田玉芳，姬光榮＊＊，尹志盈，鄭海永

（1.中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島266100；2.電波環(huán)境特性及模化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島266071）

海雜波，即來自海洋表面的雷達(dá)反射回波，對(duì)海面弱目標(biāo)檢測(cè)具有嚴(yán)重的制約作用，因此對(duì)其建模及抑制技術(shù)的研究具有重要的軍事和民用價(jià)值。自1990年代，國(guó)內(nèi)外學(xué)者就致力于將分形理論應(yīng)用于海雜波背景下的目標(biāo)檢測(cè)［1－2］。目前，其仍為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

基于分形理論的海面目標(biāo)檢測(cè)的局限性主要體現(xiàn)在2方面：（1）將分形特征作為目標(biāo)檢測(cè)的依據(jù)時(shí)，傳統(tǒng)方法使用固定的分?jǐn)?shù)維作為判決門限［1，3］，然而由于海面狀態(tài)并不穩(wěn)定，其分?jǐn)?shù)維也會(huì)在長(zhǎng)時(shí)間及大范圍上呈不穩(wěn)定性，因此僅利用一個(gè)固定的分?jǐn)?shù)維作為檢測(cè)門限將不可避免地造成虛警和漏警；（2）當(dāng)信雜比較低時(shí)，海雜波和目標(biāo)回波的時(shí)域分形特征差異變得很小，很難有效檢測(cè)出海面弱小目標(biāo)，且分形方法無法獲取目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)信息。

鑒于上述問題，可分別從以下兩方面進(jìn)行改進(jìn)：（1）優(yōu)化檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，如將海雜波相鄰距離單元盒維數(shù)在時(shí)間上的變化量［4］、同一時(shí)刻不同距離單元的Hurst參數(shù)差異［5］、分形幾何的相關(guān)系數(shù)［6］、多尺度 Hurst參數(shù)（擴(kuò)展分形）［7］、多重分形特性［8－10］、Hurst指數(shù)和縫隙值（高階分形特征）相結(jié)合［11］等作為檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量；（2）將分形理論與其它處理相結(jié)合，從而提高信號(hào)信雜比并獲取更多的目標(biāo)信息，如分形結(jié)合統(tǒng)計(jì)方法［12］、分?jǐn)?shù)階Fourier變換（Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT）結(jié)合分形［13］、分形結(jié)合模糊理論［14－15］、小波分解結(jié)合分形［16－17］等。其中，F(xiàn)RFT是一種廣義時(shí)頻分析方法，通過選擇合適的變換階數(shù)，可使信號(hào)在FRFT域聚集，提高信號(hào)的信雜比。

結(jié)合上述2種改進(jìn)思路，本文將分形理論與時(shí)頻分析相結(jié)合，分析了海雜波在FRFT域的分形特性，提出了基于FRFT域空間分形特征差異的海面弱目標(biāo)檢測(cè)方法。首先將海雜波時(shí)間序列轉(zhuǎn)換到FRFT域，繼而計(jì)算其在FRFT域的分形參數(shù)－Hurst指數(shù)，最后對(duì)Hurst指數(shù)作進(jìn)一步處理，并提取其空間分形特征差異作為檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量。經(jīng)IPIX雷達(dá)（X波段）實(shí)測(cè)海雜波數(shù)據(jù)驗(yàn)證，表明該算法可以有效提取低信雜比條件下海雜波與海面運(yùn)動(dòng)弱目標(biāo)回波的特征差異，且文中提出的分形檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量可以有效避免虛警和漏警，提高了海事雷達(dá)的弱目標(biāo)檢測(cè)性能。

1 FRFT域海雜波分形特性

海雜波是雷達(dá)參數(shù)、氣溫、洋流、風(fēng)向、風(fēng)速等多個(gè)參數(shù)的函數(shù)，要在不同環(huán)境因素和雷達(dá)參數(shù)下建立一個(gè)普適性的、精確的海雜波模型幾乎是不可能的。因此學(xué)者們?cè)谘芯亢ｋs波特性以及有效的目標(biāo)檢測(cè)方法時(shí)，一般都是針對(duì)特定海域、特定雷達(dá)進(jìn)行的。本文采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自加拿大McMaster大學(xué)的IPIX雷達(dá)（見表1）數(shù)據(jù)庫(kù)網(wǎng)站，包括HH和VV極化條件下的14個(gè)X波段數(shù)據(jù)文件，每個(gè)數(shù)據(jù)文件含14個(gè)距離門的回波信號(hào)，共計(jì)392組海雜波數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)中的待檢測(cè)目標(biāo)為1個(gè)直徑1m的球形密封救生器，表面包了一層用來增強(qiáng)信號(hào)的鋁箔。

表1 IPIX雷達(dá)性能參數(shù)Table 1 Performance parameters of IPIX radar

1.1 分?jǐn)?shù)階Fourier變換（FRFT）

基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換（FRFT）的時(shí)頻分析是對(duì)現(xiàn)有的傳統(tǒng)時(shí)頻變換的廣義化拓展，因此又稱為廣義時(shí)頻分析。

信號(hào)x（t）的a階Fourier變換定義式如下：

其中，核函數(shù)Ka（t，u）為：

由于核函數(shù)Ka（t，u）是chirp類函數(shù)，F(xiàn)RFT實(shí)質(zhì)上是將時(shí)域信號(hào)在chirp基上展開，通過選擇合適的旋轉(zhuǎn)角度，可使信號(hào)在FRFT域聚集，起到提高信號(hào)信雜比的作用。借助快速Fourier變換（FFT）的思想，可實(shí)現(xiàn)離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換（DFRFT）的快速算法［18］，為雷達(dá)的實(shí)時(shí)性探測(cè)提供了保證。

1.2 基于小波的Hurst指數(shù)計(jì)算

與理想分形體不同，實(shí)測(cè)海雜波信號(hào)僅在一定的時(shí)間尺度內(nèi)具有分形特性，目標(biāo)的存在會(huì)改變海雜波的分形特征，因此可以基于這一點(diǎn)進(jìn)行目標(biāo)檢測(cè)。

首先建立分形模型－分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型（FBM）。在FBM中，決定模型“粗糙”程度的參數(shù)為Hurst指數(shù)。對(duì)于一維時(shí)間信號(hào)，Hurst指數(shù)與分形維數(shù)D的關(guān)系為D＝2－H（H表示Hurst指數(shù)）。

在時(shí)間分形尺度分析、Hurst指數(shù)求解過程中，小波分析法具有適用范圍廣、避免Hurst指數(shù)飽和等優(yōu)勢(shì)［19］，因此本文采用小波分析法的方差法提取海雜波的分形特征。

將給定的海雜波時(shí)間序列 Xi（i＝1，2，…，n）減去序列均值μ，得到新時(shí)間序列xi＝Xi－μ（i＝1，2，…，n）。

定義小波函數(shù)為ψ0，尺度函數(shù)為Φ0，最大分解層數(shù)為J。對(duì)時(shí)間序列xi，（i＝1，2，…，n），進(jìn)行小波變換：

其中：a＜J，K＞和d＜j，k＞分別為小波變換的尺度系數(shù)和小波系數(shù)，φi，k（i）和ψi，k（i）分別為小波尺度函數(shù)和母小波函數(shù)：

k為平移參數(shù)。因此分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)BH（t）可表示為：

由于BH（t）是自相似過程，則上式可由變量替換得：

對(duì)于分形高斯噪聲，其均值E［dj，k］＝0，因此導(dǎo)出下式：

其中：nj是第j 層小波系數(shù)的個(gè)數(shù)；c0＝E［d20，0］為常數(shù)，對(duì)上式取對(duì)數(shù)處理：

不難看出Hurst指數(shù)可由j～log2Γ（j）曲線的斜率r表示，且H＝（r－1）／2。j～log2Γ（j）的線性部分對(duì)應(yīng)的尺度即海雜波的分形無標(biāo)度區(qū)間，在無標(biāo)度區(qū)間上，Hurst指數(shù)是穩(wěn)定的。大量實(shí)驗(yàn)表明IPIX雷達(dá)時(shí)域海雜波信號(hào)的無標(biāo)度區(qū)間為4～12尺度［5］。

1.3 FRFT域海雜波分形特性

在將海雜波時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到FRFT域的操作中，核心工作是最佳變換階數(shù)的選取。如何確定FRFT的最佳變換階數(shù)，使目標(biāo)回波的能量在最佳變換域得以最大程度的聚集、且分形特征與海雜波相比差異最大，是本節(jié)首先要介紹的問題。

以IPIX雷達(dá)HH極化方式下＃17（低信雜比）、＃54（高信雜比）數(shù)據(jù)文件的28組海雜波數(shù)據(jù)為例（見表2），對(duì)這2個(gè)數(shù)據(jù)文件在變換階數(shù)分別取a1＝1.1，a2＝1.6時(shí)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階Fourier變換，進(jìn)而由分形曲線得到海雜波數(shù)據(jù)在FRFT域的分形無標(biāo)度區(qū)間（見圖1）。由圖1可以看出：（1）不同距離門的海雜波分形曲線基本重合，且線性部分（5～10尺度）的斜率差別不大，即變換階數(shù)變化對(duì)FRFT域海雜波數(shù)據(jù)的分形曲線影響較小，經(jīng)直線擬合得到的Hurst指數(shù)差別不大，經(jīng)分析認(rèn)為，出現(xiàn)上述情況的原因在于海雜波在一定程度上可視為多個(gè)單頻信號(hào)的疊加，其能量在FRFT域中得不到較好的聚集，隨旋轉(zhuǎn)角度變化其分形參數(shù)改變不大；（2）目標(biāo)回波的分形曲線在5～10尺度上也呈線性，即當(dāng)FRFT的變換階數(shù)取不同值時(shí)，不同數(shù)據(jù)文件的海雜波與目標(biāo)回波的無標(biāo)度區(qū)間都在5～10尺度上，隨變換階數(shù)變化，目標(biāo)回波分形曲線的斜率發(fā)生明顯改變，且總是大于海雜波的分形曲線斜率，即目標(biāo)回波的Hurst指數(shù)大于海雜波的Hurst指數(shù)。不難證明，F(xiàn)RFT域最佳變換階數(shù)對(duì)應(yīng)的海雜波與目標(biāo)回波的分形維數(shù)差別最大。參考文獻(xiàn)［20］，采用分級(jí)計(jì)算迭代算法確定FRFT的最佳變換階數(shù)。通過本實(shí)例可以初步得出海雜波在FRFT域的分形無標(biāo)度區(qū)間為5～10尺度的結(jié)論。經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，海雜波在FRFT域的分形無標(biāo)度區(qū)間為5～10尺度，與時(shí)域信號(hào)相比尺度范圍偏小，可見在時(shí)頻聯(lián)合域，海雜波的分形特性有所減弱。

表2 ＃17、＃54數(shù)據(jù)文件信息Table 2 Information of＃54and＃17data files

圖1 ＃17、＃54數(shù)據(jù)的分形特征Fig.1 Fractal characters of＃17dataset and＃54dataset

隨后，在FRFT最佳變換域上研究海雜波與目標(biāo)回波的分形特性。在5～10尺度上分析FRFT域海雜波的Hurst指數(shù)分布特性，經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：在FRFT的最佳變換域，由于目標(biāo)回波的能量得到最大程度的聚集，對(duì)應(yīng)的Hurst指數(shù)與時(shí)域相比明顯變大，目標(biāo)回波與海雜波的分形參數(shù)差異范圍也變大，為海面弱目標(biāo)檢測(cè)提供了更有效的判決依據(jù)。

仍以IPIX雷達(dá)＃17、＃54數(shù)據(jù)文件為例，對(duì)海雜波在FRFT最佳變換域以及時(shí)域的分形特征進(jìn)行分析（見圖2）。由圖2可以看出：（1）HH極化條件下，時(shí)域目標(biāo)回波與海雜波的Hurst指數(shù)差異范圍明顯小于FRFT域的；（2）由于回波成分的差異，VV極化條件下的雷達(dá)回波信號(hào)的信雜比較HH極化更低，因此目標(biāo)回波與海雜波的Hurst指數(shù)差異范圍在時(shí)域顯著降低，而在FRFT域仍能較好的區(qū)分海雜波和目標(biāo)回波。然而，由于FRFT對(duì)海雜波也有一定程度的能量聚集作用，造成FRFT域海雜波的Hurst指數(shù)也普遍高于時(shí)域海雜波的。下一節(jié)將介紹降低FRFT對(duì)海雜波的能量聚集作用、使分形檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量得以優(yōu)化的算法，最終進(jìn)一步提高海事雷達(dá)的目標(biāo)檢測(cè)能力。

圖2 時(shí)域、FRFT域雷達(dá)回波分形特征Fig.2 Fractal characters of radar echo in time and FRFT domain

2 FRFT域海雜波分形檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量

雖然海雜波的分形特征在時(shí)間和空間上不具有長(zhǎng)期穩(wěn)定性，但同一時(shí)刻同一海域的海雜波可認(rèn)為是均勻的，因此同一時(shí)刻不同距離單元的海雜波分形特征差異不大，而弱小目標(biāo)的存在會(huì)使該距離單元回波出現(xiàn)較大的分形特征差異。在空間范圍上對(duì)FRFT域海雜波的分形參數(shù)作進(jìn)一步處理，可以增大純海雜波與目標(biāo)回波的分形特征差異，改善低信雜比條件下海事雷達(dá)的目標(biāo)檢測(cè)性能。

首先，考慮到FRFT域海雜波的Hurst指數(shù)有一定程度的增大，而目標(biāo)回波Hurst指數(shù)增大的幅度更大，因此先求出該海域當(dāng)前時(shí)刻若干距離單元海雜波的Hurst指數(shù)，計(jì)算出它們的均值Hmean，進(jìn)而對(duì)14個(gè)距離單元的所有Hurst指數(shù)進(jìn)行差模處理：

由圖3對(duì)＃17數(shù)據(jù)文件差模處理的效果可以看出：由于同一時(shí)刻同一海域海雜波的Hurst指數(shù)比較接近，在取與H＿mean差值的絕對(duì)值之后，Hurst指數(shù)分布更加集中，而目標(biāo)回波的Hurst指數(shù)只略微減小。

圖3 差模處理Fig.3 Absolute D－value processing

然后，將經(jīng)過差模處理后的H′i作為該海域?qū)?yīng)距離單元回波的分形參數(shù)，取一小塊海域海雜波的分形參數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)特征量Hclutter。顯然，經(jīng)差模處理之后局部海域在同一時(shí)刻的海雜波分形特征更加接近，即海雜波和標(biāo)準(zhǔn)特征量Hchutter之間的Hurst指數(shù)差異會(huì)很??；若某處存在目標(biāo)，則該距離單元雷達(dá)回波的分形特征將會(huì)明顯區(qū)別于海雜波，目標(biāo)回波和標(biāo)準(zhǔn)特征量Hclutter之間的Hurst指數(shù)差異較大。因此，可以將同一時(shí)刻不同距離單元的Hurst指數(shù)差異或其變形作為檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)海面弱目標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)。

定義檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Htest為：

仍以＃17數(shù)據(jù)文件為例，分析其檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Htest在不同距離單元的分布，并與時(shí)域海雜波空間Hurst指數(shù)差異［5］進(jìn)行比較（見圖4）。由圖4可以看出：與時(shí)域相比，經(jīng)改進(jìn)的FRFT域空間分形參數(shù)差異范圍更大。在低信雜比條件下，將FRFT域的Htest作為檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，仍會(huì)有較高的弱目標(biāo)檢測(cè)概率。需要指出的是，F(xiàn)RFT可能會(huì)造成次目標(biāo)單元的Hurst指數(shù)高于主目標(biāo)單元，給主目標(biāo)單元的確定帶來一定難度。出現(xiàn)這種情況的可能原因有3種：（1）每組實(shí)驗(yàn)僅采用單極化方式的海雜波數(shù)據(jù)，未能綜合其多極化信息，造成信息丟失；（2）在雷達(dá)采樣過程中，目標(biāo)隨海面波動(dòng)移動(dòng)到主目標(biāo)單元的附近（次目標(biāo)單元處），造成能量的泄露；（3）最佳變換階數(shù)的計(jì)算方法仍有欠缺，造成主目標(biāo)單元信號(hào)的能量不能達(dá)到最大程度的聚集。因此，如何綜合海雜波多極化信息、抑制FRFT域次目標(biāo)單元的能量聚集，并進(jìn)一步優(yōu)化最佳變換階數(shù)的提取算法，是下一階段的工作目標(biāo)。

圖4 空間Hurst指數(shù)差異HtestFig.4 The difference of Htesthurst indexes

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在已知海雜波滿足分形特性的無標(biāo)度區(qū)間為5～10尺度的基礎(chǔ)上，對(duì)IPIX雷達(dá)HH與VV極化方式下的392組海雜波數(shù)據(jù)按以下步驟進(jìn)行操作：

（1）采用分級(jí)計(jì)算迭代算法計(jì)算FRFT的最佳變換階數(shù)，將時(shí)域海雜波數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到FRFT域；

（2）基于小波分析法計(jì)算各海雜波序列的Hurst指數(shù)；

（3）計(jì)算FRFT域各海雜波序列的分形檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Htest；

（4）通過分析Htest的統(tǒng)計(jì)分布設(shè)定閾值T，并按下式判決某距離單元是否存在目標(biāo)：

由圖5可以看出：（1）基于時(shí)域空間分形特性差異的目標(biāo)檢測(cè)方法［5］可以在較高信雜比條件下有效區(qū)分海雜波與目標(biāo)回波，而當(dāng)信雜比較低（VV極化）時(shí)，則難以克服門限效應(yīng)的影響，海雜波與目標(biāo)回波的分形特征出現(xiàn)重疊區(qū)域，在步驟（4）的分類判決中會(huì)帶來虛警和漏警。文獻(xiàn)［5］中，為了便于比較分析、避免低信雜比情況特別是門限效應(yīng)的影響，只對(duì)10個(gè)數(shù)據(jù)文件合計(jì)280組數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果也實(shí)現(xiàn)了海雜波與目標(biāo)回波的完全區(qū)分，但并沒有從根本上改善在低擦地角、高分辨率條件下海雜波信號(hào)信雜比較低的制約；（2）本文方法在2種極化方式下都可實(shí)現(xiàn)海雜波與目標(biāo)回波的完全區(qū)分，有效的避免了低信雜比情況特別是門限效應(yīng)的影響，且可以獲取運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的信息，為海面運(yùn)動(dòng)弱目標(biāo)檢測(cè)提供了更有效的判決依據(jù)。對(duì)HH、VV 2種極化方式，分別設(shè)置閾值T為0.02、0.01時(shí)，目標(biāo)檢測(cè)概率達(dá)到100%，且沒有帶來虛警和漏警。

需要指出的是，步驟（4）中采用硬門限判決只是為了驗(yàn)證分形檢測(cè)量Htest的有效性，在實(shí)際分類過程中，一般采用基于機(jī)器學(xué)習(xí)的模式分類方法。

圖5 本文方法與時(shí)域空間Hurst指數(shù)差異方法［5］比較Fig.5 Comparation of the present approach and the method of hurst indexes difference［5］

比較海雜波的時(shí)域Hurst指數(shù)H、時(shí)域空間Hurst指數(shù)差異Htest1、FRFT域改進(jìn)型空間分形特征差異Htest2（見表3）。為保證實(shí)驗(yàn)的嚴(yán)謹(jǐn)性，采用全部392組數(shù)據(jù)，分別對(duì)每組統(tǒng)計(jì)量乘以一定的系數(shù)，以保證海雜波分形參數(shù)的均值在相同的數(shù)量級(jí)上，使比較結(jié)果更直觀。由表3可以看出：（1）時(shí)域海雜波與目標(biāo)回波的Hurst指數(shù)均值差值范圍不大（HH極化：0.062，VV極化：0.025），而且有很大的重疊區(qū)域，單純依靠設(shè)定分形參數(shù)閾值來進(jìn)行目標(biāo)檢測(cè)將帶來嚴(yán)重的漏警和虛警；（2）時(shí)域海雜波與目標(biāo)回波空間Hurst指數(shù)差異的均值差值范圍較大（HH極化：1.471，VV極化：0.456），但在低信雜比條件下出現(xiàn)重疊區(qū)域，沒有從根本上消除信號(hào)信雜比較低的制約；（3）FRFT域海雜波與目標(biāo)回波的分形參數(shù)均值差值范圍最大（HH極化：3.466，VV極化：2.348），在低信雜比條件下仍能完全區(qū)分海雜波與目標(biāo)回波，為海面運(yùn)動(dòng)弱目標(biāo)的檢測(cè)提供了更有效的判決依據(jù)。

表3 3種方法的分形檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量比較Table 3 Comparation of fractal test statistics of three methods

4 結(jié)論

（1）本文采用FRFT進(jìn)行預(yù)處理，在其最佳變換域，信號(hào)的信雜比得以改善，有效避免了門限效應(yīng)的影響，并且可以獲得目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)信息，為進(jìn)一步的目標(biāo)檢測(cè)提供了有利的條件。同時(shí)，通過提取改進(jìn)的空間分形特征差異作為檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，實(shí)現(xiàn)了海雜波與目標(biāo)回波的有效區(qū)分。

（2）本文算法的不足之處：經(jīng)分?jǐn)?shù)階Fourier變換后，次目標(biāo)單元的Hurst指數(shù)可能會(huì)高于主目標(biāo)單元，給主目標(biāo)單元的確定帶來一定難度。因此，如何綜合海雜波多極化信息、抑制FRFT域次目標(biāo)單元的能量聚集，并進(jìn)一步優(yōu)化最佳變換階數(shù)的提取算法，是下一階段的工作目標(biāo)。

［1］ Lo T，Leung H，Litva J，et al.Fractal characterisation of seascattered signals and detection of sea－surface targets［J］.IEEE Proceedings F Radar and Signal Processing，1993，140（4）：243－250.

［2］ 杜干，張守宏.分形模型在海上雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)中的應(yīng)用 ［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，1998，13（4）：337－381.

［3］ 杜干，張守宏.基于分形維特征的艦船目標(biāo)的檢測(cè) ［J］.西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，26（4）：488－501.

［4］ 文必洋，王頌.一種應(yīng)用海雜波分?jǐn)?shù)維檢測(cè)海面目標(biāo)的方法 ［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，34（1）：68－78.

［5］ 許小可，柳曉鳴，陳曉楠.基于空間分形特征差異的目標(biāo)檢測(cè)［J］.大連海事大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，33（2）：45－48.

［6］ Madanizadeh S A，Nayebi M M.Signal detection using the correlation coefficient in fractal geometry ［C］.Proceedings of Radar Conference.Boston：IEEE，2007：481－486.

［7］ 李秀友，關(guān)鍵，黃勇，等.海雜波中基于擴(kuò)展分形的目標(biāo)檢測(cè)方法［J］.火控雷達(dá)技術(shù)，2008，37（2）：10－13，38.

［8］ 關(guān)鍵，劉寧波，張建，等.海雜波的多重分形關(guān)聯(lián)特性與微弱目標(biāo)檢測(cè) ［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2010，32（1）：54－61.

［9］ Hu J，Tung W W，Gao J B.Detection of low－observable targets within sea clutter by structure function based multifractal analysis［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2006，54（1）：136－143.

［10］ Gao J B，Yao K.Multifractal features of sea clutter［C］.Proceedings of Radar Conference，Long Beach：IEEE，2002：500－505.

［11］ 何鑫萍，姬光榮.基于分形維與縫隙參數(shù)的海雜波目標(biāo)檢測(cè)［J］.現(xiàn)代電子技術(shù)，2012，35（1）：1－3.

［12］ 陳小龍，劉寧波，宋杰，等.海雜波FRFT域分形特征判別及動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)方法 ［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2011，33（4）：823－830.

［13］ Kamijo K，Yamanouchi A.Signal Processing Using Fuzzy Fractal Dimension and Grade of Fractality－Application to Fluctuations in Seawater Temperature［C］.Proceedings of Computational In－telligence in Image and Signal Processing，Honolulu：IEEE，2007：133－138.

［14］ 關(guān)鍵，劉寧波，張建，等.基于LGF的海雜波中微弱目標(biāo)檢測(cè)方法 ［J］.信號(hào)處理，2010，26（1）：69－73.

［15］ Guan J，Liu N B，Zhang J.Low－observable target detection in sea clutter based on fractal－based variable step－size least mean square algorithm ［C］.Proceedings of Radar Conference on Surveillance for a Safer World，Bordeaux：IEEE，2009：1－5.

［16］ Hirchoren G A，D′Attellis C E.Estimation of fractional Brownian motion with multiresolution Kalman filter banks［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1999，47（5）：1431－1434.

［17］ 熊剛，趙惠昌，王李軍.海雜波背景下雷達(dá)引信的相關(guān)檢測(cè)方法研究 ［J］.電子學(xué)報(bào)，2004，34（12）：1937－1940.

［18］ Haldun M O，Orhan A，Kutay M A，et al.Digital computation of the fractional fourier transform ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1996，44（9）：2141－2150.

［19］ Gao J B，Hu J，F(xiàn)red L P，et al.Target detection within sea clutter：a comparative study by fractal scaling analyses ［J］.Fractals，2006，14（3）：187－204.

［20］ 郭斌，張紅雨.分級(jí)計(jì)算迭代在Radon－Ambiguity變換和分?jǐn)?shù)階Fourier變換對(duì)chirp信號(hào)檢測(cè)及參數(shù)估計(jì)的應(yīng)用 ［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2007，29（12）：3024－3026.