王志武,王希超

原函數(shù)存在性及變上限定積分的可導(dǎo)性研究

王志武,王希超

山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 山東 泰安 271018

原函數(shù)和定積分是高等數(shù)學(xué)中的重要概念和基本內(nèi)容。本文以閉區(qū)間上的函數(shù)為例，著重探討了函數(shù)在存在有限個(gè)第一或第二類間斷點(diǎn)的情況下，原函數(shù)的存在性，以及變上限定積分的存在性，此時(shí)原函數(shù)與函數(shù)的變上限定積分的關(guān)系。

原函數(shù); 變上限定積分; 間斷點(diǎn); 連續(xù); 可積

1 函數(shù)原函數(shù)的存在性

定理2若函數(shù)()在閉區(qū)間[,]上有定義,且只存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)或無(wú)窮間斷點(diǎn),則()在[,]上不存在原函數(shù).

（1）當(dāng)0為()的可去間斷點(diǎn)時(shí),(- 0)=(+ 0)≠(0);

（2）當(dāng)0為()的跳躍間斷點(diǎn)時(shí),(- 0)≠(+ 0);

（3）當(dāng)0為()的無(wú)窮間斷點(diǎn)時(shí),(- 0)與(+ 0)至少有一個(gè)為無(wú)窮.

以上均與?(0)=(0)矛盾，所以函數(shù)()不存在原函數(shù).

當(dāng)()在閉區(qū)間上只有有限個(gè)振蕩間斷點(diǎn)時(shí),()的原函數(shù)可能存在也可能不存在.

本實(shí)驗(yàn)利用EXCEL 2010統(tǒng)計(jì)分析軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)整理，利用Origin 9.0作圖，利用IBM SPSS Statistics 22軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差異顯著性檢驗(yàn)（p＜0.05為差異顯著；p＜0.01為差異極顯著）。

2 變上限定積分的存在性及其可導(dǎo)性

定義設(shè)函數(shù)()在閉區(qū)間[,]上可積,稱∫(),?[,]為變上限定積分.

定理4若函數(shù)()在閉區(qū)間[,]上有定義,且只存在有限個(gè)可去間斷點(diǎn),則變上限定積分∫()在[,]上存在且可導(dǎo).

證明首先()在閉區(qū)間[,]上只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn),從而∫()存在.

其次,重新定義()閉區(qū)間[,]上可去間斷點(diǎn)的函數(shù)值,使得()在[,]上連續(xù).因?yàn)橹皇歉淖兞擞邢迋€(gè)點(diǎn)的函數(shù)值,從而積分∫()不變,所以∫()在閉區(qū)間[,]上可導(dǎo).

這里說明的是∫()的導(dǎo)數(shù)并不是函數(shù)(),因?yàn)?)在[,]上沒有原函數(shù).

定理5若函數(shù)()在閉區(qū)間[,]上有定義,且只存在有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn),則變上限定積分∫()在[,]上存在,但在間斷點(diǎn)處不可導(dǎo).

證明函數(shù)()在閉區(qū)間[,]上只存在有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn),顯然∫()在[,]上存在.

設(shè)0?(,)為()的一個(gè)跳躍間斷點(diǎn),則(- 0)及(+ 0)存在,但:(- 0)≠(+ 0).

記()=∫(),?[,],則()在0點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),由于:

不相等,所以()在0點(diǎn)不可導(dǎo).

當(dāng)函數(shù)()在閉區(qū)間[,]上只存在有限個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)時(shí),變上限定積分∫()在[,]上可能存在,也可能不存在,存在時(shí)在()的間斷點(diǎn)處不可導(dǎo).

至少有一個(gè)為無(wú)窮,所以()在0點(diǎn)不可導(dǎo).

當(dāng)函數(shù)()在閉區(qū)間[,]上只有有限個(gè)振蕩間斷點(diǎn)時(shí),變上限定積分∫()在[,]上可能存在,也可能不存在,存在時(shí)間斷點(diǎn)處可能可導(dǎo),也可能不可導(dǎo).

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:209

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].6版.北京:高等教育出版社,2007:227

[3] 王志武.泰勒公式中中值位置的研究[J].山東農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,47(1):155-156

[4] 王志武,王希超.談泰勒公式的教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2014,17(5):40-42

Study on the Existence of Primitive Function and the Derivability of Variable Upper Limit Integration

WANG Zhi-wu, WANG Xi-chao

271018,

Primitive function and definite integral are important concepts and basic contents in advanced mathematics. Taking a function on a closed interval as an example, this paper focuses on the existence of the primitive function and the variable upper limit integration, and the relationship between the primitive function and the variable upper limit integration of the function, in the case of a finite number of first or second class discontinuity points.

Primitive function; variable upper limit integration; discontinuity point; continuity; integrability

O151.2

A

1000-2324(2019)05-0918-03

10.3969/j.issn.1000-2324.2019.05.040

2017-02-13

2018-01-23

王志武(1963-),男,副教授,主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究. E-mail:wangzw@sdau.edu.cn