楊洪勇，徐邦海，劉 飛，寇光杰

（魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025）

分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng)的時(shí)延一致性

楊洪勇，徐邦海，劉 飛，寇光杰

（魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025）

假設(shè)多自主體系統(tǒng)內(nèi)部連接組成有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，個(gè)體的動(dòng)力學(xué)特性應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微分方程描述，個(gè)體之間數(shù)據(jù)傳輸存在通信時(shí)延。應(yīng)用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的Laplace變換和頻域理論，研究了時(shí)延多自主體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)一致性。由于整數(shù)階系統(tǒng)是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的特殊情況，結(jié)論可以推出與整數(shù)階系統(tǒng)相同的一致性判斷條件。最后應(yīng)用一個(gè)實(shí)例對(duì)結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證。

分?jǐn)?shù)階；多自主體系統(tǒng)；時(shí)延；一致性

0 引言

作為多自主體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制中最基本的問(wèn)題之一，一致性問(wèn)題受到了廣大科學(xué)工作者的廣泛關(guān)注［1-11］。多自主體系統(tǒng)的一致性是指空間分布的幾個(gè)自主體，在沒(méi)有中央集中控制或者全局通信的情況下，個(gè)體之間通過(guò)局部的相互耦合作用，達(dá)到一個(gè)相同的狀態(tài)或者輸出。在復(fù)雜環(huán)境中，個(gè)體之間通過(guò)相互感應(yīng)來(lái)獲得周圍環(huán)境和鄰居的狀態(tài)信息，然后根據(jù)需求來(lái)調(diào)整自身的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最后涌現(xiàn)出一種群集行為。在多自主體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題研究中，一般假設(shè)系統(tǒng)具有連續(xù)時(shí)間模型或離散時(shí)間模型，許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于多自主體系統(tǒng)的一階或者二階動(dòng)力學(xué)模型的研究［1-11］。

許多復(fù)雜環(huán)境中的物理系統(tǒng)展現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階（非整數(shù)階）動(dòng)力學(xué)行為，使用分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)描述帶有分?jǐn)?shù)階特性的研究對(duì)象，可以更好地揭示對(duì)象的本質(zhì)特性及其行為［12］。根據(jù)自主體工作環(huán)境的復(fù)雜性，許多自然現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)特性不能應(yīng)用整數(shù)階方程描述，只能用分?jǐn)?shù)階（非整數(shù)階）動(dòng)力學(xué)的智能個(gè)體合作行為來(lái)解釋，例如：借助于個(gè)體的分泌物而進(jìn)行的微生物的群集運(yùn)動(dòng)和食物搜索、在有大量微生物和粘性物質(zhì)的海底工作的水下機(jī)器人、在復(fù)雜太空環(huán)境運(yùn)行的無(wú)人駕駛飛行器等［13］。Cao和Ren研究了基于分?jǐn)?shù)階的多自主體系統(tǒng)的分布協(xié)作問(wèn)題［14-15］，給出了穩(wěn)定的多自主體系統(tǒng)中個(gè)體數(shù)量與分?jǐn)?shù)階之間的關(guān)系。Yang等研究了基于采樣數(shù)據(jù)的分?jǐn)?shù)階多自主體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)一致性［16］。但是對(duì)具有分?jǐn)?shù)階特性的多自主個(gè)體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制的研究，現(xiàn)有研究成果鮮有報(bào)道。

本文擬對(duì)分?jǐn)?shù)階分布式多自主個(gè)體系統(tǒng)的時(shí)延一致性進(jìn)行研究。在多自主體系統(tǒng)內(nèi)部連接組成有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，個(gè)體之間的信息傳輸存在通信時(shí)延的情況下，研究自主群體的運(yùn)動(dòng)一致性。

1 問(wèn)題描述

假設(shè)多自主體系統(tǒng)由n個(gè)自主個(gè)體組成，個(gè)體之間構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銰。假設(shè)G=｛V，E，A｝表示一個(gè)有向加權(quán)圖，其中V=｛v1，…，vn｝表示具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的集合，它的邊集合E?V×V。節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)集合I=｛1，2，…，n｝，鄰接矩陣A=［aij］，其中矩陣元素aij≥0表示節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的連接權(quán)重，如果節(jié)點(diǎn)i可以得到節(jié)點(diǎn)j的信息，則aij＞0，否則，aij=0。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)沒(méi)有自連，也就是，對(duì)于所有i∈I，aii=0。

在文獻(xiàn)［14］中，Cao等研究了式（1）的分?jǐn)?shù)階一致性算法：

其中，xi（t）和ui（t）分別表示第i個(gè)自主個(gè)體的狀態(tài)和控制輸入，xi（t）∈Rm，ui（t）∈Rm。為了討論方便，假設(shè)m=1。x（α）i（t）是xi（t）的第α階導(dǎo)數(shù)，α∈R+。假設(shè)多自主體系統(tǒng)的協(xié)作算法為

其中，aik是鄰接矩陣A的第（i，k）元素，Ni表示第i個(gè)Agent的鄰居集合。

本文假設(shè)系統(tǒng)存在通信時(shí)延，研究具有通信時(shí)延的多自主體系統(tǒng)的一致性。系統(tǒng)（1）在有通信時(shí)延的影響下，可以得到式（3）的算法：

其中，τ＞0為系統(tǒng)的通信時(shí)延。則具有通信時(shí)延的多自主個(gè)體系統(tǒng)的合作協(xié)議可以改寫(xiě)為

2 主要結(jié)論

根據(jù)文獻(xiàn)［14］的結(jié)論可知，分?jǐn)?shù)階多自主體系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階α∈（0，2）時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定，α＞2時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)就不收斂，因此本文假設(shè)分?jǐn)?shù)階α∈（0，2）。

定理1 假設(shè)有n個(gè)自主個(gè)體組成的多自主體系統(tǒng)，其連接拓?fù)錇橛邢蚓W(wǎng)絡(luò)，而且存在一個(gè)全局可達(dá)節(jié)點(diǎn)。則具有時(shí)延的多自主體系統(tǒng)（4）可漸近達(dá)到一致，如果

證明：對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)延多自主體系統(tǒng)（4）應(yīng)用LapLace變換，得到特征方程

其中，I表示單位矩陣，L為系統(tǒng)的Laplacian矩陣。由于系統(tǒng)有一個(gè)全局可達(dá)節(jié)點(diǎn)，所以0是矩陣L的一個(gè)單一特征值。當(dāng)α＞0時(shí)，系統(tǒng)的特征方程有一個(gè)特征根s=0。

本文應(yīng)用Gerschgorin圓盤(pán)定理估計(jì)矩陣G（jω）的特征值λ（G（jω）），根據(jù)Gerschgorin圓盤(pán)定理有式（7）成立

因此當(dāng)a≥1時(shí)，-a+j0點(diǎn)不在圓盤(pán)Gi中，也就是矩陣G（jω）的特征值λG（jω）的Nyquist曲線不包-1+j0點(diǎn)。因此F（s）的所有零點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。

注1：根據(jù)本文的結(jié)論（5），通信時(shí)延是非負(fù)的，因此系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階α∈（0，2）。這與文獻(xiàn)［14］得到多自主體系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階α∈（0，2）時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定的結(jié)論一致。

推論1 假設(shè)有n個(gè)自主個(gè)體組成的多自主體系統(tǒng)，其有向連接拓?fù)錇閷?duì)稱的，而且存在一個(gè)全局可達(dá)節(jié)點(diǎn)。則具有時(shí)延的多自主體系統(tǒng)（4）可漸近達(dá)到一致，如果

推論2 假設(shè)有n個(gè)自主個(gè)體組成的多自主體系統(tǒng)，其有向連接拓?fù)錇閷?duì)稱的，而且存在一個(gè)全局可達(dá)節(jié)點(diǎn)。則當(dāng)α=1時(shí)，時(shí)延多自主體系統(tǒng)（4）可漸近達(dá)到一致，如果

其中，λmax為矩陣L的最大特征值。

注2：推論2的結(jié)論與文獻(xiàn)［2］得到的時(shí)延多自主個(gè)體系統(tǒng)一致性收斂結(jié)論一樣。

圖1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 Topologies Graph

3 實(shí)例分析

假設(shè)多自主體系統(tǒng)有4個(gè)具有分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)描述的個(gè)體組成（見(jiàn)圖1），個(gè)體之間連接權(quán)重為a21=0.7，a42=0.8，a31=0.9，a14=1。系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階為α=0.8，有系統(tǒng)連接拓?fù)淇傻?/p>

根據(jù)定理1得到系統(tǒng)的通信時(shí)延上界為0.792 5。假設(shè)各自主個(gè)體系統(tǒng)的應(yīng)用分?jǐn)?shù)階協(xié)作算法，通信時(shí)延為0.7。應(yīng)用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)仿真可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能夠漸近達(dá)到一致（見(jiàn)圖2）。圖3中給出了各自主體系統(tǒng)的狀態(tài)偏差，其中E21=x2（t）-x1（t），E31=x3（t）-x1（t），E41=x4（t）-x1（t）。

圖2 通信時(shí)延為0.7s的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)圖Fig.2 Movement states of the fractional systems with delay of 0.7s

圖3 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)偏差圖Fig.3 Errors of movement states of the fractional systems

4 結(jié)論

本文研究了分?jǐn)?shù)階多自主體系統(tǒng)的一致性。假設(shè)多自主體系統(tǒng)內(nèi)部連接組成有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，個(gè)體的動(dòng)力學(xué)特性應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微分方程描述，個(gè)體之間數(shù)據(jù)傳輸存在通信時(shí)延。應(yīng)用Laplace變換和頻域Nyquist判據(jù)，得到了多自主體系統(tǒng)一致性的時(shí)延上界。假設(shè)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的階數(shù)為1時(shí)，本文得到的結(jié)論與整數(shù)階系統(tǒng)的結(jié)論是一致的。本文的后續(xù)工作，將研究具有整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階的異類多自主體系統(tǒng)的時(shí)延一致性。

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Consensus of Fractional-Order Multi-Agent Systems with Communication Delay

YANG Hong-yong，XU Bang-hai，LIU Fei，KOU Guang-jie
（School of Information and Electrical Engineering，Ludong University，Yantai 264025，China）

Since the complex of the practical environment，many distributed multi-agent systems can not be illustrated with the integer-order dynamics and can only be described with the fractional-order dynamics.Suppose the multi-agent systems are composed of directed weighted topologies，where the dynamical characteristic of agents are illustrated fractional-order derivative operator and communication delays influence in the data transferring in multi-agent systems.Applying the Laplace transform and frequency domain theory of the fractional-order operator，the consensus of delayed multi-agent systems is studied.Since integer-order model is the special case of fractional-order model，the results in this paper consist with that of integer-order model.Finally，an example is used to verify our results.

fractional-order；multi-agent systems；communication delays；consensus

TP39

A

1672-3813（2013）03-0081-05

2012-12-04

國(guó)家自然科學(xué)基金（61273152，61170161，61174085）；山東省自然科學(xué)基金（ZR2011FM017）

楊洪勇（1967-），男，山東慶云人，博士，教授，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)擁塞控制、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與復(fù)雜系統(tǒng)、多智能體協(xié)調(diào)控制等。

（責(zé)任編輯 耿金花）