顧建忠，姚建玲，楊洪勇

（1.魯東大學a.數(shù)學與統(tǒng)計科學學院；b.信息科學與工程學院，山東 煙臺 264025；2.上海交通大學數(shù)學系，上海 200240）

帶有領航者的多智能體系統(tǒng)的一致性控制

顧建忠1a，姚建玲2，楊洪勇1b

（1.魯東大學a.數(shù)學與統(tǒng)計科學學院；b.信息科學與工程學院，山東 煙臺 264025；2.上海交通大學數(shù)學系，上海 200240）

對基于動態(tài)拓撲有領航者的多移動智能體二階系統(tǒng)的一致性進行研究。假設各智能體系統(tǒng)存在時變輸入時延，分別針對有向網(wǎng)絡拓撲為固定和動態(tài)兩種情形，設計基于鄰接信息的分散控制策略?；诶顏喥罩Z夫穩(wěn)定性理論及線性矩陣不等式方法，得到使各個智能體與領航者達到一致的充分條件。最后通過仿真驗證設計方案的有效性。

多智能體系統(tǒng)；領航者；一致性；時變時延；動態(tài)拓撲

0 引言

多智能體系統(tǒng)的研究近幾年來已成為人工智能研究的一個熱點。隨著人們對智能體技術研究的逐步加深以及計算機技術、網(wǎng)絡技術和通信技術的飛速發(fā)展，該問題的研究領域已延伸至生物學、生態(tài)學、社會行為學、統(tǒng)計物理學、計算機圖形學、系統(tǒng)及控制理論等領域?？刂祁I域在該問題上的研究主要為多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制，主要的控制方法是利用局部信息設計每個智能體的運動規(guī)則以實現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的整體控制。其中討論最多的問題是一致性問題。所謂一致性問題是指多智能體系統(tǒng)中每個智能體的最終狀態(tài)，包括位移、速度等能夠趨于一致。一致性問題的研究發(fā)展很迅速，無論在理論上還是應用上都取得了豐碩的成果。Vicsek等利用局部信息提出一個自驅(qū)動模型描述平面粒子的運動，Jadbabaie等［1］對Vicsek模型進行線性化，分析拓撲結(jié)構(gòu)變化情況下的一致性問題?；诖鷶?shù)圖論，Olfati-Saber和 Murry［2-3］討論一階多智能體系統(tǒng)的一致性問題。Hong等［4-5］研究帶有領航者的無向切換網(wǎng)絡拓撲的一致性問題。Ke等［6］研究領航者具有未知時變速度的多智能體系統(tǒng)的一致性問題，同時估計領航者的速度。在多智能體系統(tǒng)中，時間延遲和網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)變化是影響多智能體系統(tǒng)一致性的兩個主要因素，文獻［6］～［10］分別考慮無向和有向網(wǎng)絡拓撲時的一致性問題。本文針對帶有領航者的二階多智能系統(tǒng)，時變輸入時延和拓撲結(jié)構(gòu)變化同時存在，設計基于鄰接信息的控制輸入，給出保證各個智能體跟蹤領航者位置與速度的充分條件。

1 問題描述

設各智能體的動態(tài)方程為

其中，xi（t）∈R，vi（t）∈R，ui（t-τ（t））∈R分別表示智能體i∈I= ｛1，2，…n｝在時刻t的位置，速度，控制輸入。τ（t）表示時變的輸入時延，滿足τ（t）≤d1，及˙τ（t）≤d2＜1。

領航者的動態(tài)方程為

本文的控制目標：分別針對固定和動態(tài)網(wǎng)絡拓撲，設計基于鄰接信息的分散控制輸入ui（t）（1，2，…，n），使得各智能體的位置和速度分別跟蹤領航者的位置和速度，即xi（t）→x0（t），（t→ ∞），也就是多智能體系統(tǒng)達到一致。

引理2［6］對 ?a，b∈Rn，? 正定矩陣φ∈Rn×n，有2aTb≤aTφ-1a+bTφb成立。

引理3［7］若有向網(wǎng)絡拓撲~G中，領航者為全局可達的，則矩陣L+B的特征值不為0，其中，L表示有向網(wǎng)絡拓撲G的Laplacian矩陣，B表示領航者與各智能體之間的鄰接矩陣。

2 主要結(jié)果

2.1 固定網(wǎng)絡拓撲的一致性分析

對于固定網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)下的多智能體系統(tǒng)（1）-（2），設計控制輸入

研究誤差動態(tài)系統(tǒng)（5）的穩(wěn)定性，從而得到多智能體系統(tǒng)（1）-（2）的一致性結(jié)論。

則系統(tǒng)實現(xiàn)位置與速度的一致性。

證明：選取Lyapunov-Krasovskii泛函V=V1+V2+V3，其中

其中，P＞0，Q＞0，R＞0為2n×2n的待定矩陣，則

由引理2知

將式（5）代入式（12），得

由引理2知

將式（14）代入式（12），得

綜合式（8），（11），（15），得

其中，由引理1可知，式（18）等價于存在時延上界d1及正定矩陣P，Q，R使得

其中，N=F+G，定理1得證。通過應用Matlab的LMI工具箱可求得滿足要求的d1，P，Q，R，，保證當τ（t）＜d1時，多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)所有狀態(tài)的一致性。

假設多智能體系統(tǒng)是由一個領航者（標號為0）和4個智能體（標號為1～4）組成。

設各智能體間每條邊的權(quán)重為0.6，智能體與領航者間每條邊的權(quán)重為1，則系統(tǒng)有向圖~G的Laplacian矩陣L及各智能體與領航者之間的鄰接矩陣B分別為

圖1 固定網(wǎng)絡拓撲時的有向鄰接圖Fig.1 The directed adjacent graph with fixed topology

取d2=0.065通過MatLab的LMI工具箱可求得時延上界為d1=0.020 7及P，Q，R的可行解為

取τ（t）=0.02｜sin（t）｜，得到關于領航者及各智能體的狀態(tài)變化曲線（見圖2），從圖2可以看出，各智能體與領航者的位置與速度均達到一致。

圖2 固定網(wǎng)絡拓撲時的各個多智能體與leader的狀態(tài)誤差圖Fig.2 The error trajectories between the leader and each agent in fixed topology

2.2 動態(tài)網(wǎng)絡拓撲的一致性分析

當考慮多智能體系統(tǒng)中的領航者及各智能體不斷發(fā)生變化時，系統(tǒng)的網(wǎng)絡拓撲是時變的。假設存在一個有界的不重疊的連續(xù)的無限時間間隔序列［ti，ti+1），i=0，1，…，開始于t0=0。定義ˉG=｛G1，G2，…，GN｝包含所有可能拓撲的有向圖集，N表示所有可能圖的個數(shù)，其中也包含各智能體與領航者間所有可能的信息傳遞網(wǎng)絡拓撲。定義分段常量切換信號σ：［0，+∞）→β=｛1，2，…，N｝，由于不同時刻各智能體間的連接狀態(tài)不同，所以系統(tǒng)的信息傳遞拓撲是時變的，因此系統(tǒng)拓撲圖G的Laplacian矩陣Lσ為時變的，假設網(wǎng)絡拓撲在ti處切換，i=0，1，…，但在任何時間間隔［ti，ti+1）內(nèi)為時不變的。

當考慮動態(tài)網(wǎng)絡拓撲，系統(tǒng)的控制輸入為

此時系統(tǒng)的誤差動態(tài)方程為

定理2 考慮動態(tài)網(wǎng)絡拓撲，若對于任意網(wǎng)絡拓撲Gi∈ˉG，其領航者為全局可達的，則系統(tǒng)可以實現(xiàn)一致性的充分條件為對任意給定的0＜d2＜1，存在適當d1＞0及正定矩陣P，Q，R使得

該定理的證明方法與固定拓撲時相同，其中Nσ=F+Gσ，且由于此時Lσ為時變的，上述線性矩陣不等式對于所有可能的拓撲情況均成立。

下面給出系統(tǒng)動態(tài)網(wǎng)絡拓撲時的仿真結(jié)果。圖3給出多智能體系統(tǒng)的信息傳遞圖，其中包括4個智能體（標號i=1，2，3，4）和一個領航者（標號0）?？紤]系統(tǒng)每隔0.1s在圖3所示的信息傳遞圖之間發(fā)生切換的情況，假設切換由Ga開始，切換順序見圖4。

圖3 動態(tài)網(wǎng)絡拓撲時的3個有向鄰接圖Fig.3 Three directed adjacent graphs with switching topology

圖4 系統(tǒng)網(wǎng)絡拓撲的切換順序圖Fig.4 Finite machince with three states denoting the states of a network with switching topology

設智能體間每條邊的權(quán)重為0.6，智能體與領航者間每條邊的權(quán)重為1，則此時系統(tǒng)的Laplacian矩陣La，Lb，Lc及領航者與智能體間的信息傳遞矩陣Ba，Bb，Bc分別為

取d2=0.05通過MatLab的LMI工具箱可求得時延上界為d1=0.003 8及P，Q，R的可行解為

圖5為取τ（t）=0.003｜sin（t）｜時的系統(tǒng)狀態(tài)變化曲線，從圖5可以看出，各智能體與領航者的狀態(tài)均達到一致。

圖5 動態(tài)網(wǎng)絡拓撲時各個多智能體與Leader的狀態(tài)誤差圖Fig.5 The error trajectories between the leader and each agent with switching topology

3 結(jié)論

本文針對控制輸入中存在時變時滯的多智能二階系統(tǒng)，研究其在固定和動態(tài)兩種網(wǎng)絡拓撲下跟蹤領航者的位置與速度。利用線性矩陣不等式方法，可以證明對于適當?shù)臅r滯上界，基于鄰接信息的控制策略可以保證各個智能體與領航者實現(xiàn)位置和速度的一致性。此外，文中分別對固定和動態(tài)網(wǎng)絡拓撲進行仿真，以驗證設計方案的可行性。

［1］Jadbabaie A，Lin J，Morse A S.Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules［J］.IEEE Trans Automa Control，2003，48（6）：988-1001.

［2］Olfati-Saber R，Murray R M.Consensus protocols for networks of dynamic agents［C］//American Control Conference.Denver，CO，USA，2003：951-956.

［3］Olfati-Saber R，Murray R M.Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays［J］.IEEE Trans Automat Control，2004，49（9）：1520-1533.

［4］Hu J，Hong Y.Leader-following coordination of multi-agent systems with couping time delays［J］.Physica A，2007，374（2）：853-863.

［5］Hong Y，Hu J，Gao L.Tracking control for multi-agent consensus with an active leader and variable topology［J］.Automatica，2006，42（7）：1177-1182.

［6］Peng K，Yang Y P.Leader-following consensus problem with a varying-velocity leader and time-varying delays［J］.Physica A，2009，388（213）：193-208.

［7］Tian Y P，Liu C L.Robust consensus of multi-agent systems with diverse input delays and asymmetric interconnection perturbations［J］.Automatica，2009，45（5）：1347-1353.

［8］Ni W，Cheng D Z.Leader-following consensus of multi-agent systems under fixed and switching topologies［J］.System&Control Letters，2010，59（3/4）：209-217.

［9］Lin P，Jia Y M.Average consensus in networks of multi-agents with both switching topologies and coupling time-delay［J］.Physica A，2008，387（1）：303-313.

［10］Sun Y G，Wang L，Xie G.Average consensus in networks of dynamic agents with switching topologies and multiple timevarying delays［J］.System &Control Letters，2008，57（2）：175-183.

Consensus Control of Multi-Agent Systems with a Leader

GU Jian-zhong1a，YAO Jian-ling2，YANG Hong-yong1b
（1a.School of Mathematics and Statistics Science；b.School of Information Science and Engineering，Ludong University，Yantai 264025，China；2.Department of Mathematics，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240）

This paper is concerned with the leader-following consensus problem of second-order multi-agent systems.Under the assumption that the topology graph is static and dynamic，a decentralized control law based on the neighbor information is proposed for every agent with time-varying input delays.The consensus analysis is performed based on a proposed Lyapunov-Krasovskii functional，and sufficient conditions are obtained in terms of Linear Matrix Inequalities（LMI）.Finally，two simulations are presented to illustrate the theoretical results derived in the paper.

multi-agent systems；leader；consensus analysis；time-varying delay；dynamic topology

TP13

A

1672-3813（2013）03-0067-08

2012-12-04

國家自然科學基金（61273152，61170161，61174085）；山東省自然科學基金（ZR2011FM017）

顧建忠（1977-），女，山東蓬萊人，碩士，講師，主要研究方向為非線性系統(tǒng)控制與分析、多智能體系統(tǒng)的一致性分析。

（責任編輯 耿金花）