interface lining anddebonding impacted by antiplane-wave

圖6 出平面波界面襯砌脫膠散射波的SCS的變化Fig.6 Vriation of SCS impacted by anti-plane-wave

圖7為出平面波入射角α0=90°以及不同時(shí)，界面襯砌脫膠散射波的SCS隨k1a的變化的數(shù)值結(jié)果。

圖7 SH波垂直入射時(shí)散射截面隨入射波波數(shù)的變化Fig.7 Variation of scattering cross-section vs.wave number impacted by SH-wave vertically

5 結(jié)束語(yǔ)

界面脫膠襯砌對(duì)出平面波的遠(yuǎn)場(chǎng)動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)的問(wèn)題，其散射波遠(yuǎn)場(chǎng)位移模式值和散射截面值的變化，受上下半空間的材料參數(shù)和出平面波的波動(dòng)參數(shù)的影響較大，應(yīng)當(dāng)在理論分析、工程實(shí)際設(shè)計(jì)和施工中給予足夠的重視。

[1]鮑亦興，毛昭宙.劉殿魁，等.彈性波的衍射與動(dòng)應(yīng)力集中[M].譯.北京:科學(xué)出版社，1993.

[2]陳志剛，劉殿魁.橢圓孔對(duì)SH波散射的遠(yuǎn)場(chǎng)解[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，24(3):334－338.

[3]楊在林.界面可移動(dòng)圓形剛性?shī)A雜對(duì)SH波散射和它的遠(yuǎn)場(chǎng)解[D].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)，2000.

[4]齊 輝.界面圓環(huán)形襯砌對(duì)SH波散射及動(dòng)應(yīng)力集中[D].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)，2000.

[5]NAN JINGFU，QI HUI，SHI YONG.Scattering of SH-waves by cylindrical lining debonded near bi-material interfaces[J].Advanced Science Letters，2011，3(5):1281 －1285.

[6]南景富，齊 輝，折 勇.垂直半空間裂紋及附近圓孔對(duì)SH波的散射[J].工程力學(xué)，2009，5(26):245－250.

[7]QI HUI，SHI YONG，NAN JINGFU.Ground motion of non-circular alluvial valley for incident plane SH-wave[C]//The 14th world conference on earthquake engineering，China:Beijing，2008:78－82.

[8]南景富.SH波作用下地表覆蓋層與淺埋圓柱形夾雜的相互作用[J].自然災(zāi)害學(xué)報(bào)，2010，29(2):169－174.

[9]NAN JINGFU，QI HUI，ZHAO CHUNXIANG.Scttering of SH-waves by interface semicircular debonded cylindrical lining and linear cracks originating at edge of lining.Advanced Materials Research[J].2012，399(1):2149 －2154.

[10]南景富，齊 輝.含半圓形襯砌凸起彈性半空間問(wèn)題的Green函數(shù)解[J].2012，45(5):31－36.

[11]南景富.界面圓形脫膠襯砌與裂紋對(duì)SH波的散射[D].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)，2012.