孟 波，高存臣，2，考永貴，劉云龍

（1.中國海洋大學信息科學與工程學院，山東 青島266100；2.中國海洋大學數(shù)學科學學院，山東 青島266100；3.哈爾濱工業(yè)大學（威海）數(shù)學系，山東 威海264209；4.濰坊學院信息與控制工程學院，山東 濰坊261061）

近幾十年，帶有Markovian切換的隨機微分方程（SDE）所描述的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題引起了眾多學者的廣泛關注。文獻［1］研究了線性跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻［2］討論了帶有Markovian切換的一般非線性微分方程的指數(shù)穩(wěn)定性；文獻［3］研究了帶有 Markovian切換的隨機時滯區(qū)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻［4］進一步研究了時滯相關穩(wěn)定性。上述文獻的研究方法均為Lyapunov函數(shù)法。但是，大量的實際問題，有的系數(shù)是不確定的，有的是隨機的，這種由不確定性與隨機性所描述的混合型隨機控制系統(tǒng)的分析與設計問題是客觀實際向研究工作者提出的亟待解決的問題，該問題已有一些相關研究［5－8］，這些研究還不夠廣泛，因此，關于該問題的研究是本文要深入研究的問題之一。

滑?？刂疲⊿MC）是一種廣泛使用在不確定系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)中的魯棒控制方法［9－11］，SMC系統(tǒng)的主要優(yōu)點是它對系統(tǒng)參數(shù)變化和外部擾動具有不靈敏性。在過去的幾十年間，不確定系統(tǒng)［12］、時滯系統(tǒng)［13］、分布參數(shù) 系 統(tǒng)［14］、切 換 系 統(tǒng)［15－16］以 及 Markovian 跳 變 系統(tǒng)［17－18］的SMC問題已經(jīng)看到一些報道。最近，不確定隨機時滯系統(tǒng)的SMC問題受到越來越多的重視，因為SMC是一種對不確定系統(tǒng)有效的魯棒控制方法。例如，文獻［19］針對帶有時變時滯的不確定隨機系統(tǒng)，通過等效控制方法提出了一種魯棒積分SMC方法；文獻［20］通過滑模變結構控制方法對非線性隨機系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題進行了研究。然而，已有結果對隨機擾動的結構進行了假設，使得當使用等效控制方法進行控制器設計時不需處理隨機攝動，這樣的假設可能對許多隨機系統(tǒng)受限制的條件非常苛刻。文獻［21］針對不確定隨機時滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題提出了一種SMC設計方案，在一定程度上消除了現(xiàn)有結果中的隨機攝動的制約。文獻［22－23］給出了不同于等效控制方法的其他方法，用來設計不確定性隨機系統(tǒng)的SMC律。然而，到目前為止，對于帶有Markovian切換的隨機系統(tǒng)SMC的文獻很少；文獻［24］設計了一種積分切換面，其中切換面中的一些參數(shù)矩陣需要預先給出；文獻［25］針對廣義隨機混合系統(tǒng)提出了一種魯棒積分SMC方法。采用文獻［24－25］中的研究方法，對隨機攝動結構的假設，許多隨機Markovian跳變系統(tǒng)會受到很大限制，而且上述文獻均未考慮系統(tǒng)狀態(tài)中出現(xiàn)時滯的情形。本文將給出一種處理時滯不確定隨機Markovian跳變系統(tǒng)的SMC問題的新方法，獲得一類時滯不確定隨機Markovian跳變系統(tǒng)的滑?？刂破鞯脑O計方案與系統(tǒng)狀態(tài)的次可達性與滑動性的結果。

本文考慮時滯不確定Ito型隨機Markovian跳變系統(tǒng)的SMC問題。該動態(tài)系統(tǒng)［2］包含時變系統(tǒng)參數(shù)不確定性和隨機擾動。此外，它可能涉及到一種非線性未知函數(shù)。針對每一個模態(tài)設計了對應的切換面。利用數(shù)學期望、方差等概念，給出了切換面的次可達性的定義，并設計了保證切換面次可達的SMC律。最后，給出了上述系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)為均方漸近穩(wěn)定性的充分條件。

1 系統(tǒng)描述與主要引理

令｛rt｝t≥0是完全概率空間（Ξ，F(xiàn)，｛Ft｝t≥0，P）上的連續(xù)時間Markovian過程，它在一個有限集合S＝｛1，2，…，N｝上取值，并且

本文考慮如下的時滯不確定隨機Markovian跳變系統(tǒng)

其中：x（t）∈Rn是狀態(tài)向量；u（t）∈Rm是控制輸入向量；w（t）是一維布朗運動，滿足 E｛dw（t）｝＝0和E｛dw2（t）｝＝dt；A（rt），Ad（rt），B（rt），C（rt），Cd（rt）是相應維數(shù)的已知矩陣。不失一般性，這里假設（A（rt），B（rt））可控，rankB（rt）＝m；ΔA（rt），ΔAd（rt），ΔC（rt），ΔCd（rt）是不確定矩陣，τ≡Const.≥0，Φ（t）∈CbFo（［－τ，0］；Rn）是初始函數(shù)（CbFo（［－τ，0］；Rn）表示所有有界、F0－可測、C（［－τ，0］；Rn）－值隨機變量的全體；C（［－τ，0］；Rn）表示從［－τ，0］到 Rn連續(xù)函數(shù)的全體），f（x，rt）∈Rm是未知非線性向量函數(shù)，且滿足下面不等式

這里，η（rt）是適當選取的正常數(shù)。

對每一個可能值rt＝i∈S，與模態(tài)i有關的系統(tǒng)矩陣可表示A（rt）＝Ai，Ad（rt）＝Adi，B（rt）＝Bi，C（rt）＝Ci，C（ri）＝Ci，Cd（rt）＝Cdi，ΔA（rt）＝ΔAi（t），ΔAd（rt）＝ΔAdi（t），ΔC（rt）＝ΔCi（t），ΔCd（rt）＝ΔCdi（t），f（x，rt）＝fi（x），那么系統(tǒng)（2）可描述為

假設1 若輸入矩陣Bi滿足Span（B1）＝Span（B2）＝…＝Span（BN），則存在列滿秩矩陣B∈Rn×m與非線性矩陣Li∈Rm×m，使得對所有的i∈S，有Bi＝BLi。

注1 在系統(tǒng)（4）中，若τ＝0，則得到文獻［14］中的系統(tǒng)；若N＝1，則系統(tǒng)（4）是文［19，21，23］中的隨機時滯系統(tǒng)；文獻［24］中擴散項沒有時滯。因而本文中的系統(tǒng)較之上述文獻更具一般性。

結構

這里，i∈S，Eij，Hij（j＝1，2，3，4）是常數(shù)矩陣，F(xiàn)ii（t）∈Rqij1×qij2滿足FTii（t）Fii（t）≤I，t≥0，j＝1，2，3，4，I為相應維數(shù)的單位矩陣，rank（Hii）＝maxt≥0｛rank（ΔA1i（t））｝。Eij，F(xiàn)ij（t）不能有零行向量或零列向量。

下文證明中用到如下不等式，令X，Y∈Rn。若FT（t）F（t）≤I，則

引理1［11］令ρ，q和γ是常數(shù)，且滿足0＜ρ＜γ。若

則，

這里V（t）∈C（［t0－τ，β），R＋），｜Vt｜＝supV（t＋θ），λ是方程λ＝γ－ρeλτ唯一的正解。

2 主要結果

2.1 滑?？刂坡傻脑O計

作為SMC設計的第一步，構造線性滑模面函數(shù)

在設計滑模面函數(shù)系數(shù)矩陣Ki∈Rm×n之前，矩陣Ki需首先滿足如下2個條件：1）矩陣K2i∈Rm×m是可逆的；2）存在矩陣Hij∈Rqij2×m（j＝1，2，3，4）

從（13）和條件1）可得

對時滯不確定隨機Markovian跳變系統(tǒng)（4）來說，系統(tǒng)的滑模面仍是S（t，i）＝0，發(fā)生在滑模面S（t，i）＝0上的運動被稱為滑動運動?，F(xiàn)在引入一個滑模面次可達性的概念。

定義1 考慮SMC系統(tǒng)（4），對于滿足初始條件x（t0）＝x0，（t0，x0，rt0）∈R＋×Rn×S 的運動軌跡x（t，t0，x0，rt0），在控制u（t）的作用下，如果存在時間T＞0，使得對所有成立，那么系統(tǒng)（4）的滑模面被稱為可達的。如果存在時間T＞0，使得對所有成立，那么系統(tǒng)（4）的滑模面被稱為次可達的。

滑模面次可達性是使用期望，均方等概念來定義閉環(huán)系統(tǒng)運動到滑模面S（t，i）＝0上的程度。與其它傳統(tǒng)方法相比，滑模面的次可達性能夠更清楚地反映出隨機Markovian切換系統(tǒng)的特征。

定理1 對滿足條件（7）～（9）的隨機 Markovian跳變系統(tǒng)（4），線性滑模面函數(shù)由（13）給出，則在下面SMC律（17）的作用下，滑模面S（t，i）＝0是次可達的。系統(tǒng)（4）的SMC律由下式給出

注2 文獻［24－25］對隨機擾動的結構進行了假設，使得當使用等效控制方法進行控制器設計時不需處理隨機攝動，這樣對許多隨機系統(tǒng)限制太多［21］。本文通過引入滑模面次可達這個概念，易于設計處理隨機擾動的SMC器，并且可去掉對隨機擾動結構的保守假設。

2.2 滑動運動的穩(wěn)定性

將SMC律（16）～（17）代入系統(tǒng)（4），可得系統(tǒng)（4）的閉環(huán)系統(tǒng)，如下

?。τ趶娜我獬跏嘉恢茫╰0，x0，rt0）∈R＋×Rn×S出發(fā)的運動軌跡x（t），則存在有限時間T＞0，使得當t＞T＋t0時，有

定義2 時滯隨機Markovian跳變系統(tǒng)（21）是均方穩(wěn)定的，如果對任意的ε＞0，存在δ（ε）＞0，使得當任意φ時，系統(tǒng)（21）的運動軌跡x（t，Φ，r0）滿足E｛‖x（t，Φ，r0）‖｝＜ε，這里r0∈S。更進一步，若系統(tǒng)（21）是均方，則系統(tǒng)（21）的運→ ∞動軌跡是均方漸近穩(wěn)定的。

下面研究系統(tǒng)（21）在條件（22），（23）成立的情況下的穩(wěn)定性，稱此問題為滑動運動的穩(wěn)定性。下面給出系統(tǒng)（21）均方漸近穩(wěn)定的定義。

定理2 若條件ⅰ和ⅱ成立，且0＜μmax＜γmin，則系統(tǒng)（21）的運動軌跡是均方漸近穩(wěn)定的。

由（9）和（14）可得

τ，i）‖2。因此，可得

3 數(shù)值例子仿真

考慮具有2個模態(tài)的時滯不確定隨機Markovian跳變系統(tǒng)，其轉移率矩陣為

圖1 切換信號Fig.1 Switching signal

通過計算可得，μmax＝7，γ＝min＝11.2741，0＜μmax＜γmin，則定理2的條件是滿足的。選擇η1＝0.5，η2＝0.4，ξ2＝0.4，ε1＝0.5，ε2＝0.6可得定理1所需要的模1、模2的SMC律u1（t），u2（t）如下，

本文通過近似離散化方法模擬標準布朗運動，但是不得不處理時滯。仿真時間t∈［0 T］，T＝2；改變量δt＝T／N，N＝103；步長Δt＝R·Δt，R＝1；初始狀態(tài)x（θ）＝［0 0.8］T，θ∈［－0.002 0］。應用上述數(shù)據(jù)，設計MATLAB仿真程序。圖1是模態(tài)的切換；圖2、圖3分別是開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)的運動軌跡x1（t），x2（t）。結果表明開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，但在SMC律作用下閉環(huán)系統(tǒng)是均方漸近穩(wěn)定的。

4 結語

本文研究了時滯不確定隨機Markovian切換系統(tǒng)的SMC，不同于等效控制方法，改進的SMC律使得滑模面具有次可達性。并且在次可達的條件下，給出了滑動運動均方漸近穩(wěn)定的充分條件。由于SMC律不包含隨機噪音，有利于應用到工程實際中。

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