蔣紅敬　張振力

【摘 要】積分上限函數(shù)是微積分學(xué)中一類非常特殊的函數(shù)，它是溝通微分學(xué)和積分學(xué)的橋梁，本文主要從積分上限函數(shù)的性質(zhì)及其求導(dǎo)應(yīng)用教學(xué)進行了探究。

【關(guān)鍵詞】積分上限函數(shù)；原函數(shù)；連續(xù)

在微積分教學(xué)中，微積分學(xué)基本定理是連接微分學(xué)和積分學(xué)的一個紐帶，而微積分學(xué)基本公式——牛頓-萊布尼茨公式 ，為計算定積分提供了一個十分有效的方法，為了證明微積分學(xué)基本定理及牛頓-萊布尼茨公式，在數(shù)學(xué)分析（高等數(shù)學(xué)）教材中引進了積分上限函數(shù)，同時積分上限函數(shù)的求導(dǎo)也是全國碩士研究生入學(xué)考試的重要考點，由此可見積分上限函數(shù)的重要性. 但是初學(xué)者對這塊內(nèi)容很難理解，為了幫助學(xué)生更好的掌握積分上限函數(shù)的豐富內(nèi)涵，本文對積分上限函數(shù)的性質(zhì)及其求導(dǎo)應(yīng)用教學(xué)進行了探究.

一、積分上限函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)

（一）積分上限函數(shù)的概念

定義[2]設(shè)在區(qū)間上可積，則稱積分為在區(qū)間上的積分上限函數(shù)，稱積分為在區(qū)間上的積分下限函數(shù)，積分上限函數(shù)和積分下限函數(shù)統(tǒng)稱為積分變限函數(shù).

在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生注意：

（1）在區(qū)間上可積，則對，積分均存在，積分值與積分變量無關(guān)，所以，取定上限，就有一個積分值與之對應(yīng)，從而在上定義了一個函數(shù).

（2）讓學(xué)生弄明白與的關(guān)系.變上限函數(shù)中的自變量是上限，它又是一類特殊的定積分，為積分變量，在求定積分時，應(yīng)把看成常量，積分變量在積分區(qū)間上變動，但對求導(dǎo)，是關(guān)于自變量求導(dǎo).

（二）積分上限函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1在區(qū)間上，若存在（即可積），則.

性質(zhì)2若可積，不一定是在區(qū)間上的原函數(shù).

性質(zhì)3 若，則是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，即.

性質(zhì)4[3]若是在上的一個原函數(shù)，則

性質(zhì)4即為牛頓-萊布尼茨公式.

在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生注意：

（1） 性質(zhì)3是對性質(zhì)1和性質(zhì)2的改進，由可積，只能說明連續(xù)，并不能說明其可導(dǎo)，由可積改進為連續(xù)，則由連續(xù)改進為可導(dǎo).

（2） 性質(zhì)3也稱為原函數(shù)存在定理，可以看出連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，它把可導(dǎo)和定積分兩個看似不相干的問題聯(lián)系在了一起，這是一個非常完美的定理，令數(shù)學(xué)界驚詫的定理，由此也被稱為微積分學(xué)基本定理.

二、積分上限函數(shù)的求導(dǎo)應(yīng)用

由1.2中性質(zhì)3可以看出，對積分上限函數(shù)求導(dǎo)，其實就是把被積函數(shù)中的積分變量 用上限 代換，大部分學(xué)生能記住這個結(jié)果，但卻不理解它的真正內(nèi)涵，以至于對很多變上限積分求導(dǎo)問題還是感到無從下手.為了使學(xué)生能夠掌握住積分上限函數(shù)求導(dǎo)問題，教師可以采用探究式教學(xué)方法講授這部分內(nèi)容，在講解完性質(zhì)3的證明后，可以給出下面習(xí)題供學(xué)生求解：

（1）；（2）；

（3）； （4）

先讓學(xué)生仔細觀察，可能大部分學(xué)生得到的結(jié)果是把被積函數(shù)中的變量直接替換為，這是錯誤的，讓學(xué)生了解到這些例題（除第一個外）乍一看和性質(zhì)3中積分上限函數(shù)類似，但又有不同.教師要耐心講解變限函數(shù)求導(dǎo)的實質(zhì)，然后借助于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對高等數(shù)學(xué)教材中的變上限函數(shù)求導(dǎo)公式進行擴充：

（1），此函數(shù)為積分下限函數(shù)，也是一類特殊的定積分，根據(jù)定積分的性質(zhì)可以得到，所以

（2），該函數(shù)的積分上限不是而是，可以看成由以及復(fù)合而成，從而

。

（3），該函數(shù)既是積分上限函數(shù)又是積分下限函數(shù)，利用積分區(qū)間的可加性可以得到，從而

（4），首先告訴學(xué)生一定要分清該函數(shù)中與的關(guān)系，自變量是，在定積分中，為積分變量，為常量，當然也是常量，從而，所以

講解完之后，告訴學(xué)生上述幾種類型的變限積分求導(dǎo)公式在以后做題時可以直接應(yīng)用，這時學(xué)生對微積分學(xué)基本定理應(yīng)該有了更深刻的認識. 鑒于上述公式中被積函數(shù)均為抽象函數(shù)，所以得讓學(xué)生做一些相應(yīng)的習(xí)題，以便鞏固學(xué)習(xí)結(jié)果.

關(guān)于積分上限函數(shù)的求導(dǎo)問題是數(shù)學(xué)分析（高等數(shù)學(xué)）教學(xué)的重要內(nèi)容，在課堂上要讓學(xué)生主動思考，發(fā)現(xiàn)問題，進而解決問題，真正理解微積分學(xué)基本定理，領(lǐng)會掌握積分上下限函數(shù)求導(dǎo)方法，只要這樣，學(xué)生才能體會到微分學(xué)和積分學(xué)的完美結(jié)合，體會到數(shù)學(xué)的奧妙.

參考文獻：

[1]景慧麗，屈娜等.積分上限函數(shù)的探究式教學(xué)[J].河南教育學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2013，23（1）：54-56.

[2]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上）[M].第六版.北京：高等教育出版社：2007.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）[M].第三版.北京：高等教育出版社：2001.