何小斐，傘冰冰，朱召泉

(河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇南京 210098)

近年來，隨著移動(dòng)衛(wèi)星通信、對(duì)地觀測(cè)等的迅猛發(fā)展，對(duì)大型空間可展天線的需求越來越迫切。充氣天線是以柔性薄膜材料制成的一種高精度空間結(jié)構(gòu)，具有質(zhì)量輕、折疊體積小、成本低等優(yōu)點(diǎn)［1］，是未來大型航天結(jié)構(gòu)的理想選擇。太空充氣天線(圖1)一般由反射器、支撐圓環(huán)、支撐管等組件構(gòu)成，其中反射器由上下兩片對(duì)稱的拋物面(反射面)薄膜組成，呈凸透鏡狀。信號(hào)穿過下片透波罩，在上片鍍金屬的反射面上反射而收集在饋源處。反射面的成形精度即實(shí)際曲面形狀與設(shè)計(jì)曲面的接近程度，直接影響收發(fā)信號(hào)能力的強(qiáng)弱。因此，充氣天線結(jié)構(gòu)對(duì)膜面的成形精度要求極高，成形精度是充氣天線設(shè)計(jì)和成形中的一個(gè)重要指標(biāo)。

圖1 充氣天線Fig.1 Inflatable parabolic antenna

近年來，各國(guó)學(xué)者以提高反射面幾何精度為主要目標(biāo)，對(duì)充氣天線的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了大量研究。主要思路有:(a)將設(shè)計(jì)拋物面作為初始曲面，將其充氣后獲得天線的實(shí)際幾何曲面。Naboulsi［2］分析了內(nèi)壓和邊界條件對(duì)反射面成形精度的影響。Greschik等［3-4］考慮均勻分布和線性非均勻分布兩種膜材厚度偏差分布形式下不同焦徑比和氣壓對(duì)反射面成形精度的影響，得出成形精度隨焦徑比和氣壓增大而減小的結(jié)論。徐彥等［5-6］對(duì)某一形狀的充氣天線系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，分析了該系統(tǒng)下膜材厚度的設(shè)計(jì)值、內(nèi)壓等對(duì)反射面成形精度的影響，并提出調(diào)整方法。該思路對(duì)充氣天線的精度研究有一定指導(dǎo)作用，但是以設(shè)計(jì)曲面為基準(zhǔn)進(jìn)行充氣而獲得的曲面與設(shè)計(jì)曲面存在差異。(b)尋找設(shè)計(jì)曲面對(duì)應(yīng)的零應(yīng)力曲面，即未充氣曲面，并將其作為分析的初始曲面。傘冰冰［7］將非線性有限元逆迭代法引入充氣天線的設(shè)計(jì)中，通過逆迭代可以獲得目標(biāo)曲面對(duì)應(yīng)的零應(yīng)力曲面，對(duì)其進(jìn)行充氣，理論上可以獲得精確的目標(biāo)設(shè)計(jì)形態(tài)。毛麗娜等［8］以非線性有限元逆迭代法為基礎(chǔ)，運(yùn)用無矩理論建立反射面結(jié)構(gòu)分析模型，通過對(duì)具體算例的分析，發(fā)現(xiàn)反射面成形精度隨口徑和焦距的增大而降低。

無論設(shè)計(jì)方法如何完善，在充氣天線的實(shí)際成形過程中不可避免地會(huì)存在一些影響因素，如邊界點(diǎn)位置誤差、膜材實(shí)際厚度與設(shè)計(jì)值之間的偏差、氣壓誤差、裁剪下料誤差等，都會(huì)對(duì)反射面成形精度造成影響，使實(shí)際曲面形狀與設(shè)計(jì)值產(chǎn)生差異。而關(guān)于這些因素是如何影響反射面成形精度的、影響程度如何等研究相對(duì)較少，因此難以給出有效的誤差控制措施。

本文以非線性有限元逆迭代法為基礎(chǔ)，針對(duì)膜材厚度偏差對(duì)充氣天線反射面成形精度的影響進(jìn)行研究，分析均勻分布及線性非均勻分布兩種典型的膜材厚度偏差分布形式對(duì)充氣天線反射面的影響規(guī)律和影響敏感度，并進(jìn)一步考慮了不同反射面焦徑比的影響。

1 設(shè)計(jì)方法和分析方案

1.1 設(shè)計(jì)方法

非線性有限元逆迭代法早前應(yīng)用于張弦梁結(jié)構(gòu)和索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的找形分析，是由已知的初始狀態(tài)逆迭代求出結(jié)構(gòu)零應(yīng)力幾何形狀的過程［9-10］。本文將非線性有限元逆迭代法應(yīng)用于充氣天線反射面(拋物面)的設(shè)計(jì)中:首先利用非線性有限元逆迭代法對(duì)設(shè)計(jì)拋物面進(jìn)行應(yīng)力釋放，得到設(shè)計(jì)拋物面充氣前的初始零應(yīng)力狀態(tài);然后再對(duì)該零應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行充氣成形。逆迭代具體步驟如下(圖2，圖中d n表示經(jīng)n次迭代調(diào)整后所得形態(tài)與目標(biāo)形態(tài)的差異):(a)假定一個(gè)初始零應(yīng)力狀態(tài)，賦予真實(shí)彈性模量，對(duì)其加壓得到平衡后的形態(tài);(b)比較(a)所得形態(tài)與目標(biāo)形態(tài)(即設(shè)計(jì)拋物面)的差異，并據(jù)此調(diào)整假定的零應(yīng)力狀態(tài)，再重復(fù)(a);(c)直至(a)調(diào)整所得形態(tài)與目標(biāo)形態(tài)吻合程度滿足精度要求，調(diào)整結(jié)束，此時(shí)所獲得的零應(yīng)力狀態(tài)即為目標(biāo)形態(tài)對(duì)應(yīng)的零應(yīng)力狀態(tài)。

圖2 逆迭代法應(yīng)力釋放示意圖Fig.2 Sketch map of stress releasing based on inverse iteration method

非線性有限元逆迭代法可避免膜單元應(yīng)力釋放時(shí)出現(xiàn)大量松弛的現(xiàn)象，且可以通過反復(fù)迭代提高計(jì)算精度，得到較為精確的零應(yīng)力曲面，再對(duì)其進(jìn)行充氣得到的成形幾何曲面較為精確。

1.2 形面誤差的分析方法

1.2.1 形面誤差概念

評(píng)價(jià)充氣天線反射面的成形精度不能僅由面上個(gè)別點(diǎn)來判斷，通常是根據(jù)反射面設(shè)計(jì)值與實(shí)際值的均方根誤差 δRMS［11］來評(píng)價(jià):

式中:Δdi——實(shí)際成形模擬曲面上的點(diǎn)i與設(shè)計(jì)曲面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離殘差;m——結(jié)點(diǎn)數(shù)目。

另外，為了解成形模擬后曲面上任意點(diǎn)的高度較設(shè)計(jì)值的變化趨勢(shì)，對(duì)成形曲面與設(shè)計(jì)曲面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的垂直距離差d zi進(jìn)行分析。d zi＞0代表考慮誤差后，曲面上點(diǎn)i比設(shè)計(jì)值高，即成形曲面偏高;d zi＜0則相反。

1.2.2 敏感性分析方法［12］

建立誤差系統(tǒng)模型:

其中

式中:E——形面誤差，本文用δRMS描述;ak——誤差影響因素，本文指膜材厚度偏差。

在分析ak對(duì)E的影響時(shí)，將其余影響成形精度的因素取為設(shè)計(jì)值，即可得到

由式(3)可了解E對(duì)ak擾動(dòng)的敏感程度。

采用無量綱化的敏感度函數(shù)Sk對(duì)敏感程度進(jìn)行描述，即將誤差的相對(duì)值δE=/E與ak相對(duì)誤差δak=/ak的比值定義為E對(duì)ak的敏感度函數(shù)Sk:

Sk值越大，表明E對(duì)ak越敏感。通過對(duì)Sk的比較可以對(duì)不同膜材厚度偏差的敏感性進(jìn)行量化的對(duì)比評(píng)價(jià)。

1.3 分析方案

1.3.1 拋物面參數(shù)和有限元模型

本文研究的反射面為拋物面，方程表示為

式中F為拋物面焦距。

拋物面口徑D為3000 mm，保持口徑不變，取焦徑比F/D=0.25，0.50，0.75，1.00，1.25，1.50。其他材料參數(shù)為:膜材彈性模量 E=2.5 ×109Pa，泊松比μ=0.34，膜材厚度設(shè)計(jì)值t=2.5×10-3mm，設(shè)計(jì)氣壓p=10 Pa。

根據(jù)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，取反射面的1/4進(jìn)行分析，有限元模型如圖3所示。兩條徑向邊界施加對(duì)稱約束條件，周邊固支。

1.3.2 膜材厚度偏差分布類型

實(shí)際膜材的厚度偏差分布具有多種可能的形式。本文在線性分布形式［4］的基礎(chǔ)上，針對(duì)均勻分布形式及線性非均勻分布形式探討膜材厚度偏差對(duì)成形精度的影響。

圖3 拋物面有限元模型Fig.3 Finite element model of paraboloid membrane structure

均勻分布即是指整個(gè)反射面的厚度偏差Δt為均值(中心點(diǎn)處膜材厚度變化的百分?jǐn)?shù)，Δt為正值代表厚度增大，負(fù)值代表厚度減小)。分析時(shí)取Δt=0，±5%，±10%，±15%，±20%進(jìn)行研究。

線性非均勻分布是指偏差值沿著拋物面徑向線性變化，本文選擇a類和b類兩種線性變化方式進(jìn)行分析(圖4)。a類為中心點(diǎn)處厚度偏大，邊界處厚度偏小;b類為中心點(diǎn)處厚度偏小，邊界處厚度偏大。取=0，5%，10%，15%，20%的a類和b類情況進(jìn)行研究。面上各點(diǎn)厚度的計(jì)算公式為

圖4 膜材厚度線性偏差形式Fig.4 Linear deviation of membrane thickness

式中:ti——拋物面上各點(diǎn)膜材厚度，mm;R——拋物面半徑，mm;ri——拋物面上各點(diǎn)距離結(jié)構(gòu)中心點(diǎn)的水平距離，mm。

2 膜材厚度偏差均勻分布對(duì)拋物面形面精度的影響

2.1 一般規(guī)律

以焦徑比F/D為1.50的充氣天線拋物面為例，對(duì)膜材厚度偏差均勻分布情況進(jìn)行誤差分析。Δt=±10%，±20%時(shí)的形面誤差分布見圖5。由圖5可以看出:

a.比較膜材厚度偏大和偏小的兩類情況，厚度偏小時(shí)，整個(gè)膜面上的點(diǎn)都較設(shè)計(jì)曲面偏高;厚度偏大時(shí)，除了邊界附近部分曲面上的點(diǎn)偏高外，大部分曲面都較設(shè)計(jì)曲面偏低。

b.比較厚度偏大(或偏小)不同絕對(duì)值的情況發(fā)現(xiàn)，形面誤差隨著厚度偏差絕對(duì)值的增大而增大。

c.在相同的膜材厚度偏差下，越靠近邊界的點(diǎn)，由于受到邊界固定約束的影響較大，變形受到限制，其形狀偏差越小。

圖6為旋轉(zhuǎn)母線L1(圖5(b))上各點(diǎn)的垂直距離差d zi，圖中橫坐標(biāo)為母線上各點(diǎn)距中心點(diǎn)的水平距離r與R的比值r/R。為了了解在每種膜材厚度偏差下d zi的變異程度，采用變異系數(shù)Cv來描述［13］。Cv是衡量某組數(shù)據(jù)變異程度的統(tǒng)計(jì)量，表示為

式中μ和σ分別為數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

將L1均分為10個(gè)區(qū)段(區(qū)段1:r/R=0.0～0.1;區(qū)段2:r/R=0.1～0.2;……)，分別計(jì)算每個(gè)區(qū)段內(nèi)d zi的Cv(圖7)。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r/R=0.2～0.6時(shí)，d zi的變異系數(shù)接近于0，離散程度較低。此結(jié)論可以應(yīng)用于充氣反射面天線的設(shè)計(jì)中:選取d zi離散程度較低的區(qū)段(r/R=0.2～0.6)作為反射面有效區(qū)域，這樣有利于采用統(tǒng)一措施補(bǔ)償膜材厚度偏差均勻分布帶來的誤差。

進(jìn)一步計(jì)算拋物面在上述各種偏差下的δRMS(圖8)及δRMS對(duì)膜材厚度偏差的敏感度(圖9)。由圖8可以看出，形面δRMS隨Δt絕對(duì)值的增大而增大;膜材厚度偏小比偏大時(shí)產(chǎn)生的δRMS大。由圖9可以看出，膜材厚度均勻分布偏小時(shí)δRMS對(duì)Δt的敏感度更大，說明膜材厚度偏小對(duì)于拋物面的成形精度影響更大。這是由于膜材厚度偏小時(shí)，膜面的力學(xué)性能被削弱，從而使形面誤差較大。

圖5 考慮膜材厚度均勻偏差的形面誤差分布Fig.5 Shape error distribution considering uniform deviation of membrane thickness

圖6 考慮Δt均勻分布時(shí)L1的形狀偏差Fig.6 Shape error distribution of L1 considering uniform deviation of membrane thickness

圖7 各區(qū)段內(nèi)d zi的變異系數(shù)Fig.7 Coefficient of variation of d zi in each section

圖8 δRMS～Δt均勻分布關(guān)系曲線Fig.8 δRMS-Δt of membrane thickness curve

2.2 對(duì)不同形狀拋物面成形精度的影響

對(duì)不同焦徑比的拋物面進(jìn)行成形模擬，分析每種形狀在不同膜材厚度偏差均勻分布情況下δRMS(圖10)及 δRMS對(duì) Δt的敏感度(圖11)。

由圖10可以看出:(a)Δt=0時(shí)，δRMS值隨著F/D增加而增大，這是由于拋物面是由裁剪片拼接后充氣而得，裁剪片是不可展曲面，造成未引入誤差的情況下也存在一定的成形誤差，并且拋物面曲率越大，曲面展開時(shí)產(chǎn)生的誤差也越大。(b)δRMS隨F/D的增大而增大，即拋物面越淺，其成形精度受Δt的影響程度越大，這與毛麗娜等［8］的研究結(jié)果吻合。

圖9 δRMS～Δt均勻分布的敏感度Fig.9 δRMS-Δt sensitivity to uniform deviation of membrane thickness

圖10 不同形狀拋物面δRMS～Δt均勻分布關(guān)系Fig.10 δRMS-Δt uniform deviation of membrane thickness curves for paraboloids with different shapes

圖11 不同形狀拋物面δRMS～Δt均勻分布敏感度Fig.11 δRMS-Δt sensitivity to uniform deviation of membrane thickness for paraboloids with different shapes

由圖11可以看出:Δt均勻分布時(shí)，偏差偏大，δRMS對(duì)Δt的敏感度較小;δRMS對(duì)Δt均勻分布時(shí)的敏感度隨著F/D增大而減小。

3 膜材厚度偏差線性非均勻分布對(duì)拋物面成形精度的影響

3.1 一般規(guī)律

以F/D為1.50的充氣拋物面天線為例，對(duì)a類和b類膜材厚度偏差線性非均勻分布情況進(jìn)行分析。=20%時(shí)的形面誤差分布見圖12，曲面形狀偏差見圖13。由圖12、圖13可以看出:(a)與膜材厚度偏差均勻分布情況類似，厚度偏小處曲面偏高，厚度偏大處曲面偏低。(b)曲面上各點(diǎn)d zi的變化規(guī)律與厚度變化規(guī)律對(duì)應(yīng)，也按線性變化。(c)厚度偏差線性非均勻分布時(shí)各點(diǎn)d zi曲線與0誤差時(shí)曲線的交點(diǎn)(A，B)偏向平拋物面中心，并不與厚度變化的交點(diǎn)完全重合。產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因是曲線上各點(diǎn)有相互作用，厚度無偏差處受到左右各點(diǎn)的作用也產(chǎn)生了形面誤差。(d)與膜材厚度偏差均勻分布相比，偏差線性非均勻分布時(shí)曲面形狀產(chǎn)生的偏差更小，并且形面誤差分布更加均勻。

拋物面在不同膜材厚度偏差線性非均勻分布下的δRMS值見圖14。由圖14可知:δRMS隨著Δt絕對(duì)值的增大而增大;當(dāng)Δt絕對(duì)值相等時(shí)，偏差線性非均勻分布比均勻分布產(chǎn)生的形面誤差小，且b類偏差線性非均勻分布產(chǎn)生的形面誤差最小。

圖12 =20%時(shí)形面誤差分布Fig.12 Shape error distribution considering linear non-uniform deviation of membrane thickness

圖13 考慮Δt線性非均勻分布時(shí)L1的形狀偏差Fig.13 Shape error distribution of L1 considering linear non-uniform deviation of membrane thickness

圖14 δRMS～Δt線性非均分分布關(guān)系Fig.14 δRMS-Δt linear non-uniform deviation of membrane thickness curve

理想拋物面充氣膜結(jié)構(gòu)的徑向和緯向應(yīng)力為

式中:P——充氣氣壓;σ1，σ2——充氣膜結(jié)構(gòu)的徑向和緯向應(yīng)力;R1，R2——兩個(gè)主曲率半徑。

從式(8)可以看出，從拋物面的中心頂點(diǎn)到邊緣，兩個(gè)方向的應(yīng)力逐漸增大，并與材料的厚度成反比。當(dāng)膜材厚度發(fā)生從頂點(diǎn)到邊緣線性增大的b類變化時(shí)，膜面的應(yīng)力分布更加均勻，與本文b類Δt線性非均勻分布時(shí)對(duì)拋物面成形精度影響較小的結(jié)論相符。

3.2 對(duì)不同形狀拋物面成形精度的影響

對(duì)不同F(xiàn)/D的拋物面進(jìn)行成形模擬，分析每種形狀在不同Δt線性非均勻分布情況下的δRMS(圖15)及δRMS對(duì)Δt線性非均勻分布時(shí)的敏感度(圖16)。

圖15 不同形狀拋物面δRMS～Δt線性非均勻分布關(guān)系Fig.15 δRMS-Δt linear non-uniform deviation of membrane thickness curves for paraboloids with different shapes

圖16 不同形狀拋物面δRMS～Δt線性非均勻分布的敏感度Fig.16 δRMS-Δt sensitivity to linear non-uniform deviation of membrane thickness for paraboloids with different shapes

由圖15可以看出:δRMS隨著F/D的增大而增大，此現(xiàn)象與Δt均勻分布時(shí)類似。Δt線性非均勻分布比均勻分布對(duì)拋物面成形精度影響小，并且b類比a類線性變化產(chǎn)生的形面誤差小。由圖16可以看出:與Δt均勻分布時(shí)情況類似，δRMS對(duì)Δt線性非均勻分布的敏感度隨著F/D增大而減小，但是在敏感度數(shù)值上相比，Δt線性非均勻分布的敏感度普遍偏小，說明充氣天線拋物面的成形精度對(duì)Δt均勻分布更敏感。

4 結(jié) 論

采用Fortran語言編譯充氣拋物面天線有限元分析程序，對(duì)6種不同焦徑比的反射面進(jìn)行了成形數(shù)值模擬，研究了膜材厚度偏差均勻分布和線性非均勻分布對(duì)不同焦距比拋物面成形精度的影響。

a.膜材厚度偏差均勻分布時(shí)，拋物面任一母線在區(qū)段r/R=0.2～0.6內(nèi)，形面誤差變化不大，此區(qū)段可作為反射面有效區(qū)域，有利于采取統(tǒng)一措施補(bǔ)償厚度偏差帶來的誤差;δRMS隨膜材厚度偏差絕對(duì)值的增大而增大;由于膜材厚度偏小會(huì)削弱膜面的力學(xué)性能，因此厚度均勻偏小時(shí)形面的δRMS及其敏感度較大。

b.膜材厚度存在偏差線性非均勻分布時(shí)，形面誤差沿徑向按線性分布;δRMS隨膜材厚度偏差絕對(duì)值的增大而增大;與偏差均勻分布相比，其δRMS值和敏感度都較小;偏差線性非均勻分布b類比a類引起的形面誤差更小。

c.與設(shè)計(jì)曲面相比，在膜材厚度偏小處成形曲面偏高，厚度偏大處曲面偏低。

d.拋物面越淺(焦徑比越大)，膜材厚度偏差引起的δRMS越大，因此在設(shè)計(jì)較淺的反射面時(shí)應(yīng)更加重視膜材厚度偏差對(duì)其成形精度帶來的影響，嚴(yán)格控制所選膜材的質(zhì)量;而δRMS對(duì)偏差的敏感度則隨焦徑比增大而減小。

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