潘 健,馬 勇,高 玨

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院,廣東 廣州 510640)

0 引言

可靠度分析方法的引入對土木工程設(shè)計(jì)方法的革新起到了巨大的推動作用.特別是在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域,可靠度方法已形成了一套完整的基于概率理論的極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法.然而,在巖土工程領(lǐng)域,特別是邊坡工程領(lǐng)域,雖然有大量的學(xué)者投入到這方面的研究[1-5],但實(shí)際應(yīng)用可靠度理論還是局限于少數(shù)特殊工程.

美國著名巖土工程師Duncan在其文章中指出:"制約可靠度理論在巖土工程中的應(yīng)用主要有兩點(diǎn)原因.其一,大多巖土工程師不熟悉可靠度理論的概念和模型;其二,人們常常誤以為可靠度分析需要更多資料,會花費(fèi)更多時(shí)間和精力[4]".為此本文嘗試采用泰勒級數(shù)法這一簡單的概率分析方法,將可靠度分析方法與傳統(tǒng)的安全系數(shù)法結(jié)合起來,形成了一種簡化的可靠度分析方法,并將其應(yīng)用于邊坡工程可靠度分析中.

1 泰勒級數(shù)法

泰勒級數(shù)法由美國土木工程師Wolff[3]首先提出,后來Duncan[4]又對其應(yīng)用進(jìn)行了一系列研究,最終形成了一套系統(tǒng)的、簡便的、可靠的巖土工程可靠度分析方法.國內(nèi)該方法的應(yīng)用不多,作者曾嘗試將該方法應(yīng)用于地基沉降計(jì)算[6].

1.1 土坡穩(wěn)定安全系數(shù)

我國現(xiàn)行規(guī)范通過土坡穩(wěn)定安全系數(shù)描述土坡的可靠程度.針對不同的邊坡類型,采用對應(yīng)的安全系數(shù)計(jì)算公式.只要計(jì)算出來的安全系數(shù)大于目標(biāo)安全系數(shù),人們就認(rèn)為土坡就是穩(wěn)定的,這一過程可以歸結(jié)為以下公式:

式中,K為安全系數(shù);R為抗力;S為作用力;[K]為目標(biāo)安全系數(shù),可根據(jù)邊坡工程安全等級和計(jì)算方法確定.

這一方法被稱為安全系數(shù)法,又稱單一安全系數(shù)法,將設(shè)計(jì)變量視為非隨機(jī)變量,在強(qiáng)度上根據(jù)經(jīng)驗(yàn)打一折扣作為安全儲備.由于抗力和作用都是定值,所以安全系數(shù)也是定值,這種方法屬于定值法.由于土性參數(shù)具有一定的不確定性,傳統(tǒng)的安全系數(shù)法并不能恰當(dāng)?shù)乜紤]不確定性的影響,結(jié)果出現(xiàn)安全系數(shù)滿足規(guī)范要求仍然發(fā)生邊坡失穩(wěn)的情況[4].可靠度理論是建立在概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上,以隨機(jī)變量和隨機(jī)過程為研究對象,它與定值分析方法最大區(qū)別是考慮了變量的隨機(jī)性,并用嚴(yán)格的概率度量結(jié)構(gòu)的安全度,就土坡穩(wěn)定分析而言,可靠度理論是建立在土體具有的抗力大于荷載效應(yīng)的概率基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)和校核的,因此更符合客觀實(shí)際.可見在邊坡工程設(shè)計(jì)中,引入可靠度分析方法是十分有必要的[17].

1.2算例

圖1所示,某工程場地勘測地基土分為兩層.第一層為粉質(zhì)粘土,天然重度γ1=18.2 kN/m3,標(biāo)準(zhǔn)差 σγ1=0.91 kN/m3;內(nèi)摩擦角φ1=23°,內(nèi)摩擦系數(shù)(內(nèi)摩擦角的正切值)f1=0.424,標(biāo)準(zhǔn)差σf1=0.036;黏聚力c1=5.8 kPa,標(biāo)準(zhǔn)差σc1=0.44 kPa;層厚h1=2.0 m.第二層為粘土,天然重度γ2=19.0 kN/m3,標(biāo)準(zhǔn)差σγ2=0.95 kN/m3;內(nèi)摩擦角φ2=18°,內(nèi)摩擦系數(shù)f2=0.325,標(biāo)準(zhǔn)差σf2=0.026;黏聚力c2=8.5 kPa,標(biāo)準(zhǔn)差σc2=0.64 kPa;層厚h2=8.3 m.基坑開挖深度5.0 m,基坑開挖邊坡為1:1,不考慮地下水的作用.

圖1 邊坡算例示意圖

(1)土坡穩(wěn)定分析

整體穩(wěn)定分析采用《建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范》(GB50330-2002)推薦使用的圓弧滑動面法進(jìn)行分析,則土坡穩(wěn)定安全系數(shù)K公式為:

式中,φi為第i個土條的內(nèi)摩擦角;n為土條的數(shù)目;Qi為第i個土條的自重;αi為第i個土條法向分力與垂線之間的夾角;L為圓弧的總長度.

計(jì)算可得K=1.14.

(2)土坡穩(wěn)定安全系數(shù)的可靠度分析

對邊坡穩(wěn)定性分析來說,影響安全系數(shù)K的強(qiáng)度參數(shù)主要為內(nèi)摩擦角φ與黏聚力c.對內(nèi)摩擦角φ來說,現(xiàn)行的做法是將內(nèi)摩擦系數(shù)f(tan φ)而不是內(nèi)摩擦角φ作為隨機(jī)變量[4].

參與計(jì)算土坡穩(wěn)定安全系數(shù)K的參數(shù)均包含不確定性,因此K也包含了一定的不確定性,對其進(jìn)行可靠度分析是有必要的.采用Wolff等人提出的泰勒級數(shù)法進(jìn)行分析,公式如下[4],

式中,σK為土坡穩(wěn)定安全系數(shù)K的標(biāo)準(zhǔn)差;δK為土坡穩(wěn)定安全系數(shù)K的變異系數(shù);ΔKi為考慮第i項(xiàng)參數(shù)變異性時(shí)安全系數(shù)K的差值(i=1,2,…,n,n為存在不確定性的參數(shù)的數(shù)目),ΔKi=(K1+-K1-),K1+和K1-分別為保持其它參數(shù)取平均值不變時(shí),使用第i個參數(shù)的平均值加上一倍和減去一倍標(biāo)準(zhǔn)差求得的安全系數(shù);δK為安全系數(shù)的變異值;E(K)為安全系數(shù)的期望值,即常規(guī)計(jì)算所得的安全系數(shù).計(jì)算結(jié)果如表1所示.

表1 泰勒級數(shù)法分析土坡穩(wěn)定可靠度

由此,可以將計(jì)算參數(shù)中所包含的不確定性量化為安全系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù).將該結(jié)果代入安全系數(shù)可能服從的概率分布類型,即可求得對應(yīng)的可靠度指標(biāo)和失效概率.

1.3 邊坡穩(wěn)定失效概率

在邊坡穩(wěn)定性分析中,可靠度指標(biāo)[5]的值是邊坡狀態(tài)函數(shù)(以基本變量為自變量,反映邊坡完成功能狀態(tài)的函數(shù))的平均值除以狀態(tài)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的商,或是在n維狀態(tài)空間中,n維極限狀態(tài)面至坐標(biāo)原點(diǎn)的最短距離.在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中,可靠度指標(biāo)β與失效概率Pf有數(shù)值上的對應(yīng)關(guān)系.

多數(shù)學(xué)者認(rèn)為安全系數(shù)服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布[4-5,7-8].針對這兩種不同的概率分布類型,都可以通過簡單的概率計(jì)算求得安全系數(shù)的失效概率.

(1)安全系數(shù)服從正態(tài)分布

如果安全系數(shù)服從正態(tài)分布,則可通過以下公式計(jì)算出對應(yīng)的可靠度指標(biāo)βN,

式中,βN為正態(tài)分布下的可靠度指標(biāo);δK為安全系數(shù)的變異系數(shù);E(K)為安全系數(shù)的期望值,即常規(guī)計(jì)算所得的安全系數(shù).

計(jì)算可得βN=2.36,之后通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積公式,即可求出安全系數(shù)對應(yīng)的失效概率Pf,

式中,β為可靠度指標(biāo).

將可靠度指標(biāo)βN代入式(6),可得安全系數(shù)K服從正態(tài)分布時(shí)的失效概率Pf為0.91%.

(2)安全系數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布

如果安全系數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布,則可通過以下公式計(jì)算出對應(yīng)的可靠度指標(biāo)βLN,

式中,βLN為對數(shù)正態(tài)分布下的可靠度指標(biāo);δK為安全系數(shù)的變異系數(shù);E(K)為安全系數(shù)的平均值,即常規(guī)計(jì)算所得的安全系數(shù).

計(jì)算可得βLN=2.50,將可靠度指標(biāo)代入式(6)可得安全系數(shù)K服從對數(shù)正態(tài)分布時(shí)失效概率Pf為0.62%.

由此可以看出,泰勒級數(shù)法提供了一種計(jì)算可靠度和失效概率簡單有效的方法,為邊坡穩(wěn)定性分析提供了一條新的思路.另外,上述計(jì)算中,安全系數(shù)無論是服從對數(shù)正態(tài)分布還是服從正態(tài)分布,失效概率均比較小,因此認(rèn)為該邊坡工程基本穩(wěn)定,工作性能良好.

1.4 泰勒級數(shù)法的步驟

應(yīng)用泰勒級數(shù)法對邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)進(jìn)行可靠度分析的步驟如下:

(1)使用各參數(shù)的平均值,采用常規(guī)理論或經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算安全系數(shù)K.

(2)采用下文介紹的方法估算存在不確定性的參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

(3)使用Excel或者其它電子表格類程序,逐一采用各參數(shù)平均值加(或減)一倍標(biāo)準(zhǔn)差后的值重新計(jì)算安全系數(shù).計(jì)算時(shí),每次只改變一個參數(shù),其它參數(shù)采用平均值.這里包含2n次計(jì)算,n是存在不確定性的參數(shù)的數(shù)目.先通過計(jì)算求得n個K+和n個K-,繼而求得ΔK.計(jì)算出對應(yīng)不同參數(shù)的ΔK,并按照式(2)、(3)計(jì)算安全系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σK和變異系數(shù)δK.

(4)選擇安全系數(shù)最可能服從的分布情況,計(jì)算其失效概率Pf.

應(yīng)用泰勒級數(shù)法最主要的工作在于步驟(2)、(3)中數(shù)據(jù)分析的評估,特別是參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的確定需要審慎的判斷.

2 土性參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的取值方法

參數(shù)所包含的不確定性將直接影響安全系數(shù)的不確定性.準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)差取值將使得可靠度分析的結(jié)果更加具有參考價(jià)值.根據(jù)掌握的數(shù)據(jù)資料的多少,可以通過以下方法來取得較合理的土性參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差.

2.1 直接計(jì)算法

如果有足夠的數(shù)據(jù),可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義,直接采用以下公式計(jì)算,

式中,σ為標(biāo)準(zhǔn)差,xi為參數(shù)x第i個值,xˉ為參數(shù)x的平均值,N為樣本總數(shù).

雖然這一公式的數(shù)學(xué)定義明確且便于計(jì)算,但是其實(shí)際應(yīng)用往往受到樣本總數(shù)的制約.當(dāng)樣本總數(shù)偏小時(shí),計(jì)算求得的標(biāo)準(zhǔn)差往往也會偏小.而在實(shí)際工程中,數(shù)據(jù)往往不是很充分,而且很多參數(shù)是通過相關(guān)性估計(jì)得到的.因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí),通過下面兩種方法得到的標(biāo)準(zhǔn)差往往更加接近實(shí)際情況.

2.2 已有資料

由于我國正處在基礎(chǔ)建設(shè)高速增長的時(shí)期,通過不同工程實(shí)踐積累了大量的數(shù)據(jù).因此在處理類似區(qū)域,類似土層的問題時(shí),可以參考其它工程的經(jīng)驗(yàn).表2列舉了不同地區(qū)粉質(zhì)粘土物理力學(xué)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)情況.在得到了相關(guān)參數(shù)的變異系數(shù)之后,即可通過以下公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差,

表2 部分地區(qū)粉質(zhì)粘土物理力學(xué)參數(shù)統(tǒng)計(jì)表[9-14]

式中,σ為標(biāo)準(zhǔn)差,xˉ為參數(shù)x的平均值,δ為變異系數(shù).

2.3 三倍標(biāo)準(zhǔn)差法則(3σ法則)

三倍標(biāo)準(zhǔn)差法則是Dai和Wang[15]首先提出的,對于一個具有正態(tài)分布的參數(shù),99.73%的數(shù)據(jù)都分布于平均值加減3倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi).因此可以采用已有數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差值的六分之一作為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差,即

式中,σ為標(biāo)準(zhǔn)差,xmax為參數(shù)x的最大值,xmin為參數(shù)x的最小值.

穩(wěn)定分析中采用的巖土參數(shù)如抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c、φ,材料重度γ等均可以采用3σ法則在沒有足夠數(shù)據(jù)的情況下進(jìn)行參數(shù)變異性分析.

3 工程實(shí)例

3.1 工程概況

廣東佛山某房地產(chǎn)項(xiàng)目,位于佛山市南海區(qū)里水鎮(zhèn)洲村,總占地面積約126 000 m2,塔樓超高層建筑層數(shù)為32~45層.擬建地塊在道路西南側(cè),場地地形地貌變化大,存在高陡邊坡,其周長約1 000 m,呈U形,邊坡最高高度為48 m,邊坡安全等級為一級.

依據(jù)地塊總體規(guī)劃,擬建項(xiàng)目隨山體坡勢,在場地周邊分布為外環(huán)路,其路寬約6 m,對于外環(huán)路以外的邊坡作為景觀設(shè)計(jì)保留.在外環(huán)路以內(nèi)為高層建筑群,以路面標(biāo)高為小區(qū)建筑地坪,建筑群下設(shè)置為互相連通的大底盤1-4層地下室,地下室邊線分布于外環(huán)路內(nèi)邊沿.部分區(qū)域基坑開挖作業(yè)將在現(xiàn)邊坡坡腳下形成與開挖深度相對應(yīng)高度的新人工邊坡,其穩(wěn)定情況將成為制約本工程成敗的關(guān)鍵.

建設(shè)方考慮到施工過程中可能遭遇的風(fēng)險(xiǎn),邀請本文作者為該項(xiàng)目提供項(xiàng)目咨詢服務(wù).針對該工程的特殊情況,我們表明了進(jìn)行可靠度研究工作的必要性.在征得建設(shè)方同意后,對主要5個坡段采用泰勒級數(shù)法進(jìn)行了可靠度分析.

現(xiàn)選取一代表坡段說明,如圖2所示,該段坡高30 m,坡度1:1,已采用格構(gòu)及坡面種植植物等支護(hù)措施,設(shè)3道馬道,馬道寬2 m.基坑開挖采用1:1放坡開挖,開挖深度為6 m,由于場地原因?qū)⒅苯釉谠吰缕履_處開挖.根據(jù)地質(zhì)勘察資料,該區(qū)域邊坡主要由兩種粉質(zhì)粘土組成,土層與邊坡呈逆坡向,土層傾角為10°左右,為簡化計(jì)算,考慮土層為水平分布,不考慮地下水作用.

圖2 基坑開挖前后邊坡對比圖

3.2 巖土材料參數(shù)的確定

地質(zhì)勘察共取40組原位土樣進(jìn)行常規(guī)土工試驗(yàn).分別采用上文提到的直接計(jì)算、已有資料和三倍標(biāo)準(zhǔn)差法則估算各參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算結(jié)果如表3所示.標(biāo)準(zhǔn)差的最終取值采用三種方法求得的最大值.

3.3 邊坡可靠性分析

根據(jù)式(2)可以求得,邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)為K=1.39,滿足規(guī)范要求.

根據(jù)式(3),(4)求邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和安全系數(shù),結(jié)果如表4所示.

將邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和安全系數(shù)分別代入式(5),(7)可得可靠度指標(biāo)βN=1.88,βLN=2.15.

將βN和βLN分別代入式(6),可知當(dāng)安全系數(shù)服從正態(tài)分布時(shí),失效概率Pf=3.0%;當(dāng)安全系數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布時(shí),失效概率Pf=1.58%.為了對泰勒級數(shù)法的正確性進(jìn)行驗(yàn)算,本文利用可靠度分析中常用的蒙特卡洛法(MC法)對本邊坡進(jìn)行了計(jì)算,在統(tǒng)計(jì)參數(shù)變量均為對數(shù)正態(tài)分布時(shí)計(jì)算的失效概率為1.48%,與本文中的計(jì)算非常接近(誤差為6.33%),完全能滿足工程要求.可見,雖然常規(guī)計(jì)算結(jié)果滿足規(guī)范要求,但由于土性參數(shù)的不確定性,邊坡還是存在一定風(fēng)險(xiǎn)的,特別當(dāng)參數(shù)的變異性大于估計(jì)值時(shí),這種失效的風(fēng)險(xiǎn)將變得更大.

表3 巖土材料參數(shù)表

表4 泰勒級數(shù)法可靠度分析

3.4 失效概率的評估和應(yīng)用

失效概率的評價(jià)并沒有唯一的標(biāo)準(zhǔn),這里我們采用《地鐵及地下工程建設(shè)風(fēng)險(xiǎn)管理指南》[16]中推薦的風(fēng)險(xiǎn)事故概率評定標(biāo)準(zhǔn).

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率,本工程的風(fēng)險(xiǎn)等級為四級(1%≤Pf<10%),可能發(fā)生.同時(shí),考慮到安全系數(shù)本身滿足規(guī)范要求(根據(jù)《建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范》(GB50330-2002),邊坡安全系數(shù)>1.30),參考類似工程的經(jīng)驗(yàn)及經(jīng)濟(jì)性要求,我方分析認(rèn)為該邊坡基本穩(wěn)定,無需大面積設(shè)置錨桿、擋土墻等支擋結(jié)構(gòu).但是,由于本工程邊坡開挖面積較大,基坑暴露時(shí)間較長,廣東地區(qū)雨季降水較多.同時(shí)考慮到場地水土保持以及文明施工等因素,必須采取對應(yīng)的坡面防護(hù)及排水措施,具體建議措施如下:

(1)邊坡坡頂、坡面、坡腳和水平平臺應(yīng)設(shè)排水系統(tǒng),在坡頂外圍應(yīng)設(shè)截水溝;

(2)當(dāng)邊坡表層有積水、地下水滲出或地下水露頭時(shí),應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置外傾排水孔、盲溝排水、鉆孔排水、以及在上游沿垂直地下水流向設(shè)置地下水廊道以攔截地下水等導(dǎo)排措施;

(3)開挖后的坡面應(yīng)及時(shí)鋪設(shè)纖維網(wǎng),同時(shí)完成種草等植物防護(hù)措施;

(4)應(yīng)視開挖后情況采用噴錨或格構(gòu)等措施,必要時(shí),在開挖面形成初期可先使用水泥砂漿護(hù)面;

(5)施工過程中對邊坡進(jìn)行嚴(yán)格監(jiān)測,出現(xiàn)險(xiǎn)情時(shí),及時(shí)處理.

經(jīng)過坡面防護(hù)后的邊坡經(jīng)歷了廣東地區(qū)雨季的強(qiáng)降雨天氣,雖然個別區(qū)域出現(xiàn)了較大位移,但總體保持穩(wěn)定,監(jiān)測數(shù)據(jù)處于正常范圍.表明泰勒級數(shù)法能較好的反映土性參數(shù)的不確定影響,對工程實(shí)際有較好的指導(dǎo)作用.

4 結(jié) 論

(1)嘗試將泰勒級數(shù)法應(yīng)用到實(shí)際工程領(lǐng)域進(jìn)行可靠度分析.實(shí)際情況表明,泰勒級數(shù)法簡單有效,可以就實(shí)際情況給出合理的可靠度分析結(jié)果.

(2)泰勒級數(shù)法使用簡便,不需要比常規(guī)分析更多的數(shù)據(jù).在原始數(shù)據(jù)不足的情況下,可以參考其他工程的經(jīng)驗(yàn)選取相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算出邊坡的失效概率.

(3)泰勒級數(shù)法是以安全系數(shù)法為基礎(chǔ)的一種可靠度分析方法,將土性參數(shù)的不確定性反應(yīng)成安全系數(shù)的不確定性.在評估應(yīng)用泰勒級數(shù)法的分析結(jié)果時(shí),應(yīng)結(jié)合安全系數(shù)使用.

(4)通過泰勒級數(shù)法得到的失效概率反映了安全系數(shù)小于1的概率.但是,如何將失效概率與邊坡等級、工程等級、場地情況甚至施工質(zhì)量掛鉤仍需要在工程實(shí)踐中探索.

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