全文彬 彭鵬菲 黃傲林 卞鴻巍

（海軍工程大學(xué) 武漢 430033）

1 引言

上世紀(jì)60年代開始逐漸發(fā)展起來的維修決策建模和分析技術(shù)是運籌學(xué)和可靠性工程的重要分支，目的是用解析手段或計算機(jī)模擬的方法，在各種維修策略下，尋求最佳的更換間隔期或者其他維修活動參數(shù)，使得部件或系統(tǒng)單位時間內(nèi)期望費用最少、可用度最大或滿足給定的故障風(fēng)險等。不同于以可靠性為中心的維修和全員生產(chǎn)維護(hù)等定性的維修理念［1］，維修決策建模和分析技術(shù)側(cè)重于對系統(tǒng)失效（或劣化過程）以及維修策略進(jìn)行定量描述，并采用運籌學(xué)方法指導(dǎo)維修工作。

Barlow、Proschan和McCall最早開始進(jìn)行了維修決策建模和分析技術(shù)研究［2］。早期對裝備的維修主要是故障后維修和定期檢修，從20世紀(jì)70年代開始，油液分析、振動監(jiān)測和紅外熱成像等各種監(jiān)控技術(shù)和監(jiān)控手段得到了廣泛應(yīng)用，視情維修技術(shù)得以推廣，維修決策建模和分析問題也日益受到研究人員和工程師的重視［3］。

2 裝備維修性分析

2.1 維修分類

過去幾十年間，維修、更換和檢查已經(jīng)在諸多文獻(xiàn)中被廣泛討論。維修主要被分為兩類：修復(fù)性維修和預(yù)防性維修。

1）修復(fù)性維修（Corrective Maintenance）是系統(tǒng)故障發(fā)生時進(jìn)行的維修。根據(jù) MIL－STD－721B，修復(fù)性維修意指為使部件恢復(fù)到規(guī)定的狀態(tài)而進(jìn)行的故障后的所有維修工作。修復(fù)性維修是一般傳統(tǒng)意義上的維修，即系統(tǒng)發(fā)生故障則對其進(jìn)行故障排除的維修活動。

2）預(yù)防性維修（Preventive Maintenance）是系統(tǒng)在運行階段進(jìn)行的一些維修工作。根據(jù) MIL－STD－721B，預(yù)防性維修是指通過進(jìn)行系統(tǒng)的檢查、探測和預(yù)防初期故障來使系統(tǒng)保持在一種規(guī)定的狀態(tài)而進(jìn)行的所有活動。

同時，還可以根據(jù)維修程度即維修后恢復(fù)到的可運行狀態(tài)對維修進(jìn)行分類。如表1所示。

表1 維修分類

1）完全維修：維修可以使得部件恢復(fù)到全新的狀態(tài)，即修復(fù)如新。顯然用一個全新部件來更換故障部件也是完全維修。經(jīng)過完全維修后部件的壽命分布和故障率都和全新時刻的一樣。對發(fā)動機(jī)進(jìn)行大修就是一次完全維修的例子。

2）最小維修：維修使得系統(tǒng)的故障率恢復(fù)到它失效前一時刻的狀態(tài)，這就叫做最小維修。此概念最早由Balow和Proshan提出，經(jīng)過最小維修后系統(tǒng)的運行狀態(tài)被稱為修復(fù)如舊。例如更換汽車上漏氣的車胎和更換發(fā)動機(jī)上壞掉的風(fēng)扇皮帶對于整個系統(tǒng)來說就是最小維修。因為經(jīng)過這樣的維修后整體的故障率并沒有發(fā)生變化。

3）不完全維修：經(jīng)過維修后系統(tǒng)的狀態(tài)沒有變成全新，但是比故障那一刻的狀態(tài)要年輕，這樣的維修活動叫做不完全維修。通常情況下，假定不完全維修使得系統(tǒng)的狀態(tài)介于完全如新和完全如舊之間的某個狀態(tài)。例如對發(fā)動機(jī)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)試就是一種不完全維修，因為調(diào)適后發(fā)動機(jī)并不會恢復(fù)到全新的狀態(tài)而是狀態(tài)有很大的改進(jìn)。很顯然，不完全維修包含了普通維修中的兩種極端情況：最小維修和完全維修。

4）較差維修：經(jīng)過維修后使得系統(tǒng)的故障率和實際年齡都有所增加，但系統(tǒng)還不至于癱瘓，這樣的維修活動稱為較差維修。它令系統(tǒng)的運行環(huán)境比故障那一刻還要糟糕，這往往可能是由于維修不當(dāng)所造成的狀態(tài)變差。

5）最差維修：使得系統(tǒng)失效或者癱瘓的一種維修活動。

在維修過程中對失效部件只進(jìn)行了部分維修、找錯了維修部件或者對故障部件進(jìn)行維修時損傷到其他部件，都有可能會導(dǎo)致不完全維修和較差維修等情況發(fā)生。

2.2 換件策略下備件需求分析

在費用效率均衡的原則指導(dǎo)下，對于單價較低、相對簡單、復(fù)雜程度較低的裝備，一般采用換件維修策略，即故障后立即用備件將故障件換下，顯然這是一種完全維修。在此種策略下，根據(jù)裝備的分類、壽命的分布類型及其適用范圍，我們可以確定備件的計算模型，從而確定備件的數(shù)量。下面以壽命服從指數(shù)分布的裝備為例，進(jìn)行備件需求分析。

指數(shù)分布的函數(shù)為R（t）＝e－λt，其中故障率（也稱失效率）λ為一常數(shù)，即系統(tǒng)呈現(xiàn)無記憶性，對于這類裝備修復(fù)性維修和換件維修具有相同的效果，即系統(tǒng)“修復(fù)如新”。更新過程被廣泛運用于此類裝備的維修建模分析。在時間為t的任意范圍內(nèi)，備件需求數(shù)量滿足期望值為λt的泊松分布。

當(dāng)初始備件數(shù)量為s時，備件滿足率為

因此，可以根據(jù)備件滿足率P來確定裝備的備件存儲量（其中N為裝備中某部件的實際用數(shù)）。

pi（ki）表示第i個部件在規(guī)定時間t內(nèi)備件需求量為ki的概率。可以證明：

對于壽命服從正態(tài)分布的裝備，其備件需求計算方法可描述如下：

若已知正態(tài)壽命件均值為E，標(biāo)準(zhǔn)差為δ，更換周期（部件故障后，能夠得到該件的時間）為t，需要備件時能得到備件的概率P條件下，單項（裝備中需用該部件，但只有一個）備件需求量SN表達(dá)式為

2.3 劣化系統(tǒng)維修策略分析

針對退化系統(tǒng)的各種維修策略，很多文獻(xiàn)進(jìn)行了討論，其中關(guān)于系統(tǒng)的維修策略和最優(yōu)維修問題的研究大致可分為有狀態(tài)監(jiān)測設(shè)備和沒有狀態(tài)監(jiān)測設(shè)備兩大類。對于沒有監(jiān)測裝置的系統(tǒng)，可以當(dāng)作只有工作和故障兩個狀態(tài)的情況處理，其維修策略：1）對系統(tǒng)作定期（或成批）更換以及定期小修［4］；2）通過對故障時間的預(yù)測進(jìn)行計劃維修［5］。對有狀態(tài)檢測裝置系統(tǒng)的維修策略主要針對多狀態(tài)退化情形，通過監(jiān)測設(shè)備跟蹤，確定系統(tǒng)任意時刻的狀態(tài)。根據(jù)不同的最優(yōu)準(zhǔn)則，基于狀態(tài)觀測采用恰當(dāng)?shù)木S修策略，這方面也有較多文獻(xiàn)［6～8］。對系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測后，得出的最優(yōu)維修策略常常優(yōu)于定期的計劃維修策略，但要觀測系統(tǒng)的狀態(tài)可能要花費很多費用，相應(yīng)的模型也非常復(fù)雜，不易求解。

對于單位造價高、功能結(jié)構(gòu)復(fù)雜的裝備系統(tǒng)，實際使用中我們一般趨向于采用一種維修策略使得其長期運行的費用率維持在較低水平。當(dāng)此類裝備發(fā)生故障時，我們一般先對其進(jìn)行維修，由于裝備的復(fù)雜程度較高，一般很難修復(fù)如新，“不完全維修”模型很好地描述了此類系統(tǒng)的實際運行過程。系統(tǒng)經(jīng)過多次維修后性能不斷劣化［9］，系統(tǒng)修理后的工作壽命越來越短，系統(tǒng)的維修時間來越長，最終系統(tǒng)不能再工作。

對于劣化系統(tǒng)較常采用的維修換件策略為：P（N）、P（T）、P（N，T）。其中P表示Policy，下面分別對每種策略進(jìn)行說明。

P（N）：當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時對其進(jìn)行維修，當(dāng)故障次數(shù)達(dá)到N時不再對其維修而進(jìn)行更換；

P（T）：當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時若壽命大于T則進(jìn)行更換，否則對其進(jìn)行維修；

P（N，T）：當(dāng)系統(tǒng)故障時壽命大于T或者故障次數(shù)累計達(dá)N則進(jìn)行更換，否則對其進(jìn)行維修。

以P（N）為例，系統(tǒng)在一個換件周期內(nèi)的運行時序如圖1所示。其中Xi，Yi分別表示為第i－1次修后工作時間和第i次維修所需時間。

圖1 系統(tǒng)周期內(nèi)運行時序圖

3 復(fù)雜艦載裝備系統(tǒng)維修決策模型

圖2 某復(fù)雜裝備系統(tǒng)運行周期時序圖

現(xiàn)代艦載裝備系統(tǒng)復(fù)雜程度高，保障難度大。裝備系統(tǒng)在其壽命周期內(nèi)一般呈劣化態(tài)勢，根據(jù)前面的介紹假設(shè)一個劣化系統(tǒng)有S1，…，SN－1個工作狀態(tài)和F1，…，F(xiàn)N－1個中間故障狀態(tài)，還有FN這樣一個最終故障狀態(tài)，S1表示系統(tǒng)初始狀態(tài)，系統(tǒng)周期內(nèi)的運行情況如圖2所示。

假設(shè)系統(tǒng)在狀態(tài)Si下的平均工作時間為λi，然后以概率pii進(jìn)入中間故障狀態(tài)Fi，以概率pij進(jìn)入工作狀態(tài)j（i≠j），或者最終故障狀態(tài)FN（j＝N），其中：

由此可見，系統(tǒng)的劣化過程是一個半馬爾可夫過程，狀態(tài)空間S＝｛S1，…，SN－1，F(xiàn)1，…，F(xiàn)N｝。不妨設(shè)維修時可采用的決策集為｛Af，Ar｝，其中Af表示通過不完全維修將系統(tǒng)恢復(fù)至故障前狀態(tài)，即將系統(tǒng)由狀態(tài)Fi恢復(fù)至Si，平均修復(fù)時間為μi，維修費用率為fi，其中i＜N。Ar表示換件維修，即對系統(tǒng)進(jìn)行更換，更換耗時為固定時間τ，固定費用c。記Ai為當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)Fi時可采用的維修策略，顯然有：

設(shè)系統(tǒng)處于故障狀態(tài)F1，…，F(xiàn)N下對應(yīng)的維修策略為A＝｛A1，A2，…，AN｝。令TA（Si），TA（Fk）分別表示系統(tǒng)從初次進(jìn)入工作狀態(tài)Si或故障狀態(tài)Fk直到下次替換新系統(tǒng)完成的平均時間。CA（Si），CA（Fk）分別表示上述兩個時間段內(nèi)的平均期望維修費用。則有下述遞歸方程：

1）當(dāng)Ai＝Af（1≤i＜N）時

2）當(dāng)Ai＝Ar（1≤i≤N）時

邊界條件為

則最優(yōu)決策形如A＊＝｛A＊1，A＊2，…，Ar｝使系統(tǒng)長期運行費用率最低，設(shè)為g＊，則應(yīng)有：

由式（1）～（4），我們運用半馬爾可夫決策過程的策略迭代算法［10］進(jìn)行求解，步驟如下：

1）給定初始策略A（0），其中＝Ar

2）初始任選一個狀態(tài)Fs（1≤s≤N），令VA（Fs）＝0

解方程（5）（6）得唯一解｛g（A），VA（Fk）：k＝1，2，…，N｝

3）利用上述結(jié)果在每個故障狀態(tài)Fk（1≤k≤N－1）下，令｛VF｝為該故障狀態(tài)下，采用不同維修策略可能得到的所有VA（Fk），取其中最下者對應(yīng)的維修策略，即Ak（1）＝AforAr，最后得出新的維修策略A（1）。

4）如果A（1）＝A（0）算法結(jié)束，否則用 A（1）代替 A（0）回到2）重新計算

4 算例

假設(shè)某劣化系統(tǒng)有五個不同的工作狀態(tài)S1，S2，S3，S4，S5和六種故障狀態(tài)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，F(xiàn)5，F(xiàn)6，其中前五種故障狀態(tài)可修，第六種故障狀態(tài)不可修。不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

不同工作狀態(tài)下的平均工作時間為：λ1＝60，λ2＝55，λ3＝45，λ4＝30，λ5＝16，前五種可修故障狀態(tài)下的維修平均時間和維修費用率分別為：μ1＝1.5，f1＝100；μ2＝1.7，f2＝120；μ3＝2，f3＝140；μ4＝2.5，f4＝180；μ5＝3.5，f5＝230更換固定耗時τ＝10，費用c＝900。

令初始 策略 A（0）＝｛Af，Af，Af，Af，Af，Ar｝，且 VA（F3）＝0，則按照前述迭代算法的步驟得到最優(yōu)策略為：A（0）＝｛Af，Af，Af，Af，Ar，Ar｝，即當(dāng)系統(tǒng)處于第5類故障狀態(tài)時將不再進(jìn)行維修而是直接更換。從上面的討論可知影響最優(yōu)維修策略的主要參數(shù)有系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率、不同狀態(tài)下的維修時間和費用率以及裝備本身的價值等。

5 結(jié)語

劣化系統(tǒng)是艦載裝備中較常見的一類系統(tǒng)。對于此類系統(tǒng)，由于其構(gòu)成復(fù)雜，系統(tǒng)在壽命周期內(nèi)有多種狀態(tài)，呈現(xiàn)階段劣化的特性。對于此類裝備傳統(tǒng)的維修方式往往忽略了系統(tǒng)劣化的階段性而采用了統(tǒng)一的故障后維修的方式，當(dāng)不能維修時進(jìn)行更換，導(dǎo)致長期維修費用率一直處于高位水平。本文針對劣化系統(tǒng)的特點采用半馬爾可夫過程對其維修過程進(jìn)行建模，給出了在最優(yōu)維修策略的一般迭代算法。在本文分析結(jié)果的基礎(chǔ)上可以根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率、維修時間、費用等因素制定合理的維修策略，大大降低了維修費用。該方法對于加強(qiáng)裝備維護(hù)、降低裝備運行成本具有指導(dǎo)作用，對裝備的備件需求分析也具有一定的參考價值。

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