夏文宏

反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾結(jié)論.具體的講，反證法從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題的結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到的結(jié)論與已知條件、定理、公理、法則或已經(jīng)證明為正確的命題等矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得證明.下面介紹一下宜用反證法常見的題型.

點評：從正面出發(fā)難于下手解答的問題，可以考慮使用反證法.先否定結(jié)論，然后根據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理等得出矛盾，從而肯定原來的結(jié)論是正確的.當(dāng)命題的“結(jié)論反面”比“結(jié)論正面”更為明確具體時，我們均可考慮用反證法來解決.

題型二 含有“至多”、“至少”、“唯一”的命題

例2 已知三個關(guān)于x的方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：本題總共有三個方程需要考慮，若逐一討論他們的實數(shù)根的情況，比較復(fù)雜，挖掘題目的隱含條件，發(fā)現(xiàn)“三個方程中至少有一個方程有實數(shù)根”的反面是“三個方程都沒有實數(shù)根”，為此我們考慮利用反證法來解決.

題型三 含有否定詞的命題

例3 已知三個正數(shù)x，y，z成等差數(shù)列，且x≠z，求證：x，y，z的倒數(shù)不可能成等差數(shù)列.

分析：根據(jù)題目的條件直接證明三個正數(shù)x，y，z的倒數(shù)不可能成等差數(shù)列比較困難，不妨從反面入手，先假定三個正數(shù)x，y，z的倒數(shù)成等差數(shù)列，然后結(jié)合已知條件通過推理得出矛盾.

分析：直接證明這個方程沒有整數(shù)根，不太容易用到題設(shè)中的整系數(shù)和兩個奇數(shù)的條件，且需要考慮的情況相當(dāng)復(fù)雜，所以考慮利用反證法，只需否定方程有整數(shù)根的情況即可.

點評：當(dāng)命題中含有“沒有”字眼時，可考慮用反證法來解決.

[安徽省廣德縣實驗中學(xué) （242200）]