杜文學(xué)， 張令心， 韓 雪， 胡明祎

(1.黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150022;2.中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所，哈爾濱 150080)

0 引言

從結(jié)構(gòu)整體受力的角度看，懸索結(jié)構(gòu)受力較明確合理，在滿足建筑功能要求的同時(shí)，能夠充分發(fā)揮材料性能，作為大跨結(jié)構(gòu)的承重構(gòu)件近年來(lái)應(yīng)用越來(lái)越廣泛[1]。因懸索結(jié)構(gòu)屬柔性結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力性能對(duì)整體結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)懸索結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能開展的研究較少，且多以靜力性能研究為主[2－3]。若進(jìn)行索結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能分析，通常需要引入多個(gè)自由度來(lái)準(zhǔn)確描述其離散模型的動(dòng)力反應(yīng)[4－6]。不利于在方案論證階段快速判斷索結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。在理論分析方面，對(duì)懸索結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的索模型通常利用轉(zhuǎn)換矩陣法來(lái)準(zhǔn)確的描述索結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為;以及利用位移法原理的有限單元法來(lái)分析索承重塔結(jié)構(gòu)或懸索結(jié)構(gòu)[7－9]，這種方法主要是通過分析結(jié)構(gòu)的形狀而得到一個(gè)基于位移法的模型，沒有考慮阻尼的索自由振動(dòng)問題，目的是用較少的自由度就能得到準(zhǔn)確結(jié)果。文中基于兩節(jié)點(diǎn)懸鏈線索單元和柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)基本理論[10]，考慮彎曲變形的影響，試用空間索單元模式來(lái)分析索的動(dòng)力問題，以此嘗試運(yùn)用較少自由度的模型來(lái)分析懸索結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能，應(yīng)用Hamilton變分原理推導(dǎo)了索單元的振動(dòng)方程，并選用偽動(dòng)力法進(jìn)行求解。最后將文中的動(dòng)力模型應(yīng)用到實(shí)際的索結(jié)構(gòu)工程中，其分析結(jié)果與整體設(shè)計(jì)計(jì)算加以對(duì)比驗(yàn)證，完成了模態(tài)反應(yīng)分析。

1 動(dòng)力反應(yīng)模型描述

目前，索結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析模型常以兩節(jié)點(diǎn)懸鏈線索為主，其忽略了壓彎變形的影響。隨著大跨度索在橋梁中應(yīng)用，索的直徑越來(lái)越大，單純的考慮索的拉力特性已遠(yuǎn)不能真實(shí)反映其力學(xué)特性，文中考慮壓彎變形對(duì)索的受力特性的影響。單元索平面模型如圖1所示。X、Y表示整體坐標(biāo)的水平軸與垂直軸，沿著索弦方向定為局部坐標(biāo)系的x軸，垂直其的為y軸。索段長(zhǎng)為S，與局部坐標(biāo)系夾角為θ，則其在空間局部坐標(biāo)系中索段內(nèi)任意點(diǎn)的坐標(biāo)為若索兩端點(diǎn)分別用i、j表示，則任意時(shí)刻t時(shí)，索上任一點(diǎn)的動(dòng)位移可表示為

式中:f——單元形函數(shù);

l——參考點(diǎn)至端點(diǎn)i間索段長(zhǎng);

u、v、w——索振動(dòng)的廣義位移。

圖1 索模型Fig.1 Model of cable

2 索梁結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程建立

利用Hamilton變分原理[11]，運(yùn)動(dòng)方程如下:

式中:Ek——?jiǎng)幽?

Ep——?jiǎng)菽?

Wnc——非保守力所做的功。

由能量原理，索結(jié)構(gòu)的動(dòng)能Ek可表示為

式中:ρ——索段體密度;

A——索段截面面積。

則動(dòng)能Ek的變分可寫為

式中:d={uiuju vivjv wiwjw}T;

M——質(zhì)量矩陣。

同理，勢(shì)能Ep變分由式(1)得出:

式中:σ——索段考慮軸向彎曲變形的應(yīng)力;

ε——相應(yīng)的應(yīng)變分量。

假定索為理想柔性，考慮彎曲變形，滿足大變形、小應(yīng)變特性;索段作用荷載沿索長(zhǎng)均勻分布，故由Green應(yīng)變?cè)韀12]，則在考慮壓彎變形后索段截面任意位置纖維處的應(yīng)變?chǔ)舕為

結(jié)合式(1)、(2)，位移導(dǎo)數(shù)保留二階項(xiàng)，勢(shì)能的變分可寫成如下矩陣形式:

式中:K——?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

非保守力所做功Wnc的變分為

式中:P——外荷載，P=(pxpypz);

δu——相應(yīng)于外荷載所產(chǎn)生的位移，δu=(?ux?uy?uz);

C——阻尼矩陣。

綜上，可整理得到局部坐標(biāo)下單索結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程:

即為空間索單元振動(dòng)方程，可見其與一般意義上的單索結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動(dòng)方程形式一致。

3 運(yùn)動(dòng)方程的解

選用文獻(xiàn)[13]中的偽靜力計(jì)算方法求解。該方法忽略體系的動(dòng)響應(yīng)，通過偽靜力計(jì)算得到體系的運(yùn)動(dòng)路徑和最終的靜平衡構(gòu)形。在時(shí)域內(nèi)通過逐步積分得到體系的狀態(tài)，在計(jì)算t+Δt時(shí)刻的響應(yīng)前，將t時(shí)刻的速度與加速度均置為零，其物理意義是在離散的時(shí)間點(diǎn)上引入無(wú)窮大的阻尼，由此體系的動(dòng)能被逐步地去除掉，并逐步地向靜平衡位置運(yùn)動(dòng)，最后表現(xiàn)為在靜平衡位置附近振幅逐減的微小振動(dòng)，如果某一靜平衡位置不是穩(wěn)定的靜平衡位置，那么微小振動(dòng)將充當(dāng)干擾力的作用，系統(tǒng)會(huì)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)一個(gè)穩(wěn)定的靜平衡位置，由此可在計(jì)算中區(qū)分穩(wěn)定與不穩(wěn)定的靜平衡位置。

4 模態(tài)反應(yīng)分析

某場(chǎng)館屋蓋采用預(yù)應(yīng)力索梁張拉結(jié)構(gòu)。梁頂標(biāo)高17.500 m，跨度91.280 m，半徑199.160 m。其上懸索采用φ5×241 mm的高強(qiáng)度平行鋼絲束，用來(lái)抵抗屋面重量。平面投影為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)向188.000 m，柱距17.100 m，共12榀，每榀之間由支撐和檁條相連。桅桿頂標(biāo)高33.000 m，其中下桅桿高 12.650 m，底部寬 2.900 m，上桅桿高20.350 m，向外傾斜5°。桅桿、斜撐、水平撐桿及拱梁通過銷軸實(shí)現(xiàn)理想鉸接，整體結(jié)構(gòu)通過下拉索施工預(yù)拉力成型。單榀結(jié)構(gòu)布置如圖2所示，圖中單位為m。

運(yùn)用文中的模型將其施工過程動(dòng)力反應(yīng)的模擬結(jié)果與按整體設(shè)計(jì)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖3所示。從圖3可以看出，二者吻合較好，滿足JGJ257—2012《索結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與施工規(guī)程》中對(duì)承載力的要求，進(jìn)一步驗(yàn)證了文中分析方法的正確性，并具有通用的價(jià)值。

圖2 單榀索結(jié)構(gòu)布置Fig.2 Structural arrangement

圖3 振動(dòng)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of results vibration

通過上述動(dòng)力響應(yīng)分析的頻率和周期的結(jié)果可得到該張拉屋蓋前6階振型(圖4)。由圖4可見，1階振型比較簡(jiǎn)單，主要以平面內(nèi)平動(dòng)為主;2～6階振型較復(fù)雜，表現(xiàn)為空間振動(dòng)，而且豎向與水平振動(dòng)相互耦合，交替出現(xiàn)，個(gè)別振型伴有扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。因此，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析中高階振動(dòng)不可忽視。

圖4 前6階振型Fig.4 First six modal response

5 結(jié)論

(1)基于兩節(jié)點(diǎn)懸鏈線索單元和柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)基本理論，考慮彎曲變形對(duì)懸索結(jié)構(gòu)受力特性的影響，提出空間索單元模型進(jìn)行懸索結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)分析。

(2)依據(jù)Hamilton變分原理建立了動(dòng)力反應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程，并選用偽靜力計(jì)算方法求解，得到了大跨索承結(jié)構(gòu)中索的空間振動(dòng)響應(yīng)。

(3)采用文中提出的索單元模型分析了張拉懸索屋蓋結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)，將分析結(jié)果與整體設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，誤差較小;由模態(tài)響應(yīng)分析可知大型張拉索結(jié)構(gòu)的高階振動(dòng)非常復(fù)雜，在設(shè)計(jì)初期應(yīng)給予重視。

(4)文中提出的空間索單元模型可以較為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)懸索結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，為實(shí)際工程在初期設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)索結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能預(yù)測(cè)提供參考。

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