薄 遠(yuǎn) 朱衛(wèi)綱 盛 瑩

（1.裝備學(xué)院 北京 101416）（2.63888部隊(duì) 濟(jì)源 454650）

1 引言

人們對信號進(jìn)行處理，其最終目的就是要對單通道或多通道的有限長觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的處理，從而檢測出隱含于這些觀測數(shù)據(jù)中的各種重要信息并加以利用。高階統(tǒng)計量在信號處理與系統(tǒng)分析中扮演著一個極為重要的角色。根據(jù)最近的資料顯示，在通信、生物醫(yī)學(xué)工程、語音處理、地震信號分析、圖象處理、雷達(dá)、聲納等領(lǐng)域都進(jìn)行了有關(guān)高階統(tǒng)計量處理的研究，具體應(yīng)用于時延估計、系統(tǒng)辨識、自適應(yīng)濾波及陣處理等方面［1～2］。

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，通信方便面臨著日益嚴(yán)重的對抗威脅，而無源或被動探測技術(shù)是解決通信對抗威脅的有效途徑之一，其中對接收信號進(jìn)行高階統(tǒng)計量的處理是一個重要的研究方向，它能輔助我方有效地提高區(qū)域防御系統(tǒng)的生存和反擊能力，這也是近十幾年來國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)［3］。

高階統(tǒng)計量能提供比功率譜更多的有用信息，能夠有效地檢測信號幅度以外的其他信息，這就具有明顯的優(yōu)點(diǎn)。高階統(tǒng)計量作為非高斯信號處理的主要分析工具，不僅提供高階相關(guān)信息，而且能夠衡量隨機(jī)序列偏離正態(tài)的程度，并對加性高斯噪聲（白色或有色）不敏感。這些特點(diǎn)都非常有利于特征參數(shù)的提取［4］。

2 高階統(tǒng)計量理論［5］

所謂高階統(tǒng)計量，通常理解為高階矩、高階累積量以及它們的譜［6］。本文主要討論高階矩和高階累積量，對它們的高階矩譜和高階累積量譜暫不作分析。我們首先將利用特征函數(shù)來定義高階矩和高階累積量，然后導(dǎo)出它們的相關(guān)性質(zhì)，最后推導(dǎo)出高階矩和高階累積量之間的變換關(guān)系。

2.1 隨機(jī)變量的特征函數(shù)

若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)數(shù)為，則稱：

為x的第一特征函數(shù)。

設(shè)多維隨機(jī)變量x1，x2，…，xn聯(lián)合概率密度函數(shù)為f（x1，x2，…，xn），則n維隨機(jī)變量的第一聯(lián)合特征函數(shù)為

第二特征函數(shù)Ψ（ω）定義為第一特征函數(shù)的自然對數(shù)：

第二聯(lián)和特征函數(shù)定義為第一聯(lián)和特征函數(shù)的自然對數(shù)：

2.2 高階矩和高階累積量

隨機(jī)變量的第一特征函數(shù)的階矩mk為

通常將第一特征函數(shù)稱為矩（Moment）生成函數(shù)。

隨機(jī)變量x的第二特征函數(shù)Ψ（ω）的k階累積量ck為

第二特征函數(shù)Ψ（ω）又稱累積量（Cummlant）生成函數(shù)。

對隨機(jī)變量的高階矩和高階累積量之定義加以推廣，可以得出隨機(jī)向量的高階矩和高階累積量。令X＝［x1，x2，…，xk］T是一隨機(jī)向量。其特征函數(shù)為

式（8）就是隨機(jī)向量 X＝［x1，x2，…，xk］T的r階矩的定義。類似的，隨機(jī)向量的r階累積量可用其累積量生成函數(shù)導(dǎo)出：

特別的，當(dāng)取r1＝r2＝…rk＝1時，我們就可以得到k個隨機(jī)變量的k階矩（Moment）和k階累積量（Cummlant），分別記作：

對于平穩(wěn)隨機(jī)過程的高階矩和高階累積量：設(shè)｛x（n）｝為零均值的k階平穩(wěn)隨機(jī)過程，則該平穩(wěn)隨機(jī)過程的k階矩mkx（τ1，…τk－1）定義為

而k階累積量ckx（τ1，…τk－1）定義為

3 通信信號高階矩和高階累計量計算

通過接收機(jī)，我們在不同的時間里對幾個不同電臺所發(fā)射的不同調(diào)制樣式的短波通信信號進(jìn)行了不同采樣速率的接收。對接收到的信號進(jìn)行去均值處理，去其直流成分，然后再對信號的高階統(tǒng)計量（二階、三階、四階）進(jìn)行計算，并畫出曲線圖進(jìn)行比較。

如果，x＝｛xi｝，i＝1，…，N 表示隨機(jī)序列或信號的采樣，則序列的矩為

其中E｛｝表示我們所熟悉的期望值的運(yùn)算符；p（x）表示的是xn的概率密度函數(shù)。當(dāng)采集得到的信號時間長度比較長時，認(rèn)為是各態(tài)歷經(jīng)和平穩(wěn)的［7］，同時進(jìn)行了去均值處理，這樣則采樣信號的矩可由下式估計：

同樣它的n階累計量為

這樣，前四個累計量可以用下式計算［8］：

4 通信信號的高階統(tǒng)計量特征分析

1）為了對同一電臺、同一種調(diào)制樣式信號（本文只對AM信號進(jìn)行了試驗(yàn)分析）進(jìn)行分析，我們在兩個時間段內(nèi)對AM666KHz電臺的二階矩和二階累計量信號進(jìn)行采樣并通過Simulink［9～10］進(jìn)行了仿真分析，如圖1和圖2，比較發(fā)現(xiàn)：測量的時間不同對同一電臺AM信號的高階統(tǒng)計量參數(shù)影響不大，它們的各階統(tǒng)計量的波動范圍都幾乎在同一個很小的區(qū)間內(nèi)，這反應(yīng)了該電臺的同一調(diào)制樣式的信號高階統(tǒng)計量參數(shù)的相對穩(wěn)定性。

圖1 AM666KHz電臺不同采樣速率的二階矩值

圖2 AM666KHz電臺不同采樣速率的二階累積量值

2）現(xiàn)在我們對四個不同電臺的AM信號進(jìn)行了采樣，它們是800KHz、864KHz、936KHz、1592.5KHz。發(fā)現(xiàn)它們各自的高階統(tǒng)計量參數(shù)仍是較平穩(wěn)的，不同的是各自的中心值和波動范圍不同，以此我們可以將這些電臺區(qū)分開。現(xiàn)將它們的各階統(tǒng)計量畫出，如圖3～圖8所示。

圖3 四種電臺AM信號的二階矩值

圖4 四種電臺AM信號的二階累積量值

圖5 四種電臺AM信號的三階矩值

圖6 四種電臺AM信號的三階累積量值

因此，對所有電臺的高階統(tǒng)計量參數(shù)計算、畫曲線圖后發(fā)現(xiàn)一個共同特點(diǎn)：對一定采樣速率得到的采樣信號，當(dāng)對它們合并數(shù)目越多時（即新的采樣信號的時間長度越長），信號的高階統(tǒng)計量參數(shù)曲線越平穩(wěn)，即參數(shù)越集中；而采樣信號截的越短時（即新的采樣信號的時間長度越短），信號的高階統(tǒng)計量參數(shù)曲線越雜亂，抖動越大，即參數(shù)越分散。

圖7 四種電臺AM信號的四階矩值

圖8 四種電臺AM信號的四階累積量值

3）通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，我們得出了結(jié)論：在對同一電臺的同一種調(diào)制樣式（AM）信號在不同時間得到的高階統(tǒng)計量的值是相對穩(wěn)定的，區(qū)別也只是隨機(jī)噪聲帶來的。這就為我們利用高階統(tǒng)計量去識別這一信號的電臺提供了實(shí)驗(yàn)依據(jù)。

同樣，在對不同采樣時間長度的比較中得到：采樣時間越長，高階統(tǒng)計量越穩(wěn)定。對于這種現(xiàn)象，我們可以這樣理解：因?yàn)槲覀冊谟嬎阈盘柛唠A統(tǒng)計量的時候，所采用的算法的前提條件是信號為各態(tài)歷經(jīng)和平穩(wěn)的，而我們實(shí)際試驗(yàn)中采樣的信號，由于噪聲的影響和采樣時間較短等因素，我們分析的信號是不太滿足上述條件。但是如果采樣信號時間越長，它就是越接近各態(tài)歷經(jīng)和平穩(wěn)的，也就越滿足前提條件。當(dāng)合并信號，實(shí)際上是在加長采樣信號的時間長度，而截短信號，是在減少采樣信號時間。而同一電臺發(fā)射的同一調(diào)制樣式的信號基本是穩(wěn)定的，這樣當(dāng)越接近條件時，對實(shí)驗(yàn)的效果越好，高階統(tǒng)計量參數(shù)曲線也就越顯得平穩(wěn)。

5 結(jié)語

由于諸多因素的影響，對通信信號高階統(tǒng)計量特征的研究還沒有深入下去。這篇論文僅是對該方面的一個淺顯的探索，只是其中的一小部分。對于下一步工作，可以從以下幾個方面開展：

1）解決算法。由于計算信號高階統(tǒng)計量的計算量太大，我們總是尋找簡便的算法，這樣就會出現(xiàn)不少的前提條件，如何使采樣得到的信號更滿足前提條件，這是需要考慮的；同時，對由于前提條件的不同而產(chǎn)生的高階統(tǒng)計量的誤差，還要進(jìn)行分析校正。

2）信號樣本。由于本文只著重對AM信號進(jìn)行了分析，而沒對其他的信號作進(jìn)一步研究，這樣所得到的參數(shù)還不充足。我們可以在對各種調(diào)制樣式的信號采樣時，不斷改變采樣信號的時間長度，看看在什么樣的一個時間范圍內(nèi)，信號的高階統(tǒng)計量可以進(jìn)一步的穩(wěn)定，這對信號識別很有借鑒價值。

3）高階矩譜和高階累積量譜。在這次分析中，只是針對于信號的時域分析，在對信號歸一化（去均值）后利用算法進(jìn)行的計算，而作為工程上所研究的高階統(tǒng)計量還包括高階矩譜和高階累積量譜，即站在頻譜的角度上對高階統(tǒng)計量進(jìn)行分析。高階矩譜和高階累積量譜會含有對提取信號特征更為有用的信息和規(guī)律。

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