全文彬 彭鵬菲 黃傲林 卞鴻巍

（海軍工程大學(xué) 武漢 430033）

1 引言

上世紀(jì)60年代開(kāi)始逐漸發(fā)展起來(lái)的維修決策建模和分析技術(shù)是運(yùn)籌學(xué)和可靠性工程的重要分支，目的是用解析手段或計(jì)算機(jī)模擬的方法，在各種維修策略下，尋求最佳的更換間隔期或者其他維修活動(dòng)參數(shù)，使得部件或系統(tǒng)單位時(shí)間內(nèi)期望費(fèi)用最少、可用度最大或滿足給定的故障風(fēng)險(xiǎn)等。不同于以可靠性為中心的維修和全員生產(chǎn)維護(hù)等定性的維修理念［1］，維修決策建模和分析技術(shù)側(cè)重于對(duì)系統(tǒng)失效（或劣化過(guò)程）以及維修策略進(jìn)行定量描述，并采用運(yùn)籌學(xué)方法指導(dǎo)維修工作。

Barlow、Proschan和McCall最早開(kāi)始進(jìn)行了維修決策建模和分析技術(shù)研究［2］。早期對(duì)裝備的維修主要是故障后維修和定期檢修，從20世紀(jì)70年代開(kāi)始，油液分析、振動(dòng)監(jiān)測(cè)和紅外熱成像等各種監(jiān)控技術(shù)和監(jiān)控手段得到了廣泛應(yīng)用，視情維修技術(shù)得以推廣，維修決策建模和分析問(wèn)題也日益受到研究人員和工程師的重視［3］。

2 裝備維修性分析

2.1 維修分類(lèi)

過(guò)去幾十年間，維修、更換和檢查已經(jīng)在諸多文獻(xiàn)中被廣泛討論。維修主要被分為兩類(lèi)：修復(fù)性維修和預(yù)防性維修。

1）修復(fù)性維修（Corrective Maintenance）是系統(tǒng)故障發(fā)生時(shí)進(jìn)行的維修。根據(jù) MIL－STD－721B，修復(fù)性維修意指為使部件恢復(fù)到規(guī)定的狀態(tài)而進(jìn)行的故障后的所有維修工作。修復(fù)性維修是一般傳統(tǒng)意義上的維修，即系統(tǒng)發(fā)生故障則對(duì)其進(jìn)行故障排除的維修活動(dòng)。

2）預(yù)防性維修（Preventive Maintenance）是系統(tǒng)在運(yùn)行階段進(jìn)行的一些維修工作。根據(jù) MIL－STD－721B，預(yù)防性維修是指通過(guò)進(jìn)行系統(tǒng)的檢查、探測(cè)和預(yù)防初期故障來(lái)使系統(tǒng)保持在一種規(guī)定的狀態(tài)而進(jìn)行的所有活動(dòng)。

同時(shí)，還可以根據(jù)維修程度即維修后恢復(fù)到的可運(yùn)行狀態(tài)對(duì)維修進(jìn)行分類(lèi)。如表1所示。

表1 維修分類(lèi)

1）完全維修：維修可以使得部件恢復(fù)到全新的狀態(tài)，即修復(fù)如新。顯然用一個(gè)全新部件來(lái)更換故障部件也是完全維修。經(jīng)過(guò)完全維修后部件的壽命分布和故障率都和全新時(shí)刻的一樣。對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行大修就是一次完全維修的例子。

2）最小維修：維修使得系統(tǒng)的故障率恢復(fù)到它失效前一時(shí)刻的狀態(tài)，這就叫做最小維修。此概念最早由Balow和Proshan提出，經(jīng)過(guò)最小維修后系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)被稱(chēng)為修復(fù)如舊。例如更換汽車(chē)上漏氣的車(chē)胎和更換發(fā)動(dòng)機(jī)上壞掉的風(fēng)扇皮帶對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)就是最小維修。因?yàn)榻?jīng)過(guò)這樣的維修后整體的故障率并沒(méi)有發(fā)生變化。

3）不完全維修：經(jīng)過(guò)維修后系統(tǒng)的狀態(tài)沒(méi)有變成全新，但是比故障那一刻的狀態(tài)要年輕，這樣的維修活動(dòng)叫做不完全維修。通常情況下，假定不完全維修使得系統(tǒng)的狀態(tài)介于完全如新和完全如舊之間的某個(gè)狀態(tài)。例如對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)試就是一種不完全維修，因?yàn)檎{(diào)適后發(fā)動(dòng)機(jī)并不會(huì)恢復(fù)到全新的狀態(tài)而是狀態(tài)有很大的改進(jìn)。很顯然，不完全維修包含了普通維修中的兩種極端情況：最小維修和完全維修。

4）較差維修：經(jīng)過(guò)維修后使得系統(tǒng)的故障率和實(shí)際年齡都有所增加，但系統(tǒng)還不至于癱瘓，這樣的維修活動(dòng)稱(chēng)為較差維修。它令系統(tǒng)的運(yùn)行環(huán)境比故障那一刻還要糟糕，這往往可能是由于維修不當(dāng)所造成的狀態(tài)變差。

5）最差維修：使得系統(tǒng)失效或者癱瘓的一種維修活動(dòng)。

在維修過(guò)程中對(duì)失效部件只進(jìn)行了部分維修、找錯(cuò)了維修部件或者對(duì)故障部件進(jìn)行維修時(shí)損傷到其他部件，都有可能會(huì)導(dǎo)致不完全維修和較差維修等情況發(fā)生。

2.2 換件策略下備件需求分析

在費(fèi)用效率均衡的原則指導(dǎo)下，對(duì)于單價(jià)較低、相對(duì)簡(jiǎn)單、復(fù)雜程度較低的裝備，一般采用換件維修策略，即故障后立即用備件將故障件換下，顯然這是一種完全維修。在此種策略下，根據(jù)裝備的分類(lèi)、壽命的分布類(lèi)型及其適用范圍，我們可以確定備件的計(jì)算模型，從而確定備件的數(shù)量。下面以壽命服從指數(shù)分布的裝備為例，進(jìn)行備件需求分析。

指數(shù)分布的函數(shù)為R（t）＝e－λt，其中故障率（也稱(chēng)失效率）λ為一常數(shù)，即系統(tǒng)呈現(xiàn)無(wú)記憶性，對(duì)于這類(lèi)裝備修復(fù)性維修和換件維修具有相同的效果，即系統(tǒng)“修復(fù)如新”。更新過(guò)程被廣泛運(yùn)用于此類(lèi)裝備的維修建模分析。在時(shí)間為t的任意范圍內(nèi)，備件需求數(shù)量滿足期望值為λt的泊松分布。

當(dāng)初始備件數(shù)量為s時(shí)，備件滿足率為

因此，可以根據(jù)備件滿足率P來(lái)確定裝備的備件存儲(chǔ)量（其中N為裝備中某部件的實(shí)際用數(shù)）。

pi（ki）表示第i個(gè)部件在規(guī)定時(shí)間t內(nèi)備件需求量為ki的概率。可以證明：

對(duì)于壽命服從正態(tài)分布的裝備，其備件需求計(jì)算方法可描述如下：

若已知正態(tài)壽命件均值為E，標(biāo)準(zhǔn)差為δ，更換周期（部件故障后，能夠得到該件的時(shí)間）為t，需要備件時(shí)能得到備件的概率P條件下，單項(xiàng)（裝備中需用該部件，但只有一個(gè)）備件需求量SN表達(dá)式為

2.3 劣化系統(tǒng)維修策略分析

針對(duì)退化系統(tǒng)的各種維修策略，很多文獻(xiàn)進(jìn)行了討論，其中關(guān)于系統(tǒng)的維修策略和最優(yōu)維修問(wèn)題的研究大致可分為有狀態(tài)監(jiān)測(cè)設(shè)備和沒(méi)有狀態(tài)監(jiān)測(cè)設(shè)備兩大類(lèi)。對(duì)于沒(méi)有監(jiān)測(cè)裝置的系統(tǒng)，可以當(dāng)作只有工作和故障兩個(gè)狀態(tài)的情況處理，其維修策略：1）對(duì)系統(tǒng)作定期（或成批）更換以及定期小修［4］；2）通過(guò)對(duì)故障時(shí)間的預(yù)測(cè)進(jìn)行計(jì)劃維修［5］。對(duì)有狀態(tài)檢測(cè)裝置系統(tǒng)的維修策略主要針對(duì)多狀態(tài)退化情形，通過(guò)監(jiān)測(cè)設(shè)備跟蹤，確定系統(tǒng)任意時(shí)刻的狀態(tài)。根據(jù)不同的最優(yōu)準(zhǔn)則，基于狀態(tài)觀測(cè)采用恰當(dāng)?shù)木S修策略，這方面也有較多文獻(xiàn)［6～8］。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)后，得出的最優(yōu)維修策略常常優(yōu)于定期的計(jì)劃維修策略，但要觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)可能要花費(fèi)很多費(fèi)用，相應(yīng)的模型也非常復(fù)雜，不易求解。

對(duì)于單位造價(jià)高、功能結(jié)構(gòu)復(fù)雜的裝備系統(tǒng)，實(shí)際使用中我們一般趨向于采用一種維修策略使得其長(zhǎng)期運(yùn)行的費(fèi)用率維持在較低水平。當(dāng)此類(lèi)裝備發(fā)生故障時(shí)，我們一般先對(duì)其進(jìn)行維修，由于裝備的復(fù)雜程度較高，一般很難修復(fù)如新，“不完全維修”模型很好地描述了此類(lèi)系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行過(guò)程。系統(tǒng)經(jīng)過(guò)多次維修后性能不斷劣化［9］，系統(tǒng)修理后的工作壽命越來(lái)越短，系統(tǒng)的維修時(shí)間來(lái)越長(zhǎng)，最終系統(tǒng)不能再工作。

對(duì)于劣化系統(tǒng)較常采用的維修換件策略為：P（N）、P（T）、P（N，T）。其中P表示Policy，下面分別對(duì)每種策略進(jìn)行說(shuō)明。

P（N）：當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)對(duì)其進(jìn)行維修，當(dāng)故障次數(shù)達(dá)到N時(shí)不再對(duì)其維修而進(jìn)行更換；

P（T）：當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)若壽命大于T則進(jìn)行更換，否則對(duì)其進(jìn)行維修；

P（N，T）：當(dāng)系統(tǒng)故障時(shí)壽命大于T或者故障次數(shù)累計(jì)達(dá)N則進(jìn)行更換，否則對(duì)其進(jìn)行維修。

以P（N）為例，系統(tǒng)在一個(gè)換件周期內(nèi)的運(yùn)行時(shí)序如圖1所示。其中Xi，Yi分別表示為第i－1次修后工作時(shí)間和第i次維修所需時(shí)間。

圖1 系統(tǒng)周期內(nèi)運(yùn)行時(shí)序圖

3 復(fù)雜艦載裝備系統(tǒng)維修決策模型

圖2 某復(fù)雜裝備系統(tǒng)運(yùn)行周期時(shí)序圖

現(xiàn)代艦載裝備系統(tǒng)復(fù)雜程度高，保障難度大。裝備系統(tǒng)在其壽命周期內(nèi)一般呈劣化態(tài)勢(shì)，根據(jù)前面的介紹假設(shè)一個(gè)劣化系統(tǒng)有S1，…，SN－1個(gè)工作狀態(tài)和F1，…，F(xiàn)N－1個(gè)中間故障狀態(tài)，還有FN這樣一個(gè)最終故障狀態(tài)，S1表示系統(tǒng)初始狀態(tài)，系統(tǒng)周期內(nèi)的運(yùn)行情況如圖2所示。

假設(shè)系統(tǒng)在狀態(tài)Si下的平均工作時(shí)間為λi，然后以概率pii進(jìn)入中間故障狀態(tài)Fi，以概率pij進(jìn)入工作狀態(tài)j（i≠j），或者最終故障狀態(tài)FN（j＝N），其中：

由此可見(jiàn)，系統(tǒng)的劣化過(guò)程是一個(gè)半馬爾可夫過(guò)程，狀態(tài)空間S＝｛S1，…，SN－1，F(xiàn)1，…，F(xiàn)N｝。不妨設(shè)維修時(shí)可采用的決策集為｛Af，Ar｝，其中Af表示通過(guò)不完全維修將系統(tǒng)恢復(fù)至故障前狀態(tài)，即將系統(tǒng)由狀態(tài)Fi恢復(fù)至Si，平均修復(fù)時(shí)間為μi，維修費(fèi)用率為fi，其中i＜N。Ar表示換件維修，即對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更換，更換耗時(shí)為固定時(shí)間τ，固定費(fèi)用c。記Ai為當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)Fi時(shí)可采用的維修策略，顯然有：

設(shè)系統(tǒng)處于故障狀態(tài)F1，…，F(xiàn)N下對(duì)應(yīng)的維修策略為A＝｛A1，A2，…，AN｝。令TA（Si），TA（Fk）分別表示系統(tǒng)從初次進(jìn)入工作狀態(tài)Si或故障狀態(tài)Fk直到下次替換新系統(tǒng)完成的平均時(shí)間。CA（Si），CA（Fk）分別表示上述兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均期望維修費(fèi)用。則有下述遞歸方程：

1）當(dāng)Ai＝Af（1≤i＜N）時(shí)

2）當(dāng)Ai＝Ar（1≤i≤N）時(shí)

邊界條件為

則最優(yōu)決策形如A＊＝｛A＊1，A＊2，…，Ar｝使系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行費(fèi)用率最低，設(shè)為g＊，則應(yīng)有：

由式（1）～（4），我們運(yùn)用半馬爾可夫決策過(guò)程的策略迭代算法［10］進(jìn)行求解，步驟如下：

1）給定初始策略A（0），其中＝Ar

2）初始任選一個(gè)狀態(tài)Fs（1≤s≤N），令VA（Fs）＝0

解方程（5）（6）得唯一解｛g（A），VA（Fk）：k＝1，2，…，N｝

3）利用上述結(jié)果在每個(gè)故障狀態(tài)Fk（1≤k≤N－1）下，令｛VF｝為該故障狀態(tài)下，采用不同維修策略可能得到的所有VA（Fk），取其中最下者對(duì)應(yīng)的維修策略，即Ak（1）＝AforAr，最后得出新的維修策略A（1）。

4）如果A（1）＝A（0）算法結(jié)束，否則用 A（1）代替 A（0）回到2）重新計(jì)算

4 算例

假設(shè)某劣化系統(tǒng)有五個(gè)不同的工作狀態(tài)S1，S2，S3，S4，S5和六種故障狀態(tài)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，F(xiàn)5，F(xiàn)6，其中前五種故障狀態(tài)可修，第六種故障狀態(tài)不可修。不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

不同工作狀態(tài)下的平均工作時(shí)間為：λ1＝60，λ2＝55，λ3＝45，λ4＝30，λ5＝16，前五種可修故障狀態(tài)下的維修平均時(shí)間和維修費(fèi)用率分別為：μ1＝1.5，f1＝100；μ2＝1.7，f2＝120；μ3＝2，f3＝140；μ4＝2.5，f4＝180；μ5＝3.5，f5＝230更換固定耗時(shí)τ＝10，費(fèi)用c＝900。

令初始 策略 A（0）＝｛Af，Af，Af，Af，Af，Ar｝，且 VA（F3）＝0，則按照前述迭代算法的步驟得到最優(yōu)策略為：A（0）＝｛Af，Af，Af，Af，Ar，Ar｝，即當(dāng)系統(tǒng)處于第5類(lèi)故障狀態(tài)時(shí)將不再進(jìn)行維修而是直接更換。從上面的討論可知影響最優(yōu)維修策略的主要參數(shù)有系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率、不同狀態(tài)下的維修時(shí)間和費(fèi)用率以及裝備本身的價(jià)值等。

5 結(jié)語(yǔ)

劣化系統(tǒng)是艦載裝備中較常見(jiàn)的一類(lèi)系統(tǒng)。對(duì)于此類(lèi)系統(tǒng)，由于其構(gòu)成復(fù)雜，系統(tǒng)在壽命周期內(nèi)有多種狀態(tài)，呈現(xiàn)階段劣化的特性。對(duì)于此類(lèi)裝備傳統(tǒng)的維修方式往往忽略了系統(tǒng)劣化的階段性而采用了統(tǒng)一的故障后維修的方式，當(dāng)不能維修時(shí)進(jìn)行更換，導(dǎo)致長(zhǎng)期維修費(fèi)用率一直處于高位水平。本文針對(duì)劣化系統(tǒng)的特點(diǎn)采用半馬爾可夫過(guò)程對(duì)其維修過(guò)程進(jìn)行建模，給出了在最優(yōu)維修策略的一般迭代算法。在本文分析結(jié)果的基礎(chǔ)上可以根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率、維修時(shí)間、費(fèi)用等因素制定合理的維修策略，大大降低了維修費(fèi)用。該方法對(duì)于加強(qiáng)裝備維護(hù)、降低裝備運(yùn)行成本具有指導(dǎo)作用，對(duì)裝備的備件需求分析也具有一定的參考價(jià)值。

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