丁光濤

1 引言

諧振子是力學(xué)和物理學(xué)中基本的模型之一,很多理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用研究都建立在這個(gè)模型之上[1,2].微振動(dòng)系統(tǒng)是可積系統(tǒng),然而,有關(guān)的問題,例如系統(tǒng)存在多少個(gè)不含時(shí)的獨(dú)立積分以及如何導(dǎo)出這些積分,仍是受關(guān)注的課題,很多系統(tǒng)的量子化與這些積分(守恒量)有關(guān)[3-6].文獻(xiàn)[7]用擴(kuò)展的P-S方法得到了二維非對(duì)稱諧振子系統(tǒng)分振動(dòng)的頻率比為有理數(shù)情況下的第三個(gè)獨(dú)立的積分,但是,對(duì)分振動(dòng)的頻率比為無理數(shù)情況下是否存在第三個(gè)獨(dú)立的積分問題,未做明確回答.

本文繼續(xù)研究諧振子系統(tǒng)不含時(shí)的獨(dú)立積分問題,探討構(gòu)造這種特殊系統(tǒng)積分的新方法.首先,對(duì)一維諧振子提出基本積分的概念,以及與之相關(guān)的構(gòu)造系統(tǒng)其他積分的直接方法.其次,將這種概念和方法推廣到二維系統(tǒng),并給出利用不同自由度的基本積分構(gòu)造系統(tǒng)其他積分的方法,證明所有的二維諧振子,包括對(duì)稱的和非對(duì)稱的兩種系統(tǒng),以及對(duì)非對(duì)稱的系統(tǒng)中分振動(dòng)的頻率比為有理數(shù)和無理數(shù)兩種情況,都存在能量積分之外的第三個(gè)獨(dú)立的與時(shí)間無關(guān)的積分,并對(duì)這些積分進(jìn)行了分析討論.最后,將一維和二維系統(tǒng)的結(jié)果直接推廣到n維諧振子系統(tǒng),利用上述方法直接構(gòu)造獨(dú)立的不含時(shí)積分,從而證明這種系統(tǒng)存在2n-1個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)的第一積分.

2 一維諧振子的基本第一積分

一維諧振子的運(yùn)動(dòng)微分方程為[1,2]

方程的兩個(gè)第一積分為

將t=0時(shí)的初始條件I11代人,即可知道I1和I2分別與初位置和初速度直接相關(guān),它們是兩個(gè)獨(dú)立的積分.由這兩個(gè)積分可以直接得出方程(1)的解

而且利用它們能夠構(gòu)造其他的積分,例如

容易證明,I3是振子能量,直接與振幅A相關(guān)

I4與振子初位相φ相關(guān)

在上述積分中,I3與時(shí)間無關(guān),給出了系統(tǒng)在相空間的軌道,然后直接積分這個(gè)一階微分方程,或是結(jié)合另外的與時(shí)間相關(guān)的積分用代數(shù)方法求解,就能確定諧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

從運(yùn)動(dòng)積分還能夠直接構(gòu)造諧振子的Lagrange函數(shù)[8],例如,由I3可以構(gòu)造得到

由I1和I2還可以分別構(gòu)造得到兩個(gè)Lagrange函數(shù)族

其中函數(shù)F應(yīng)滿足條件

因?yàn)?2)式中兩個(gè)積分與初位置和初速度直接相關(guān),既能直接導(dǎo)出諧振子的解,又能構(gòu)造其他積分,還能構(gòu)造Lagrange函數(shù)和函數(shù)族,所以我們將它們稱為諧振子的基本積分,這個(gè)概念是下面討論的出發(fā)點(diǎn).在此指出,下面只討論構(gòu)造諧振子的積分問題,而不再涉及構(gòu)造Lagrange函數(shù)問題.

3 二維對(duì)稱諧振子的第一積分

將上述一維情況推廣到二維情況.首先討論對(duì)稱諧振子,其運(yùn)動(dòng)方程為

方程的四個(gè)獨(dú)立的基本積分為

這四個(gè)獨(dú)立的積分的物理意義清楚,利用它們同樣能夠?qū)С龆S諧振子的解,也能利用它們構(gòu)造二維諧振子其他的積分.例如,與兩個(gè)分振動(dòng)對(duì)應(yīng)的能量積分和初位相積分

由此還可以得到涉及整個(gè)系統(tǒng)的積分,例如,總能量

和(初)位相差

以及其他整個(gè)系統(tǒng)的積分,例如,

積分I11與兩個(gè)分振動(dòng)的振幅和初位相差相關(guān),I12相當(dāng)于角動(dòng)量守恒,對(duì)于二維對(duì)稱諧振子而言,這兩個(gè)積分也是重要的積分.

由于(13)和(14)式中四個(gè)第一積分的任意函數(shù)都是新的積分,故二維對(duì)稱諧振子的積分有任意多個(gè),其中大部分是含時(shí)的.但是,在討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí),人們往往更重視尋找與時(shí)間無關(guān)的積分[1,3,7],如(15),(17),(19)—(22)式中的積分,每一個(gè)這樣的積分都表示系統(tǒng)相點(diǎn)在相空間中一個(gè)不隨時(shí)間而變化的曲面上運(yùn)動(dòng),對(duì)2個(gè)自由度的系統(tǒng)而言,如果導(dǎo)出3個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)積分,這些積分在相空間表示不同的固定曲面,它們的交線就是系統(tǒng)相點(diǎn)的軌道,如果再導(dǎo)出一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的積分,那么,相點(diǎn)在軌道上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就可以確定[1,2].上面給出的二維對(duì)稱諧振子的6個(gè)不含時(shí)積分并不是彼此獨(dú)立的,例如,I5,I7和I9,不是彼此獨(dú)立的;I6,I8和I10也不是彼此獨(dú)立的.對(duì)二維系統(tǒng)而言,最多只能有4個(gè)彼此獨(dú)立的積分,而獨(dú)立的不含時(shí)積分最多只能有3個(gè).二維對(duì)稱諧振子是簡(jiǎn)單可積系統(tǒng),它的四個(gè)獨(dú)立第一積分是容易全部得到的,例如,(13)和(14)式中四個(gè)第一積分就是彼此獨(dú)立的,(15)—-(18)式中四個(gè)積分也是彼此獨(dú)立的,三個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)積分也容易給出,如(15),(17),(20)式,或(19),(20),(22)式等.總而言之,利用四個(gè)基本積分,構(gòu)造二維對(duì)稱諧振子的其他積分問題,包括構(gòu)造獨(dú)立的不含時(shí)積分問題,就完全解決了.

4 二維非對(duì)稱諧振子的運(yùn)動(dòng)積分

討論二維非對(duì)稱諧振子,其運(yùn)動(dòng)方程為

同樣可以得到方程的四個(gè)基本的運(yùn)動(dòng)積分

利用這四個(gè)積分同樣能夠?qū)С龆S非對(duì)稱諧振子的解,以及構(gòu)造二維諧振子其他的積分,例如,與兩個(gè)分振動(dòng)對(duì)應(yīng)的能量積分和初位相積分

應(yīng)當(dāng)再次指出,二維諧振子運(yùn)動(dòng)無論是對(duì)稱的還是非對(duì)稱的,都是可積系統(tǒng),都能得到四個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)積分,如(24)和(25)式中或是(26)—(29)式中的四個(gè)積分.

仍存在其他涉及整個(gè)系統(tǒng)的積分,如總能量

但是,直接與上面(20)—(22)式對(duì)應(yīng)的積分則不存在了,這是因?yàn)棣?/=ω2的緣故.不含時(shí)的能量積分I9和I5,I7彼此相關(guān),獨(dú)立的只有兩個(gè).因此,要討論第三個(gè)這樣的不含時(shí)的獨(dú)立積分是否存在,如果存在將如何構(gòu)造的問題[7].

通常認(rèn)為,第三個(gè)不含時(shí)的獨(dú)立積分是否存在的問題與系統(tǒng)的相軌道是否閉合,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是否為周期運(yùn)動(dòng)的問題相關(guān)[1-3,7].已經(jīng)明確的是,當(dāng)兩個(gè)自由度的振動(dòng)頻率之比為有理數(shù),即ω1/ω2=p/q,p,q為整數(shù)時(shí),二維諧振子運(yùn)動(dòng)的相軌道是閉合的,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是周期的,第三個(gè)不含時(shí)的獨(dú)立積分存在;然而當(dāng)振動(dòng)頻率之比為無理數(shù)時(shí),二維諧振子運(yùn)動(dòng)的相軌道不是閉合的,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是非周期的.第三個(gè)不含時(shí)的獨(dú)立積分是否存在呢?有關(guān)文獻(xiàn)中并沒有回答.我們將在上面討論的基礎(chǔ)上,直接從構(gòu)造運(yùn)動(dòng)積分的途徑,來研究第三個(gè)不含時(shí)的獨(dú)立積分的問題,對(duì)振動(dòng)頻率之比為無理數(shù)情況給出答案.

不難看出,前面一維振子和二維對(duì)稱諧振子,從四個(gè)基本的含時(shí)的運(yùn)動(dòng)積分導(dǎo)出不含時(shí)的運(yùn)動(dòng)積分是通過代數(shù)運(yùn)算消去時(shí)間因子得到的.在二維非對(duì)稱振子情況,振動(dòng)頻率之比為有理數(shù)時(shí),除了能量積分外,仍然能夠通過有限次的代數(shù)運(yùn)算從四個(gè)基本的含時(shí)的運(yùn)動(dòng)積分中再消去時(shí)間因子,得到新的不含時(shí)的積分.這里的方法與文獻(xiàn)[7]不同,作為實(shí)例并為了簡(jiǎn)化討論,下面只處理ω1/ω2=2的情況,此時(shí)(24)和(25)式可以改寫成

由(32)式可導(dǎo)出

從(31)和(33)式消去時(shí)間因子,導(dǎo)出新的獨(dú)立的不含時(shí)的積分為

這個(gè)積分與文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果一致.

但是,還有一種更簡(jiǎn)單的方法直接導(dǎo)出另一個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)的積分

這個(gè)積分可以看作(20)式中積分的推廣,可以將它變換成代數(shù)函數(shù)形式

這是一個(gè)不同于I10的積分.

當(dāng)ω1/ω2為無理數(shù)時(shí),不能導(dǎo)出類似I10的積分了,但是,能夠?qū)С鲱愃艻11的積分

這就是第三個(gè)不含時(shí)的獨(dú)立積分.然而,由于ω1/ω2為無理數(shù),積分I11與積分I12之間有重要區(qū)別,I12不能變換為代數(shù)函數(shù)形式,積分I11在相空間的曲面是閉合的,而積分I12在相空間的曲面不是閉合的,與其他積分曲面的交線構(gòu)成不閉合的相軌道,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非周期的.應(yīng)當(dāng)指出,(37)式形式的積分是一種普遍的形式,并不僅限于ω1/ω2為無理數(shù)的情況.ω1/ω2為有理數(shù),包括等于1的情況,都存在這種形式的積分,(20)和(35)式的積分是其特例.

上面給出了從二維諧振子同一個(gè)自由度和不同自由度的基本積分構(gòu)造諧振子系統(tǒng)其他積分的方法.利用這種方法證明了對(duì)二維諧振子不論是對(duì)稱的,還是非對(duì)稱的,也不論兩個(gè)振動(dòng)的頻率比是有理數(shù),還是無理數(shù),都可以在能量積分之外構(gòu)造得到第三個(gè)獨(dú)立的與時(shí)間無關(guān)的積分.頻率比是有理數(shù)的系統(tǒng)第三個(gè)獨(dú)立的與時(shí)間無關(guān)的積分是代數(shù)函數(shù),或是可以變換成代數(shù)函數(shù)形式,三個(gè)獨(dú)立的與時(shí)間無關(guān)的積分在相空間中曲面的交線是閉合的相軌道,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是周期的;頻率比是無理數(shù)的系統(tǒng)第三個(gè)獨(dú)立的與時(shí)間無關(guān)的積分是超越函數(shù),不能變換成代數(shù)函數(shù)形式,系統(tǒng)的相軌道不是閉合的,運(yùn)動(dòng)不是周期的.這種討論是純理論的.諧振子模型是一種理想模型,在實(shí)際的物理系統(tǒng)中,頻率比是1,是有理數(shù),還是無理數(shù),都只是理想情況.兩個(gè)自由度間微小的耦合,運(yùn)動(dòng)初始條件的細(xì)微變化,系統(tǒng)非線性的微弱存在,都會(huì)對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),特別是長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響.

5 多維諧振子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)積分

對(duì)一維和二維諧振子的積分問題的討論,得到了如何從同一個(gè)自由度振動(dòng)和不同的自由度振動(dòng)的基本積分構(gòu)造其他積分的方法,顯然,這種方法容易推廣到n維諧振子.設(shè)n維諧振子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組為

其中n個(gè)頻率ωi可以相等或不相等;不相等的頻率之比,可以為有理數(shù)或無理數(shù).對(duì)應(yīng)于每一個(gè)自由度的分振動(dòng)都存在(2)式形式的基本積分

這2n個(gè)積分是彼此獨(dú)立的第一積分.利用它們能夠構(gòu)造對(duì)應(yīng)于振動(dòng)能量和位相的積分

這2n個(gè)積分也是彼此獨(dú)立的第一積分.(40)式中n個(gè)能量積分與時(shí)間無關(guān),還可以進(jìn)一步推導(dǎo)其他的與時(shí)間無關(guān)的第一積分.對(duì)頻率相等的分振動(dòng),可以得到(20)式形式的積分,它們對(duì)應(yīng)著分振動(dòng)的初位相差,也可以得到(21)和(22)式形式的積分;對(duì)頻率不相等的分振動(dòng),可以得到(37)式形式的積分,等等.顯然,能夠?qū)С龅牟缓瑫r(shí)的第一積分是相當(dāng)多的,而我們關(guān)心的是能夠構(gòu)造得到多少個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)的第一積分.

下面用構(gòu)造法證明對(duì)n維的諧振子系統(tǒng),總能夠得到(2n-1)個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)積分.取第一個(gè)分振動(dòng)為基準(zhǔn),設(shè)頻率等于ω1的分振動(dòng)有m個(gè)(m≤n),將這m個(gè)分振動(dòng)排在前面,即ω1=ω2=···=ωm,余下的n-m個(gè)分振動(dòng)的頻率與ω1不相等,這n-m個(gè)分振動(dòng)的頻率之中可能又分為相等或不相等的,但是對(duì)下面的證明沒有影響.首先,(40)式形式的能量積分有n個(gè),它們是獨(dú)立的;這些能量積分可以將幾個(gè)分振動(dòng)組合起來,甚至整個(gè)系統(tǒng),即全部分振動(dòng)的能量加起來,得到更多與能量相關(guān)的積分,但是,獨(dú)立的只有n個(gè).其次,m個(gè)頻率相等的分振動(dòng),可以導(dǎo)出m-1個(gè)獨(dú)立的初位相差積分,例如,

余下的n-m個(gè)頻率與ω1不相等的分振動(dòng),可以構(gòu)成n-m個(gè)(37)式形式的不含時(shí)積分

(42)和(43)式中共有n-1個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)積分.總而言之,(40),(42)和(43)式中共有2n-1個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)積分.這些積分分別與分振動(dòng)的能量和位相相關(guān),而能量(振幅)和位相是振動(dòng)現(xiàn)象中具有特征意義的物理量.導(dǎo)出2n-1個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)積分,就確定了系統(tǒng)代表點(diǎn)在相空間的軌跡,再利用一個(gè)含時(shí)的第一積分,就可以確定相點(diǎn)沿相軌跡運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.綜上所述,n維的諧振子系統(tǒng)是完全可積系統(tǒng),(39)式中2n個(gè)第一積分,或(40)和(41)式中2n個(gè)第一積分,都是系統(tǒng)的獨(dú)立的第一積分;而且通過直接構(gòu)造得到(40),(42)和(43)式形式的與時(shí)間無關(guān)的第一積分,證明n維的諧振子系統(tǒng)存在著(2n-1)個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)的第一積分.

6 結(jié)束語

本文研究諧振子的不含時(shí)積分問題,給出構(gòu)造這種積分的新途徑,在力學(xué)和物理學(xué)中,人們往往對(duì)這樣的運(yùn)動(dòng)積分更重視,它們與經(jīng)典力學(xué)中系統(tǒng)相點(diǎn)在相空間的軌道的封閉性和運(yùn)動(dòng)的周期性相關(guān),與量子力學(xué)中系統(tǒng)的不同量子化模式相關(guān).首先,本文討論一維諧振子,提出基本積分的概念,以及利用基本積分構(gòu)造其他積分的方法.其次,將基本積分的概念和構(gòu)造其他積分的方法推廣到二維情況,并解決如何利用不同自由度振動(dòng)的基本積分構(gòu)造新的與時(shí)間無關(guān)的積分的問題,證明了對(duì)不同類型的二維諧振子都存在3個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)的積分.最后,將這種方法推廣到n維諧振子系統(tǒng),利用直接構(gòu)造法證明n維諧振子總是存在2n-1個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)積分,并給出這樣2n-1個(gè)獨(dú)立的不含時(shí)積分的實(shí)例,這些積分由基本積分導(dǎo)出并分別與振動(dòng)能量和位相組合相關(guān).

本文對(duì)二維諧振子的積分問題討論得比較詳細(xì),對(duì)稱的二維諧振子可以構(gòu)造得到的不含時(shí)積分函數(shù)形式比較多.對(duì)非對(duì)稱二維諧振子系統(tǒng)而言,兩個(gè)分頻率比是有理數(shù)還是無理數(shù),兩種情況存在重大區(qū)別.頻率比是有理數(shù)時(shí)系統(tǒng)的相軌道閉合,運(yùn)動(dòng)是周期的;頻率比是無理數(shù)時(shí),系統(tǒng)能量積分之外的第三個(gè)獨(dú)立的與時(shí)間無關(guān)的積分是超越函數(shù),相軌道不能閉合,運(yùn)動(dòng)是非周期的.但是,研究結(jié)果表明,相軌道是否為閉合的運(yùn)動(dòng)是否為周期的,并不能決定第三個(gè)獨(dú)立的與時(shí)間無關(guān)的積分能否存在,各種類型的二維諧振子系統(tǒng)都存在三個(gè)不含時(shí)的獨(dú)立積分.

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