應(yīng)新雅 張志華

（海軍工程大學(xué)理學(xué)院 武漢 430033）

1 引言

產(chǎn)品的研制通常要經(jīng)歷設(shè)計樣機(jī)、樣機(jī)試驗、發(fā)現(xiàn)問題并對樣機(jī)進(jìn)行改進(jìn)、再試驗、最后產(chǎn)品設(shè)計定型等多個階段，在工程上通常將定型產(chǎn)品稱為正樣，將以前各階段的產(chǎn)品稱為樣機(jī)。在產(chǎn)品研制過程中，通常積累有大量可靠性研制試驗，并通過不斷暴露產(chǎn)品設(shè)計存在的問題及改進(jìn)設(shè)計，使產(chǎn)品可靠性穩(wěn)步提高。如何有效利用產(chǎn)品研制階段的可靠性研制信息，客觀評估產(chǎn)品正樣階段的可靠性，并在充分利用可靠性研制試驗信息基礎(chǔ)上，組織開展產(chǎn)品可靠性鑒定試驗，以減少產(chǎn)品可靠性鑒定試驗量，解決傳統(tǒng)可靠性鑒定試驗量大，實施困難的問題，一直是可靠性統(tǒng)計研究領(lǐng)域的重要問題。

對于可靠性增長試驗信息的處理問題，很多專家學(xué)者進(jìn)行了大量研究工作，提出了多種可靠性增長試驗信息處理方法。如文獻(xiàn)［1］提出的AMSAA模型在假定產(chǎn)品故障為連續(xù)改進(jìn)情況下，產(chǎn)品可靠性增長實際上是一個Weibull過程，并給出了產(chǎn)品失效率評估方法。在許多產(chǎn)品研制過程中，產(chǎn)品故障往往采用集中處理方式，此時，產(chǎn)品的可靠性增長呈現(xiàn)出階梯增長。文獻(xiàn)［1～3］針對階梯增長情況提出了順序約束Bayes評估方法，利用不同研制階段的失效率的順序約束條件對產(chǎn)品失效率進(jìn)行評估。此外，文獻(xiàn)［4］還提出了加速因子Bayes評估方法，文獻(xiàn)［5］利用先驗均值和先驗分位數(shù)方法制定產(chǎn)品可靠性鑒定試驗方案，試圖充分利用產(chǎn)品可靠性研制試驗信息來減少產(chǎn)品可靠性鑒定試驗量。但是，上述文獻(xiàn)在處理階梯型可靠性增長試驗數(shù)據(jù)時均沒有考慮到產(chǎn)品各研制階段的失效率減小幅度。事實上，在產(chǎn)品設(shè)計改進(jìn)過程中，隨著產(chǎn)品設(shè)計缺陷的不斷被暴露，盡管產(chǎn)品失效率呈現(xiàn)出減小趨勢，但其減小量卻是逐步遞減的。實際上，AMSAA模型在要求其增長參數(shù)小于1時描述了產(chǎn)品失效率減小量逐漸減小這一特征。因此，對于階梯型可靠性增長試驗信息的處理，不僅需要考慮產(chǎn)品失效率隨著研制階段的推進(jìn)是順序減小的，而且還需要考慮產(chǎn)品失效率的減小幅度是逐步減小的，以便客觀評估產(chǎn)品正樣階段的可靠性。

本文在充分考慮產(chǎn)品在各個研制階段的失效率減小幅度順序減少的基礎(chǔ)上，提出了產(chǎn)品失效率新的順序約束條件，即產(chǎn)品失效率在相鄰階段的比值也應(yīng)滿足順序減少約束。在此基礎(chǔ)上，給出了一種新的產(chǎn)品失效率順序約束Bayes評估方法，并基于上述評估方法研究了產(chǎn)品可靠性鑒定試驗方案制定方法。通過算例數(shù)據(jù)分析，與傳統(tǒng)的順序約束Bayes評估方法進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)本文給出的評估方法更能準(zhǔn)確評估產(chǎn)品失效率，所給出的可靠性鑒定試驗量較傳統(tǒng)的方法要大，反映了利用失效率減小量的順序約束是必要的。

2 先驗分布的確定

為了客觀利用產(chǎn)品可靠性研制信息給出正樣產(chǎn)品的失效率估計，本節(jié)首先研究產(chǎn)品失效率的先驗信息，確定產(chǎn)品失效率的先驗分布。

假設(shè)產(chǎn)品的整個研制過程分為m個階段，其中前m－1個階段為產(chǎn)品的樣機(jī)試驗階段，第m個階段為產(chǎn)品的（正樣）定型階段，并設(shè)第i個階段產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布：

隨著試驗的不斷進(jìn)行，產(chǎn)品的缺陷逐步暴露，繼而對產(chǎn)品進(jìn)行改進(jìn)，可靠性得到提高。此時產(chǎn)品的失效率滿足順序約束：

產(chǎn)品在試驗過程中，產(chǎn)品設(shè)計缺陷得到不斷暴露并被修正，其產(chǎn)品設(shè)計中的殘留缺陷對產(chǎn)品可靠性的影響也越來越小，反映到產(chǎn)品失效率的變化上就是，產(chǎn)品失效率不僅需要滿足傳統(tǒng)的順序約束條件（2），而且還應(yīng)滿足以下順序約束：

新的順序約束（3）實際上是要求在產(chǎn)品相鄰研制階段的失效率比值是順序減少的，這表明隨著產(chǎn)品設(shè)計改進(jìn)，其可靠性增長幅度也越來越小。實際上，在常見的AMSAA模型中，當(dāng)增長參數(shù)小于1時產(chǎn)品失效率隨著研制過程的推進(jìn)降低幅度也越來越小，因此，在階梯型可靠性增長模型中，要求產(chǎn)品失效率滿足新的順序約束（3）是合理的。同時，新的順序約束實際上包括了傳統(tǒng)的順序約束（2）。事實上，由于λ2／λ3＞1，則

類似地，可以得到產(chǎn)品失效率在滿足新的順序約束（3）時，有λ1＞λ2＞…＞λm＞0。因此，順序約束條件（3）是評估產(chǎn)品失效率時應(yīng)使用的先驗信息。

設(shè)產(chǎn)品失效率λi的無信息先驗分布為其共軛分布，即

由Box－Tiao方法［5］可知，其中超參數(shù)取值為Ti0＝0，zi0＝0，所以產(chǎn)品失效率λi的無信息先驗分布為

由于第m個階段為產(chǎn)品正樣階段，在短時間試驗情況下通常不會發(fā)生故障，因此，為能夠正常處理正樣階段的可靠性研制試驗信息，一般對正樣失效率的先驗分布中超參數(shù)取值較為保守，如由Box－Tiao方法［5］可知，λm的無信息先驗分布為

由λ1，λ2，λ3，…，λm的獨立性知，（λ1，λ2，λ3，…，λm）的無信息聯(lián)合先驗分布為

3 正樣失效率λm的Bayes估計

假定產(chǎn)品在m個階段的可靠性研制試驗信息為（Ti，zi）（i＝1，2，…，m），即在i個階段，進(jìn)行了總試驗時間為Ti內(nèi)，發(fā)生了zi次故障。這里試驗包括定數(shù)截尾試驗和定時截尾試驗，則其似然函數(shù)為

設(shè)各階段試驗是相互獨立的，則整個樣機(jī)階段的似然函數(shù)為

其中t＝｛（Ti，zi），i＝1，2，…，m－1｝。

在有了產(chǎn)品在m階段的可靠性研制試驗信息的似然函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用（λ1，λ2，λ3，…，λm）的先驗分布，就可以得到（λ1，λ2，λ3，…，λm，t）的聯(lián)合密度函數(shù)為

聯(lián)合密度函數(shù)g（λ1，λ2，λ3，…，λm，t）包含了所有正樣失效率的信息，由Bayes定理得到定型產(chǎn)品失效率λm的后驗分布為

其中

在平方損失下，正樣失效率λm的Bayes估計為

相應(yīng)地，正樣失效率λm的二階矩估計為

特殊地，當(dāng)m＝3時，產(chǎn)品正樣失效率λ3的后驗分布可進(jìn)行適當(dāng)簡化。利用不完全Gamma函數(shù)與Poisson分布累積項之間的恒等式［1］：

則

因此，產(chǎn)品正樣失效率λ3的后驗分布可簡化為

4 產(chǎn)品失效率鑒定方案

隨著產(chǎn)品可靠性要求越來越高，利用經(jīng)典統(tǒng)計方法開展可靠性鑒定試驗所需要的試驗量較大，從而造成可靠性鑒定試驗實施十分困難。因此，充分利用產(chǎn)品可靠性研制試驗信息，制定產(chǎn)品可靠性鑒定試驗方案，是減少鑒定試驗量的有效途徑。為此，本節(jié)將在產(chǎn)品正樣失效率評估結(jié)果基礎(chǔ)上，研究制定產(chǎn)品可靠性鑒定試驗方案的方法。

其中a與b為先驗分布的超參數(shù)。

則

有了正樣產(chǎn)品失效率λm的先驗分布后，就可以制定產(chǎn)品可靠性鑒定方案［3］。假設(shè)產(chǎn)品可靠性鑒定方案為（c，Tc）（其中c表示最大允許失效數(shù)，Tc為總試驗時間），在進(jìn)行可靠性鑒定試驗時，抽取n件產(chǎn)品，做有替換定時t0截尾試驗，記總試驗時間Tc＝nt0，試驗過程中失效產(chǎn)品數(shù)r服從Poisson分布：

由λm的先驗分布式（9）和似然函數(shù)式（10）可以得到λm的后驗分布：

假設(shè)規(guī)定使用方的風(fēng)險為β，則有：

等價于P（λm≤λ′0｜r＝c，Tc，t）≥1－β，即

當(dāng)給定c時，通過上式求解出相應(yīng)的總試驗時間，繼而得到鑒定試驗方案（c，Tc），當(dāng)產(chǎn)品通過鑒定，則保證定型產(chǎn)品達(dá)到使用方要求的最小概率1－β，否則產(chǎn)品不能通過鑒定。

5 算例分析

為了說明本文提出的新順序約束Bayes評估方法是有效的，本節(jié)處理某產(chǎn)品在研制過程中所獲得的可靠性研制試驗信息。該產(chǎn)品研制過程分為原理樣機(jī)、初樣機(jī)和正樣機(jī)等三個階段，在原理樣機(jī)和初樣機(jī)階段分別獲得的可靠性研制試驗信息分別為（r1，t1）＝（2，300），（r2，t2）＝（1，1200），由于經(jīng)過初樣機(jī)的改進(jìn)，工程技術(shù)人員認(rèn)為該產(chǎn)品正樣基本成熟，在該產(chǎn)品可靠性鑒定試驗前沒有組織專門的可靠性研制試驗，即在正樣階段沒有可靠性研制試驗信息。

假定該產(chǎn)品設(shè)計要求最低壽命為10000小時，即其極限失效率為λ′0＝1×10－4，規(guī)定使用方風(fēng)險為β＝0.2，利用新的順序約束條件（9）得到先驗分布的超參數(shù)為a＝0.623，b＝1255.2?；谏鲜鱿闰炐畔?，對于不同的合格判定數(shù)c，可得到相應(yīng)的可靠性鑒定試驗時間記為Tc，具體試驗時間見表1第二行。為了對比該方案，在表1中列出了經(jīng)典的可靠性鑒定試驗方案（表1第一行）和基于傳統(tǒng)的順序約束Bayes評估結(jié)果得到的可靠性鑒定試驗方案（表1第三行）。從三種鑒定試驗方案可以看出，利用本文方法所得到的鑒定試驗時間明顯低于經(jīng)典的可靠性鑒定試驗時間，但比基于傳統(tǒng)的順序約束Bayes評估方法所得到的可靠性鑒定試驗時間要長，這也說明考慮本文所給出的產(chǎn)品失效率順序約束對產(chǎn)品可靠性鑒定試驗方案有明顯影響。從這個意義上來說，新的順序約束條件（3）是客觀評估正樣產(chǎn)品失效率所必須要考慮的。

表1 利用不同方法得到的鑒定試驗方案

6 結(jié)語

本文通過改進(jìn)產(chǎn)品失效率的順序約束，給出了產(chǎn)品失效率的新的順序約束Bayes評估方法，并基于產(chǎn)品正樣失效率評估結(jié)果，研究了可靠性鑒定試驗的Bayes方案。通過實例分析表明，本文所給出的新的順序約束條件對客觀評估產(chǎn)品正樣失效率，能夠避免傳統(tǒng)的順序約束Bayes評估方法所得評估結(jié)果的冒進(jìn)現(xiàn)象，對準(zhǔn)確掌握產(chǎn)品可靠性增長規(guī)律具有重要意義。

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