時(shí)賢 ，程遠(yuǎn)方 ，李友志 ，趙鳳坤 ，袁征

（1.中國(guó)石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東 青島 266580；2.中國(guó)石油煤層氣有限責(zé)任公司，陜西 韓城 715400；3.中海油田服務(wù)股份有限公司，天津 300457）

0 引言

水力壓裂方法是目前公認(rèn)的開(kāi)采低滲透致密氣藏的常規(guī)方法［1-2］，其本質(zhì)是通過(guò)誘導(dǎo)液流，形成具有一定導(dǎo)流能力的裂縫，改善復(fù)雜儲(chǔ)層的整體滲透率及生產(chǎn)流入動(dòng)態(tài)，從而提高產(chǎn)能。目前關(guān)于致密氣藏產(chǎn)能的預(yù)測(cè)方法較多，主要有基于絕對(duì)無(wú)阻流量的度量方法，或者是通過(guò)建立低滲透氣藏流體的非達(dá)西滲流數(shù)學(xué)模型，采用數(shù)值法進(jìn)行產(chǎn)量求解［3-8］。絕對(duì)無(wú)阻流量的監(jiān)測(cè)通常需要穩(wěn)定的測(cè)試點(diǎn)，而數(shù)值法雖然可以分析一段時(shí)間的油藏動(dòng)態(tài)變化，進(jìn)而指導(dǎo)壓裂施工優(yōu)化，但存在建立模型約束條件多、計(jì)算繁瑣且耗時(shí)長(zhǎng)的缺陷。另外，由于多數(shù)產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型僅考慮氣體滲流數(shù)學(xué)模型，并沒(méi)有耦合壓裂的裂縫幾何形態(tài)，所以最后的產(chǎn)能預(yù)測(cè)結(jié)果并不能反映致密氣藏壓裂井的真實(shí)生產(chǎn)情況。

水力壓裂裂縫的幾何形態(tài)和擴(kuò)展趨勢(shì)是影響壓裂施工的重要因素，也是影響最終產(chǎn)量的關(guān)鍵。根據(jù)壓裂液在裂縫內(nèi)的流動(dòng)方向及假設(shè)的裂縫擴(kuò)展方向，可將裂縫延伸模型分為二維、擬三維和全三維模型［9-11］。二維模型假設(shè)縫高恒定，并且裂縫只沿著縫長(zhǎng)方向進(jìn)行延伸，縫內(nèi)液體沿縫長(zhǎng)作一維流動(dòng)。對(duì)于縫高約束較好的地層，二維模型能相對(duì)真實(shí)地反映裂縫擴(kuò)展問(wèn)題，且求解較為簡(jiǎn)單，所以目前很多壓裂施工仍采用二維模型進(jìn)行裂縫參數(shù)設(shè)計(jì)。

本文以結(jié)合卡特濾失物質(zhì)平衡方程的PKN模型為例，闡述耦合壓裂參數(shù)的致密氣井產(chǎn)能預(yù)測(cè)方法。實(shí)例證明，該方法簡(jiǎn)單可靠，與實(shí)際情況相比誤差較小，不僅可以對(duì)水力壓裂后的致密氣藏產(chǎn)能進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)還實(shí)現(xiàn)了儲(chǔ)層參數(shù)、氣井壓裂施工參數(shù)對(duì)產(chǎn)量的敏感性分析，對(duì)低滲透致密氣藏整體壓裂優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

1 水力壓裂幾何模型

PKN 模型假設(shè)條件［9］：1）沿縫長(zhǎng)方向水力壓裂裂縫的縫高恒定；2）在垂直于縫長(zhǎng)的同一斷面內(nèi)，液體壓力為常數(shù)；3）縫長(zhǎng)方向上的壓降取決于橢圓形裂縫內(nèi)的流動(dòng)阻力；4）裂縫端部的流體壓力等于垂直裂縫壁面的地應(yīng)力。

假設(shè)平面應(yīng)變發(fā)生在垂直剖面，可以得到不同應(yīng)力下的裂縫縫寬方程，它主要由裂縫的凈壓力及巖石力學(xué)參數(shù)控制，基本方程為［9］

式中：w（x）為裂縫長(zhǎng)度為x時(shí)的最大裂縫寬度，m；ν為巖石泊松比；H為裂縫的半高度，m；p為裂縫內(nèi)壓力，MPa；σ為縫內(nèi)閉合應(yīng)力，數(shù)值上等于地層水平最小主應(yīng)力，MPa；G′為地層剪切模量，MPa。

現(xiàn)場(chǎng)施工中，由于壓裂液多為非牛頓流體，所以應(yīng)采用基于蘭姆壓降方程下橢圓形裂縫內(nèi)的非牛頓液層流的壓降方程：

式中：q為沿裂縫方向上任意點(diǎn)的壓裂液排量，m3/min；n為縫流壓裂液流性指數(shù)，小于1；Kf為縫內(nèi)流動(dòng)的壓裂液稠度系數(shù)，Pa·sn。

聯(lián)立式（1）和式（2），可得到縫內(nèi)壓降方程：

假設(shè)裂縫端處縫內(nèi)液體壓力和產(chǎn)層最小主應(yīng)力相等，即此處內(nèi)外壓差為0，聯(lián)立邊界條件x=L，p=0，基于物質(zhì)平衡原理，可得一定排量下的縫寬：

假設(shè)縫內(nèi)流體沿縫長(zhǎng)作一維流動(dòng)，形成的裂縫縫長(zhǎng)為

式中：L為裂縫長(zhǎng)度，m；t為壓裂施工時(shí)間，min。

濾失是壓裂中不可避免的問(wèn)題，它主要受地層滲透率、天然裂縫發(fā)育等影響。PKN模型考慮一維卡特濾失，采用數(shù)值法進(jìn)行求解，但需要用體積平衡法進(jìn)行修正。通常認(rèn)為濾失僅發(fā)生在氣藏的產(chǎn)層內(nèi)部，注入的壓裂液一部分用于造縫，另一部分則濾失到地層當(dāng)中。PKN模型的連續(xù)性方程為

式中：Sp為壓裂液初濾失量，m3/m2；C為綜合濾失系數(shù)，m3/min1/2；A 為 x 處裂縫的壁面面積，m2；τ（x）為壓裂液到達(dá)x處所需時(shí)間，min。

對(duì)以上數(shù)學(xué)方程進(jìn)行求解時(shí)，需要假定一個(gè)流量和施工時(shí)間，之后便可以求得對(duì)應(yīng)的縫寬、縫長(zhǎng)和縫內(nèi)壓力分布等參數(shù)，然后再根據(jù)迭代法獲得滿足精度的裂縫幾何參數(shù)。

2 產(chǎn)能預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型

致密氣藏壓裂井的生產(chǎn)過(guò)程首先是瞬態(tài)生產(chǎn)過(guò)程，再進(jìn)入擬穩(wěn)態(tài)過(guò)程。評(píng)價(jià)擬穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)起始時(shí)刻tpss的參數(shù)主要有裂縫滲透率、裂縫幾何形狀、泄流面積、氣層物性等。tpss的計(jì)算公式為［12］

式中：Ct為氣藏初始狀態(tài)的總壓縮系數(shù)，MPa-1；φ為孔隙度；μ 為氣體黏度，mPa·s；A1為壓裂井泄流面積，m2，由泄流形狀和井的位置決定；K為滲透率，10-3μm2；（tDA）pss為油藏形狀因子，其值與油藏形狀及泄流面積有關(guān)，通常對(duì)于一個(gè)普通的圓形或者正方形的泄流面積而言，（tDA）pss取值大于 0.1。

2.1 瞬態(tài)模型

相對(duì)于傳統(tǒng)天然氣而言，致密氣在裂縫中的滲流具有非達(dá)西滲流的特點(diǎn)，估算瞬態(tài)產(chǎn)量公式為［13］

式中：qg1為致密氣藏瞬態(tài)生產(chǎn)過(guò)程的產(chǎn)量，104m3/d；pi為氣藏原始?jí)毫?，MPa；pwf為氣藏井底流壓，MPa；T 為氣藏溫度， ℃；Zg為氣體壓縮系數(shù)，MPa-1；μg為氣體黏度，Pa·s；S 為表皮因子；t′為生產(chǎn)時(shí)間，min；rw′為有效井眼半徑，m；D為非達(dá)西滲流系數(shù)。

式中：γg為氣體重度，N/m3；Ks為近井眼處滲透率，10-3μm2；h，h′分別為氣藏厚度和射孔厚度，m；μg′為井底壓力條件下的氣體黏度，mPa·s；rw為井眼半徑，m。

裂縫的有效井眼半徑rw′可表示為裂縫導(dǎo)流能力的函數(shù)［15］：

式中：xf為裂縫半長(zhǎng)，m；wf為裂縫寬度，m。

由于致密氣藏的平均壓力隨著時(shí)間不斷變化，導(dǎo)致產(chǎn)能也隨之改變，所以在氣藏產(chǎn)能預(yù)測(cè)中的相關(guān)參數(shù)需要定期進(jìn)行更新，從而保證預(yù)測(cè)結(jié)果與生產(chǎn)實(shí)際更為符合。

2.2 擬穩(wěn)態(tài)模型

擬穩(wěn)態(tài)時(shí)期致密氣藏壓裂井的產(chǎn)能計(jì)算公式為［16］

式中：qg2為致密氣擬穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量，104m3/d；p2為擬穩(wěn)態(tài)時(shí)期氣藏的平均壓力，MPa；re為氣藏泄流半徑，m；S2為擬穩(wěn)態(tài)時(shí)期的表皮因子。

選取1 d作為單位時(shí)間步長(zhǎng)，用字母i代表累積步長(zhǎng)數(shù)。i=0，代表氣藏初始狀態(tài)，視為氣藏生產(chǎn)第1天；i=1 時(shí)，t=24 h；i=n 時(shí)，t=24n h。 則第 i天的氣藏平均壓力計(jì)算公式為［17］

其中

式中：Cw為氣藏中水的壓縮系數(shù)，MPa-1；Cf為孔隙壓縮系數(shù)，MPa-1；Ein為氣體原始膨脹因子；Sw為含水飽和度；Swc為束縛水飽和度；Gp為累計(jì)氣藏產(chǎn)量，m3；G為氣藏原始地質(zhì)儲(chǔ)量，m3；ae為氣體膨脹因子對(duì)壓力的斜率，表征一定溫度和壓力下氣體的體積變化。

模型中使用的其他參數(shù)計(jì)算公式為［18］

產(chǎn)量循環(huán)過(guò)程在瞬態(tài)流動(dòng)時(shí)期從i=0開(kāi)始，然后在擬穩(wěn)態(tài)時(shí)期以每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行估算，直到相應(yīng)的生產(chǎn)時(shí)間。

第i次累計(jì)氣產(chǎn)量Gp和采收率RF表示為

3 實(shí)例分析

3.1 參數(shù)

油藏基本參數(shù)：原始?jí)毫?0 MPa，厚度25.1 m，溫度 93 ℃，孔隙度 10%，滲透率 0.2×10-3μm2，水的壓縮系數(shù) 4.35×10-4MPa-1， 孔隙壓縮系數(shù) 12.4×10-4MPa-1，地層綜合壓縮系數(shù)13.7×10-4MPa-1，束縛水飽和度0.2，近井筒滲透率 0.3×10-3μm2，泄流半徑 908.3 m。

致密氣體基本參數(shù)：平均黏度 2.831×10-5Pa·s，井底氣體黏度 1.5×10-5Pa·s，相對(duì)密度 0.85，膨脹因子與壓力的斜率0.076，壓縮系數(shù)0.8 MPa-1。

壓裂施工參數(shù)：井眼半徑0.1 m，射孔厚度1.5 m，初濾失量0.000 4 m3/m2，綜合濾失系數(shù)0.001 07 m/min1/2。

巖石力學(xué)性質(zhì)：儲(chǔ)層彈性模量34 482 MPa，泊松比0.21，巖石斷裂韌性6.89 MPa·m1/2，閉合應(yīng)力梯度0.019 MPa/m，水平最小主應(yīng)力15 MPa。

壓裂液流性指數(shù) 0.6，稠度系數(shù) 0.575 Pa·sn，施工時(shí)間35 min，利用壓裂模型求得不同排量下對(duì)應(yīng)的裂縫長(zhǎng)度、寬度與排量關(guān)系（見(jiàn)表1）。

表1 裂縫長(zhǎng)度、寬度與排量關(guān)系

3.2 參數(shù)對(duì)產(chǎn)量的影響

3.2.1 儲(chǔ)層參數(shù)

地層孔隙度的增加會(huì)導(dǎo)致氣井的擬穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)時(shí)間增加，但通過(guò)分析致密氣藏產(chǎn)量與地層滲透度和孔隙度的關(guān)系可知，盡管隨著地層孔隙度的增加，氣井壓裂的產(chǎn)量也是逐漸增加的，但地層孔隙度對(duì)產(chǎn)量的影響并不明顯；而地層滲透率的增加對(duì)氣井的產(chǎn)量影響非常明顯，是影響致密氣藏產(chǎn)量的重要敏感因素。

3.2.2 施工參數(shù)

生產(chǎn)時(shí)間50 d的產(chǎn)量與壓裂液排量關(guān)系如圖1所示。施工排量為5 m3/min，壓裂液黏度對(duì)致密氣藏產(chǎn)量的影響如圖2所示。

圖1 施工排量對(duì)產(chǎn)量的影響

圖1表明：隨施工排量增加，產(chǎn)量增大，但增長(zhǎng)趨勢(shì)逐漸變緩，因此在考慮施工成本的情況下，存在一個(gè)最優(yōu)的裂縫參數(shù)。

圖2表明，壓裂液黏度的增加則導(dǎo)致產(chǎn)量下降，這主要是因?yàn)閴毫岩吼ざ冉档土藟毫岩旱脑炜p效率，但黏度對(duì)產(chǎn)量的影響并不明顯，所以在選擇頂替液時(shí)，主要考慮支撐劑配伍類型，以實(shí)現(xiàn)高導(dǎo)流能力的裂縫。

圖2 壓裂液黏度對(duì)產(chǎn)量的影響

3.2.3 其他參數(shù)

施工排量為5 m3/min，氣藏表皮因子對(duì)產(chǎn)量的影響如圖3所示。從圖3看出，表皮因子增大會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)量不斷下降，所以需要對(duì)壓裂液的傷害性有宏觀的評(píng)估。氣層厚度與產(chǎn)量的關(guān)系如圖4所示，從圖中可知，氣層厚度對(duì)產(chǎn)量影響十分明顯。

圖3 表皮因子對(duì)產(chǎn)量的影響

圖4 氣層厚度對(duì)產(chǎn)量的影響

3.3 預(yù)測(cè)結(jié)果驗(yàn)證

（tDA）pss取 0.2 時(shí)，根據(jù)式（7）可求得該氣井達(dá)到擬穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)需要118 d左右，此過(guò)程產(chǎn)量與時(shí)間對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖5所示。通過(guò)監(jiān)測(cè)發(fā)現(xiàn)，此時(shí)井底流壓約為11.7 MPa，水力裂縫的滲透率約為40 μm2，裂縫半長(zhǎng)約為163.8 m，裂縫寬度約為7 mm。根據(jù)模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量，與實(shí)際產(chǎn)量對(duì)比看出，致密氣藏在進(jìn)入擬穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)后，其產(chǎn)量下降趨勢(shì)逐漸趨于平緩，所以應(yīng)盡量保證裂縫的導(dǎo)流能力，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)產(chǎn)。另外，模型預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)際結(jié)果有較好的擬合關(guān)系，證明此模型可為致密氣藏分析和壓裂設(shè)計(jì)提供技術(shù)參數(shù)支持。

圖5 模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量與實(shí)際結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

1）壓裂施工時(shí)的排量對(duì)產(chǎn)能影響較大。排量越高，形成的裂縫越長(zhǎng)，使得前期產(chǎn)量增長(zhǎng)速度也較快；但裂縫幾何參數(shù)的大小受經(jīng)濟(jì)及壓裂工藝的制約。

2）壓裂液黏度的增加會(huì)導(dǎo)致壓裂液效率下降，較易形成短、窄裂縫，降低產(chǎn)氣量。表皮因子和氣層厚度對(duì)氣井產(chǎn)量影響也較為顯著，如果氣層較薄，可以考慮水平井壓裂，以保證薄氣層中有較大的接觸面積；若氣層較厚，則水平井壓裂的優(yōu)勢(shì)變?nèi)酢?/p>

3）致密氣壓裂井瞬態(tài)生產(chǎn)時(shí)期相對(duì)較短，產(chǎn)量變化明顯，說(shuō)明壓裂措施在此刻實(shí)施可以獲得較為理想的初期產(chǎn)量；而擬穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)周期較長(zhǎng)，并且后期產(chǎn)量遞減速度逐漸減慢。

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