孫樹磊 丁軍君 李 芾 黃運(yùn)華 周張義

（西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，610031，成都∥第一作者，博士研究生）

輪軌接觸由于對(duì)車輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、輪軌磨耗及滾動(dòng)接觸疲勞有較大影響，一直是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。自1882年接觸理論的創(chuàng)始人Hertz發(fā)表了《論彈性固體的接觸》論文以來，世界上眾多學(xué)者在赫茲接觸理論的基礎(chǔ)上發(fā)展了各種輪軌接觸模型，取得了較多進(jìn)展。文獻(xiàn)1等假定接觸斑每個(gè)條帶上的法向應(yīng)力呈半橢圓分布并利用兩個(gè)接觸體之間的穿透量通過迭代獲得接觸區(qū)域［1］。文獻(xiàn)2發(fā)展了三維彈性體非赫茲滾動(dòng)接觸理論［2］，通過對(duì)任意形狀的平面接觸區(qū)離散，并借助于Bossinesq－Cerruti力／位移公式進(jìn)行數(shù)值迭代求得解，又被稱為精確理論。文獻(xiàn)3等利用有限元方法分析輪軌接觸應(yīng)力分布和接觸區(qū)域，同時(shí)文獻(xiàn)4等利用有限元方法研究了輪軌法向接觸問題［4］，并利用分析結(jié)果對(duì)軌頭部分進(jìn)行優(yōu)化以適應(yīng)列車高速運(yùn)行。文獻(xiàn)5等發(fā)展了一種非迭代的輪軌法向接觸快速求解方法，其接觸區(qū)域?yàn)榉菣E圓［5］。

本文分別基于有限元方法、赫茲接觸理論和Kalker精確理論對(duì)地鐵車輛輪軌法向接觸問題進(jìn)行分析，并比較各種接觸模型下的法向接觸應(yīng)力和接觸斑形狀，為車輛動(dòng)力學(xué)、輪軌磨耗及滾動(dòng)接觸疲勞的進(jìn)一步研究提供參考。

1 輪軌法向接觸模型

1.1 赫茲接觸理論

赫茲接觸理論在應(yīng)用時(shí)基于彈性半空間假設(shè)，且認(rèn)為接觸斑內(nèi)兩物體曲率是常數(shù)，物體之間的法向間隙可表達(dá)為：

式中：

A、B——相對(duì)曲率；

x、y——坐標(biāo)。

在法向作用力N下，Hertz認(rèn)為接觸斑的形狀為橢圓，如圖1所示。接觸斑半軸長、相對(duì)位移量和法向接觸應(yīng)力見式（2）～（5）。

式中：

a、b——分別為橢圓長、短半軸；

m、n、r——赫茲接觸參數(shù)；

v——泊松比；

E——彈性模量；

δ0——兩個(gè)固體間相對(duì)位移量；

Pz——法向接觸應(yīng)力。

圖1 赫茲接觸示意圖

1.2 Kalker三維彈性體非赫茲滾動(dòng)接觸理論

Kalker從經(jīng)典彈性力學(xué)虛應(yīng)力功的概念，得到滾動(dòng)接觸問題的余虛功原理，將可能接觸區(qū)離散成若干個(gè)小單元，如圖2所示。借助于Bossinesq－Cerruti力／位移公式，使接觸問題求解轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的解［2－6］，見式（6），并編制了精確理論程序CONTACT。

式中：

i，j＝1，2，3——分別為圖2中坐標(biāo)軸x1，x2和x3方向；

τ＝1，2——分別為圖2中坐標(biāo)軸x1和x2方向；

x1，x2和x3——分別表示局部接觸坐標(biāo)系的縱向、橫向和法向；

I，J——矩形單元的編號(hào)；

C——余能；

AIiJj——力和位移的影響系數(shù)，其意義是作用于A處沿j方向單位力引起接觸面上另一點(diǎn)B處沿i方向的位移；

PIi和PJj——分別為接觸單元I和J處的作用力密度分量；

g0J——初始法向間隙；

q——輪軌在x3方向的接近量；

WJτ——J單元處輪軌界面相對(duì)剛性滑動(dòng)量；

u——滑動(dòng)量；

A0——矩形單元的面積；

bJ——單元中心處庫倫極限摩擦力；

Ac——表示處于接觸區(qū)內(nèi)；

M——單元總數(shù)；

P——總法向力。

圖2 矩形網(wǎng)格離散接觸區(qū)

2 有限元計(jì)算模型

車輪和鋼軌在相互作用區(qū)域中均要產(chǎn)生明顯變形，可以將其看做是柔體－柔體的接觸［7］。由于輪軌接觸表面尺寸遠(yuǎn)小于接觸表面的曲率半徑，接觸區(qū)域會(huì)出現(xiàn)非常大的應(yīng)力集中，即接觸區(qū)內(nèi)以及接觸區(qū)過渡到非接觸區(qū)的部位將出現(xiàn)很大的應(yīng)力梯度變化，因此，網(wǎng)格的精細(xì)程度將直接決定計(jì)算結(jié)果的精度。為得到較為精確的接觸應(yīng)力，接觸區(qū)及其附近區(qū)域需要細(xì)化到一定的程度。而計(jì)算規(guī)模隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加，將成指數(shù)形式增長，致使計(jì)算成本太大。為避免出現(xiàn)這種情況，在離接觸區(qū)較遠(yuǎn)的部分用較粗的網(wǎng)格進(jìn)行劃分，而接觸區(qū)內(nèi)部以及周邊區(qū)域采用較細(xì)的網(wǎng)格［7－8］。

ANSYS在接觸計(jì)算中，其面－面接觸算法可以支持有大滑動(dòng)和有摩擦的柔－柔大變形接觸等問題的計(jì)算，能夠?yàn)楣こ逃?jì)算提供很好的計(jì)算結(jié)果［9］，因此，本文利用ANSYS軟件模擬地鐵輪軌的接觸。采用一階八節(jié)點(diǎn)六面體單元solid45模擬車輪及鋼軌，采用接觸單元CONTA174和TARGE170組成接觸對(duì)，模擬車輪與鋼軌的接觸［10］。接觸對(duì)之間的摩擦和運(yùn)動(dòng)形式采用庫倫摩擦模型，摩擦系數(shù)取為0.3，接觸算法采用擴(kuò)展的拉格朗日算法。其有限元計(jì)算模型如圖3所示，在ANSYS中建立了車輪的二分之一模型以及鋼軌的局部模型，在鋼軌的底面施加垂向和橫向約束，在鋼軌的斷面施加縱向約束；在車輪輪轂的側(cè)面施加橫向約束，在輪轂孔的內(nèi)側(cè)面上施加垂向力。其接觸區(qū)域的局部放大如圖4所示。通過有限元計(jì)算，得到在不同輪對(duì)橫移量條件下的輪軌接觸應(yīng)力。當(dāng)輪對(duì)橫移量為0mm時(shí)，其輪軌接觸附近區(qū)域的von＿mises應(yīng)力云圖如圖5所示，其接觸區(qū)域及法向接觸應(yīng)力如圖6所示。

圖3 有限元計(jì)算模型

圖4 接觸區(qū)域局部細(xì)節(jié)放大圖

圖5 軌頭接觸附近von＿mises應(yīng)力云圖

圖6 接觸區(qū)域及法向接觸應(yīng)力

3 輪軌法向接觸模型對(duì)比分析

利用MATLAB軟件編制了輪軌赫茲接觸計(jì)算程序，同時(shí)利用Kalker精確理論的數(shù)值程序CONTACT計(jì)算地鐵車輛在不同輪對(duì)橫移量下法向接觸應(yīng)力和接觸斑面積，并與有限元分析結(jié)果進(jìn)行比較。其中輪軌關(guān)系采用LM型車輪踏面和60kg／m級(jí)鋼軌型面匹配，軸重為14t。輪軌接觸面積及最大法向接觸應(yīng)力如表1所示，輪軌接觸斑形狀如圖7所示，輪軌接觸應(yīng)力分布如圖8～圖10所示。

當(dāng)輪對(duì)橫移量為0時(shí)，由于接觸斑內(nèi)輪軌型面的曲率為常數(shù)，滿足赫茲接觸條件，因此赫茲接觸、CONTACT以及有限元模型計(jì)算的接觸斑形狀比較接近，CONTACT結(jié)果較赫茲接觸更接近于有限元計(jì)算結(jié)果；赫茲接觸的最大接觸應(yīng)力達(dá)到1 438 MPa，分別較CONTACT和有限元接觸大34.6%和12.6%；CONTACT與有限元模型的接觸面積相差很小，而赫茲接觸的接觸面積最大。

當(dāng)輪對(duì)橫移量為5mm時(shí)，由于接觸斑內(nèi)輪軌型面的曲率不是常數(shù)，因此赫茲接觸得到的接觸斑形狀與CONTACT和有限元模型相比有較大差異；CONTACT由于接觸面積較大，因此最大接觸應(yīng)力最小；雖然赫茲接觸與限元模型的接觸面積和最大接觸應(yīng)力比較接近，但其分布范圍不同。

表1 不同輪對(duì)模移量時(shí)輪軌間接觸面積和最大法向接觸應(yīng)力

圖7 輪軌接觸斑形狀

圖8 yw＝0mm時(shí)輪軌法向接觸應(yīng)力分布

圖9 yw＝5mm時(shí)輪軌法向接觸應(yīng)力分布

當(dāng)輪對(duì)橫移量為11mm時(shí)，發(fā)生輪緣接觸，接觸幾何尺寸與接觸斑尺寸相差不大，彈性半空間假設(shè)條件不再滿足，因此赫茲接觸和CONTACT的接觸斑形狀與有限元相比有較大差異；有限元模型的面積最大，幾乎是赫茲接觸和CONTACT的一倍，同時(shí)其最大接觸應(yīng)力最小，而赫茲接觸的最大接觸應(yīng)力則遠(yuǎn)大于CONTACT和有限元接觸模型。

圖10 yw＝11mm時(shí)輪軌法向接觸應(yīng)力分布

綜上，除了輪緣接觸工況外，CONTACT的計(jì)算結(jié)果都比較接近有限元接觸模型的計(jì)算結(jié)果，而赫茲接觸的計(jì)算結(jié)果則有較大出入。雖然有限元方法能較為準(zhǔn)確模擬輪軌法向接觸問題，但缺點(diǎn)是計(jì)算速度較慢，在工程運(yùn)用中受到限制，CONTACT也存在類似的問題。由于在輪軌磨耗及滾動(dòng)接觸疲勞的研究中需要對(duì)輪軌接觸進(jìn)行大量計(jì)算，因此輪軌法向接觸模型的計(jì)算精度和計(jì)算速度應(yīng)進(jìn)行綜合考慮。

4 結(jié)語

隨著越來越多的城市開通地鐵，地鐵車輛的輪軌磨耗及滾動(dòng)接觸疲勞等問題一直困擾著運(yùn)營管理者。本文基于赫茲接觸理論、Kalker精確理論和有限元方法研究了地鐵車輛輪軌法向接觸問題，包括接觸斑形狀、接觸面積和接觸應(yīng)力。在輪緣接觸工況下，赫茲接觸和CONTACT受彈性半空間假設(shè)限制導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與有限元接觸相差較大，而在其余工況下，CONTACT的計(jì)算結(jié)果都比較接近有限元接觸模型的計(jì)算結(jié)果。赫茲接觸由于受接觸斑內(nèi)輪軌曲率為常數(shù)的限制導(dǎo)致其計(jì)算結(jié)果與CONTACT和有限元接觸相比有較大出入。由于工程運(yùn)用中需對(duì)輪軌接觸進(jìn)行大量計(jì)算，因此輪軌法向接觸模型的計(jì)算精度和計(jì)算速度應(yīng)進(jìn)行綜合考慮。

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